石鵬

[摘 要] “任意角”是蘇教版必修四“三角函數(shù)”的起始課，也是三角函數(shù)的重要概念，借助于“活動單導(dǎo)學(xué)”模式，設(shè)計相應(yīng)活動產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的必要性和興趣；設(shè)計相應(yīng)活動引導(dǎo)學(xué)生自主探究角的定義、角的概念的推廣、象限角等，體驗自主探究過程的樂趣；設(shè)計相應(yīng)活動引導(dǎo)學(xué)生自主探究終邊相同角，體驗學(xué)習(xí)過程拓展性；設(shè)計相應(yīng)活動鞏固新課知識，體驗學(xué)習(xí)過程的應(yīng)用性，讓學(xué)生最終掌握相關(guān)的知識并提高相應(yīng)的能力.

[關(guān)鍵詞] 任意角；活動導(dǎo)學(xué)；自主探究

■基本情況

1. 學(xué)情分析

授課班級為某一重點高中的高一實驗班，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，課堂教學(xué)氣氛比較活躍，絕大多數(shù)學(xué)生敢于質(zhì)疑，勇于表達自己的思想，同時也能大膽地回答問題或者提出問題；同學(xué)間相互討論、相互研究、相互合作的氣氛濃厚，但也有少部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動參與性欠缺，在課堂上作教師和其他同學(xué)忠實的聽眾，這需要教師在日常的教學(xué)中加以引導(dǎo)和培養(yǎng). 由于筆者在平時教學(xué)過程中利用了活動單導(dǎo)學(xué)模式，在教學(xué)過程中設(shè)置了相應(yīng)的活動讓學(xué)生探索新的知識，因此在探索活動中，學(xué)生的思維過程得到了暴露，學(xué)生開放性地接收到了新的知識.

學(xué)生在蘇教版必修一的課本中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等相關(guān)概念，他們對概念的學(xué)習(xí)已有比較好的接受方式；同時他們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了角的概念，不過只局限于在0°到360°. 本節(jié)課先設(shè)計一些活動和問題用于激發(fā)學(xué)生的認知沖突，讓學(xué)生體會到已有知識和新知識的學(xué)習(xí)任務(wù)不一致，從而吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)認知內(nèi)驅(qū)力；再設(shè)計一些學(xué)生熟知的、直觀的，易理解、易接受的探究活動，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生感性體驗；最后設(shè)計一系列與概念相對應(yīng)的探究活動，給學(xué)生一定的時間和空間，讓學(xué)生獨立思考、自主探究、合作討論，然后全班交流，讓學(xué)生通過活動單導(dǎo)學(xué)，自己探究出推廣后的角的定義及角的表示方法.

2. 教材分析

“任意角”是必修四“三角函數(shù)”的起始課，而三角函數(shù)是描述客觀世界周期性變化規(guī)律的重要模型，在高中數(shù)學(xué)以及整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要的作用，在高考數(shù)學(xué)中也占有不少的分值；同時三角函數(shù)也是在學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)后學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù). 任意角這一課主要處理：①角的概念的推廣；②任意角、正角、負角、零角、象限角、軸線角以及終邊相同的角的概念.

教學(xué)目標：①理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻撊我?；②能?°到360°范圍內(nèi)，找出一個與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角；③能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合.■

教學(xué)重點：角的概念的推廣，終邊相同角的集合.■

教學(xué)難點：任意角、正角、負角等概念的形成過程.

■教學(xué)過程

1. 活動一：角的概念的推廣

問題1：在體操、跳水比賽中，常聽到“轉(zhuǎn)體720°”，這里的角度是一個什么含義？

學(xué)生回答：旋轉(zhuǎn)兩圈.

設(shè)計意圖：突出知識產(chǎn)生的背景及其與現(xiàn)實的聯(lián)系，揭示學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

問題2：初中所學(xué)的角在0°～360°間，已適應(yīng)不了實際的需要，角的概念需要重新定義，那又如何定義呢？

學(xué)生方便地得出：一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形.

（1）角的定義：一個角可以看作平面內(nèi)一條射線繞它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. 射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊. ■

設(shè)計意圖：①溫故而知新，通過具體生活實例打破學(xué)生原有的角不大于360°的認知，引發(fā)學(xué)生認知沖突. ②讓學(xué)生先認識到生活中存在大于360°的角，然后再考慮如何完善角的概念，如何度量新的角.

問題3：掛鐘慢了5分鐘，如何調(diào)準？快了5分鐘呢？

學(xué)生回答：慢了，將分針順時針轉(zhuǎn)30°；快了，將分針逆時針轉(zhuǎn)30°.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生意識到，為了有效刻畫現(xiàn)實中的各種角，數(shù)學(xué)意義上的角不僅僅可以區(qū)分大小，也可以區(qū)分方向.

