李正星

[摘 要] 初高中數(shù)學教學銜接雖然并不是教學過程中出現(xiàn)的新問題，但很多教師在這個問題的處理上卻也并不盡如人意. 借助二次函數(shù)這一知識點的教學過程實錄，將初高中數(shù)學教學銜接的舊知回顧、問題探究、銜接點把握以及教學方式進行了深入的探究和實踐性的思考.

[關(guān)鍵詞] 初高中數(shù)學；銜接教學；二次函數(shù)

初高中數(shù)學教學銜接對于廣大教師來說一直是被重點討論的問題，二次函數(shù)又是初高中數(shù)學教材中均列為重點的函數(shù)，提及初高中數(shù)學的銜接自然避免不了二次函數(shù)的教學，本文結(jié)合高一年級二次函數(shù)銜接教學的公開課案例進行主要的分析與思考.

■教學過程實錄

1. 回顧舊知，引出問題

問題1：已知點A（1，-4）是某二次函數(shù)圖像的頂點，該圖像在x軸上截得線段記作MN，長為4，請問：該二次函數(shù)解析式是怎樣的？

設(shè)計意圖：回顧二次函數(shù)解析式的形式及圖像性質(zhì)

一般式與頂點式是大多學生選擇解題的方法，不過還是有少數(shù)學生聯(lián)想到了二次函數(shù)圖像的對稱性，并以此確定了M（-1，0），N（3，0），同時設(shè)所求函數(shù)解析式為f（x）=a（x+1）（x-3），因f（1）= -4，所以a=1. 教師應(yīng)引導(dǎo)學生對二次函數(shù)的性質(zhì)進行合理的利用并因此減少不必要的運算.

2. 問題探究

問題2：已知二次函數(shù)y=f（x），該函數(shù)圖像關(guān)于直線x=m對稱，如用函數(shù)符號對這一性質(zhì)進行刻畫應(yīng)如何表達？

設(shè)計意圖：函數(shù)符號的描述在初高中是存在明顯差別的，這也正是高一新生函數(shù)學習中的一個難點.但是這個問題考慮了初中所學二次函數(shù)的內(nèi)容進行了設(shè)計，更加符合高一新生在二次函數(shù)學習中的思維水平與習慣.為了使學生的思維更加順暢，教師又設(shè)計如下問題：

問題2.1： f（-1）與f（3）在問題1中表現(xiàn)出了怎樣的關(guān)系？

生1： f（-1）=f（3）.

問題2.2：若圖像上有任意一點M（x0，f（x0）），該點關(guān)于直線x=1的對稱點為N，試求N的坐標.

生2：N（2-x0，2-f（x0）），因為M，N關(guān)于直線x=1對稱，則f（x0）=f（2-x0）.

問題2.3：若有M（1-x0，f（1-x0）），試求N的坐標.

生3：N（1+x0，f（1+x0）），且有f（1-x0）=f（1+x0）.

生4：圖像關(guān)于直線x=m對稱需滿足：f（m-x0）=f（m+x0）或f（x0）=f（2m-x0）.

師：二次函數(shù)改為一般函數(shù)，以上結(jié)論能成立嗎？

生5：在得出結(jié)論的過程中，函數(shù)具體的解析式未曾使用，所以，以上結(jié)論能成立.

鞏固練習：已知f（x）=2x2-ax+2013，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則f（x1+x2）=____.

問題3：如果問題1中頂點A的坐標是（m，-4），則當m變化時，該函數(shù)圖像的開口方向會變化嗎？大小呢？請證明.

設(shè)計意圖：（1）二次函數(shù)在初高中階段的最大區(qū)別正在于其靜態(tài)、動態(tài)的呈現(xiàn)，此問題的設(shè)計實現(xiàn)了二次函數(shù)由靜態(tài)升級到了動態(tài)的過程；（2）使學生從初中階段的直覺認知上升為高中階段的理性推理.

學生證明過程如下：

證明：因為MN=4，可設(shè)M（m-2，0），N（m+2，0），則f（x）=a（x-m+2）（x-m-2），又因為f（m）=-4，故a=1，所以，該函數(shù)開口方向與大小都不變.

問題4：已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）

設(shè)計意圖：（1）強化函數(shù)、方程、不等式這三者之間的轉(zhuǎn)化這一高中二次函數(shù)學習的重點；（2）使學生對于參數(shù)的理解與處理能夠更加深化.

眾多解法中學生首先想到的是以下解法：

因為f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域是[0，+∞），故可得b=a2①. 因為f（x）

教師引導(dǎo)學生通過問題3與4之間聯(lián)系的思考進行了其他解法的嘗試.

解法1：因為f（x）=x2-2ax+b的二次項系數(shù)是1且不會改變，值域是[0，+∞），將函數(shù)y=x2的圖像沿x軸平移，即可得到該函數(shù)圖像，因此，可設(shè)f（x）=（x-m-3）2，又由題意知c=f（m）=（m-m-3）2=9.

解法2：f（x）=x2-2ax+b的值域為[0，+∞），將函數(shù)y=x2的圖像沿x軸平移，即可得到該函數(shù)圖像，不等式f（x）

鞏固練習：已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域是[2，+∞），關(guān)于x的方程f（x）=c的解集是{m-1，m+3}，求實數(shù)c的值.

■初高中教學銜接的思考

初中生進入高中以后出現(xiàn)成績的兩極分化既有學生學習態(tài)度等主觀因素，又有初高中數(shù)學知識所存在的客觀差異. 結(jié)合教學實踐與師生訪談，筆者有如下建議：

1. 增強教學銜接的意識

真正能夠處理好初高中數(shù)學教學銜接的教師不是很多，事實上，有幾種傾向是需要高中數(shù)學教師盡量克服的.

（1）本位主義

有些教師存在學生初中沒有學好的主觀認識，事實上，這是推卸責任的表現(xiàn). 高一新生即使在數(shù)學學習上感覺困難是因為初中基礎(chǔ)薄弱，教師也應(yīng)該仔細衡量學生的水平情況并做出科學、合適的調(diào)整.

（2）經(jīng)驗主義

初高中學校的獨立使得很多高中教師不可能有初中教學的經(jīng)歷，偏偏還有很多教師對于初中數(shù)學課標以及教材都沒有主動關(guān)注與研究的意識，初中教材又會時常根據(jù)教學的形式以及學生的成長做出必要的改變，這就造成很多教師對于高一新生數(shù)學教學的起點不能精準把握. 比如，高中教師在面對初中數(shù)學教學中要求相對較低的十字相乘法、韋達定理、特殊角的三角函數(shù)值等等內(nèi)容時，往往會把學生的認知程度定位得更高，在高中階段這些內(nèi)容的教學中往往會比較輕率，初高中教學的脫節(jié)也就自然產(chǎn)生了.

2. 把握“銜接點”

筆者認為，以下兩個教學“銜接點”是初高中數(shù)學教學中需要重點把握的.

（1）數(shù)學知識的“銜接點”

初高中數(shù)學在知識層面自然是存在著千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系的，比如函數(shù)的定義、二次函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何以及立體幾何等等知識體系都有如此的體現(xiàn). 因此，初高中教材中的邏輯結(jié)構(gòu)這一關(guān)鍵是需要高中數(shù)學教師認真鉆研的，這一研究能使教師盡快找出初高中教材在知識層面的聯(lián)系. 比如，教材雖然未將二次函數(shù)這一知識體系進行獨立編寫，但這一內(nèi)容卻不僅僅是高考的重點，在初高中數(shù)學聯(lián)系這一層面上也是最為典型的. 教師在二次函數(shù)的教學中往往可以通過二次函數(shù)解析式的求解將學生初中所學的基礎(chǔ)知識進行回顧，并因此將二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)進行升級與強化，從而對學生進一步學習函數(shù)性質(zhì)起到銜接與促進的作用.

（2）思維方法的“銜接點”

如果有心對高一學生進行觀察與調(diào)研的話，我們不難發(fā)現(xiàn)高一學生在數(shù)學學習上的最大困難往往表現(xiàn)在初高中思維方式的差異上.很多時候，初高中教學銜接的最大問題便是教師對高一新生思維起點的把握不夠精準. 直觀與形象是初中數(shù)學課堂教學比較注重的，抽象思維訓(xùn)練在初中數(shù)學教學的課堂上，即使是初三數(shù)學教學的課堂上都是比較少見的，甚至出現(xiàn)了很多優(yōu)秀學生“陪讀”的現(xiàn)象. 因此，筆者在本課的教學中尤為注重學生思維“銜接點”的關(guān)注，對二次函數(shù)性質(zhì)的符號表示上注重由形象到抽象的銜接，在對稱性結(jié)論的講解中注重由具體到一般的銜接等等. 學生思維上的自然過渡與提升在這樣能夠注重銜接的教學設(shè)計中得以逐步實現(xiàn)，學生對函數(shù)性質(zhì)抽象描述的理解在這樣精心的設(shè)計與銜接教學中也得以順利達成.