問題4：這兩個角度一樣嗎？如何區(qū)別表示？（引導(dǎo)學(xué)生類比正數(shù)、負數(shù)，構(gòu)建概念）

學(xué)生自然得出了正角、負角、零角的概念，從而將0°～360°的角推廣到了任意角. 角的概念的推廣：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角為正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角為負角. 如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個角，叫作零角. ■

設(shè)計意圖：學(xué)生應(yīng)類比正數(shù)、負數(shù)，構(gòu)建正角、負角的概念，強化類比思想和方法的應(yīng)用. 為了方便，數(shù)學(xué)上有許多約定俗成的概念，如規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角為正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角為負角. ■

問題5：試用圖示表示α=420°，β= -150°，并描述一下你是怎么作出來的.

圖略.

設(shè)計意圖：通過作圖操作，讓學(xué)生進一步理解任意角的概念，同時讓他們感知沒有統(tǒng)一標準時，角表示得不便，體會引入象限角的必要性.

2. 活動二：數(shù)形結(jié)合，探究象限角

問題1：如何比較幾只筆的長短？

學(xué)生回答：將筆的一端（起點）放在同一平面上.

設(shè)計意圖：為后面角放在象限里研究埋下伏筆.

問題2：我們?yōu)榱朔奖阊芯吭S多角，是借助怎樣的平臺來研究的？

在平面直角坐標系中（學(xué)生回答不出，教師講解）.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生討論認識到，尋找“平臺”是認識和刻畫事物和研究問題的常用方法.

問題3：把角放到平面直角坐標系中，如何放置既簡單又合理？放置后，對任意一個角，終邊有可能在哪些位置？

學(xué)生討論合作后就能得到象限角與軸線角的概念. 象限角：角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角. 軸線角：終邊落在坐標軸上的角. ■

設(shè)計意圖：把角放在直角坐標系里研究，研究角就有了統(tǒng)一的平臺. 讓學(xué)生認識到，面對一個龐大的群體，分類是經(jīng)常的、必要的事件. 這樣既增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又強化了知識的整體性與聯(lián)系性.

問題4：在平面直角坐標系中畫出下列角：-300°，-150°，-60°，60°，210°，300°，420°，并判定它們在第幾象限.

設(shè)計意圖：由于角的范圍變大到任意角，如何用簡單的圖形來表示，讓學(xué)生自己動手畫圖體會，學(xué)生之間交流討論心得，體會把角放到直角坐標系內(nèi)給研究角帶來的方便和好處. 通過自主探究，這樣得到的結(jié)論更有意義，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過程的理解性.

3. 活動三：學(xué)以致用，探究終邊相同角的表示

問題：在同一坐標系中作出下列各角：30°，210°，-330°，390°，750°.

（1）其中哪些角終邊相同？

（2）從作圖上看，和30°終邊相同的角有什么關(guān)系？

（3）從數(shù)量上看，和30°終邊相同的角有什么關(guān)系？能用集合表示嗎？若能請用描述法表示.

（4）你能寫出終邊相同的角的表達式嗎？

（5）如何用集合表示與角α終邊相同的角？

一般地，與角α終邊相同的角的集合為__________.

設(shè)計意圖：終邊相同的角的關(guān)系及其表示是本節(jié)課的難點，為突破這一難點，設(shè)置由易到難、從特殊到一般的子活動，引導(dǎo)學(xué)生通過作圖可以發(fā)現(xiàn)它們的終邊旋轉(zhuǎn)相差若干周，從而便容易發(fā)現(xiàn)在數(shù)量上相差k·360°. 經(jīng)歷這一探索過程，這樣得到的知識與技能更加牢固，理解更加深刻，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過程的拓展性.

4. 活動四：數(shù)學(xué)應(yīng)用，鞏固新知

問題1：在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：（1）650°；（2）-150°；（3）-990°15′.

問題2：已知角α與240°角的終邊相同，試探究■是第幾象限角，2α是第幾象限角.

設(shè)計意圖：通過解決問題，進一步理解任意角、象限角和終邊相同的角，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過程的應(yīng)用性.

5. 活動五：課堂小結(jié)，提煉升華

（1）知識結(jié)構(gòu)：任意角（正角、負角、零角）？圯象限角（終邊所在的象限）？圯與角α終邊相同的角的集合S={ββ=α+k·360°，k∈Z}.

（2）思想方法：①數(shù)形結(jié)合：靜態(tài)向動態(tài)擴充，形成任意角；②化歸思想：形成終邊相同的角的集合；③分類討論：由k得不同的取值確定第幾象限角.

（3）探究途徑：獨立思考、動手操作、合作探究.

設(shè)計意圖：突出教學(xué)目標，不僅要進行知識的小結(jié)，還要對思想方法進行小結(jié)；體現(xiàn)知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，對數(shù)學(xué)思想和思維進一步提升.

6. 活動六：課堂檢測

（1）下列哪些角與30°角的終邊相同：

①？搖210°？搖 ②-330°？搖

③945°？搖？搖 ④-650°

（2）下列命題中正確的是（ ）？搖

A. 第一象限角一定不是負角

B. 小于90°的角一定是銳角

C. 鈍角一定是第二象限角

D. 第一象限角一定是銳角

（3）在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：

①-55° ②395°8′ ③1563°

（4）若α是第四象限角，試分別確定-α，180°+α，180°-α是第幾象限角.

設(shè)計意圖：課堂時間充裕則對學(xué)生進行檢測，主要考查學(xué)生對知識把握的情況.

■回歸與反思

1. 設(shè)計思路

在設(shè)計本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程中，筆者決定運用“活動單導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式，設(shè)計相應(yīng)的活動引導(dǎo)學(xué)生自主探究、自主討論、自主合作交流、自主生成相應(yīng)的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的探究和生成過程. 主要依據(jù)有以下幾個方面：

（1）“活動單導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式在我市開展了十年時間，這些學(xué)生從小學(xué)開始就已經(jīng)接受了這種教學(xué)模式，這些學(xué)生是筆者從高一帶上來的，筆者知道他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和學(xué)習(xí)能力，完全能夠勝任解決所設(shè)計的相關(guān)活動.

（2）在課堂的引入過程中，設(shè)計前兩個問題，引入新的認知，緊扣角的定義的本質(zhì)之一“旋轉(zhuǎn)”埋下伏筆；設(shè)計后兩個問題，緊扣角的定義的本質(zhì)之二“方向”，為零角、正角、負角打下基礎(chǔ)，有利學(xué)生學(xué)通過自主討論、合作、交流、探究等提煉出相關(guān)的概念.

（3）在知識的形成的過程中，設(shè)計相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生意識為什么要引入概念，為什么要這樣定義概念等，突出概念產(chǎn)生的原因，從而引導(dǎo)學(xué)生自然而然地將角的靜態(tài)定義生成為動態(tài)定義. 對“角為什么要放在直角坐標系中研究”，可能由于缺少相關(guān)的知識和能力，采用了部分探究的方法，提高了探究的有效性.

（4）在知識的運用過程中，對例題和習(xí)題的選擇，注意到數(shù)量恰當、難度適中，并且要具有典型性、代表性，同時避免同類型題的簡單重復(fù). 對例題和習(xí)題的處理，可讓絕大多數(shù)學(xué)生完成后，請幾個成績中等或中等偏下，以及在一些題目中出現(xiàn)典型錯誤的學(xué)生，同時板演所有題目的答案. 如果正確，就不講或進行簡單的點評；如果錯誤，讓學(xué)生討論糾正、自主講評，教師引導(dǎo)、總結(jié)、提煉.

（5）在課堂小結(jié)的過程中，可以在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生進行自主小結(jié)，也可以是教師自己進行總結(jié).課堂小結(jié)要突出教學(xué)目標，突出教學(xué)要點，不僅僅要對知識進行總結(jié)，而且對與本堂課有關(guān)的思想方法進行總結(jié).

（6）在課堂檢測的選題過程中，課堂檢測可以幫助學(xué)生加深和鞏固本堂課的知識、方法等，同時也能幫助學(xué)生形成相關(guān)的技能和解決問題的能力. 不僅如此，也能檢測到學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，讓教師及時了解到學(xué)生對知識的掌握情況，以便在后續(xù)教學(xué)中進行糾錯和補償.

2. 反思

從教學(xué)的過程與結(jié)果來看，本堂課基本實現(xiàn)了筆者的活動單所設(shè)計的內(nèi)容，課堂進展比較流暢，學(xué)生基本能通過自主探究、小組合作、討論交流，發(fā)現(xiàn)角的概念推廣的必要性，能夠完成相應(yīng)概念的生成，能夠?qū)ο嚓P(guān)知識進行應(yīng)用. 這節(jié)課學(xué)生不僅增加了知識，培養(yǎng)了思維，提高了數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，還讓所有的學(xué)生都產(chǎn)生了成就感，在教師的引導(dǎo)下構(gòu)建了新的數(shù)學(xué)知識體系.

由于課堂時間的有限以及學(xué)生的個體差異，在課堂引入部分，沒有充足的時間進行舉例，沒有給學(xué)生足夠的想象空間，這樣由于部分學(xué)生的認知水平的限制，在構(gòu)建“角”的過程中，容易產(chǎn)生表面化、片面性的理解，不利用他們對實例共同特征的歸納、概括以便形成角的定義，更不能讓學(xué)生很好地認識和把握概念的準確內(nèi)涵.