任衛(wèi)兵 徐明

[摘 要] 文中徐明老師采用“稚化思維”分解應用題難點，通過追憶，點明兩個關鍵點：理清數(shù)量關系，引入變量并建模；通過動手操作，突破變量引入的困惑點：以合適的角度設置邊、角、點等變量；不失時機地引導、啟發(fā)、點撥、評價、矯正，讓學生感悟數(shù)學問題的本質，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

[關鍵詞] 應用題教學；合作探究；數(shù)學素養(yǎng)

2017年4月28日，連云港市高中數(shù)學學科領軍人才培養(yǎng)對象第四次培訓活動在江蘇省海州高級中學舉行. 本次活動的主題是“提高高考應用題復習效益、切實解決應用題教學問題、提高學生應用題解題能力”. 應用題是一類以實際問題為情境，圍繞客觀實際進行設問的試題，它不僅涉及數(shù)學知識和方法，還涉及生活、生產、社會和自然界中的問題，往往讓學生感到難以下手. 但由于應用問題能比較全面地考查學生綜合運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力，因而成為歷年江蘇高考的一道獨特風景線.

本次活動共有八位教師同上應用題解題研究課，筆者作為培養(yǎng)對象，全程參與了聽課以及后面的專家點評. 八位教師都精心地做了課前準備，課堂教學過程精彩紛呈. 其中，讓筆者最受啟發(fā)的是江蘇省東?？h教師進修學校徐明老師執(zhí)教的《應用題破解策略》探究活動課. 為了分解難點，逐個擊破，徐老師“稚化思維”，通過對小學和初中應用題的追憶，點明解決應用題的兩個關鍵點：理清數(shù)量之間的關系，合理引入變量并建模；通過學生的動手操作（“折紙”實驗），突破變量引入的困惑點：選擇合理的動因，以合適的角度設置邊、角、點等變量；在學生的活動過程中，不失時機地引導、啟發(fā)、點撥、評價、矯正，讓學生充分體會解決應用問題的基本流程和方式方法. 本文先給出徐老師的課堂實錄，再談談筆者對本節(jié)課的一些思考，有不當之處敬請同行批評、指正.

■課堂實錄

1. 情境引入

師：應用題是高考數(shù)學的必考題型，是決定學生成績高低的分水嶺. 你覺得求解應用題的困難在什么地方？

師：很多學生都感覺應用題難做，其實我們在小學時就已經開始求解應用題了. 比如“小學二年級1班有54人，二年級2班有48人，請問：（1）兩班一共有多少人？（2）1班比2班多多少人”，大家回憶一下，當時是如何解決這個問題的.

生1：第（1）問用加法，第（2）問用減法.

師：對了，我們當初覺得它很難，因為它已經涉及“數(shù)量之間的關系”（板書），這正是我們今天求解應用題首先要解決的問題. 小學四年級的時候，有這樣一個問題：小紅購買2支鉛筆和3支圓珠筆共花去8元錢，小明購買同樣的3支鉛筆和3支圓珠筆共花去9元錢，請問購買1支鉛筆和1支圓珠筆各需多少元. 作為小學生的你，當時是如何解決的？

生2：設每支鉛筆x元，每支圓珠筆y元，則2x+3y=8，3x+3y=9，解得x=1，y=2.所以每支鉛筆1元，每支圓珠筆2元.

師：很好，但你用的是初中的解法，你小學時會做這道題嗎？

師：用小學知識求解，這是一道難題，但到初中，我們引入變量，列方程組，這就是一道簡單題. 這說明，求解應用題，適當“引入變量，建立模型”（板書）至關重要，這也正是我們今天求解應用題的第二個關鍵步驟.

2. 探究生成

師：我們一起來思考如下問題——如果將一個等腰直角三角形紙片的一角（非直角）折疊，使其頂點落在對邊上（如圖1），你能提出什么問題？（投影PPT）

■

圖1

（經過5分鐘的小組討論交流）

生3：（問題1）求S△DEP的最值.

生4：（問題2）求線段DE長度的取值范圍.

生5：（問題3）求線段CD長度的取值范圍.

生6：（問題4）求線段CE長度的取值范圍.

師：非常好，同學們提出了很多問題. 那么，你知道這些問題的答案嗎？

（學生一時沒有結果）

師：請大家拿出一張等腰直角三角形紙片，自己動手折疊，嘗試在折疊的過程中尋找問題的答案.

（經過5分鐘的動手操作和小組討論交流）

生7：當點P與點A重合時，S△DEP最小；當點P與點B重合時，S△DEP最大.

生8：線段DE長度的最小值為■AB，最大值為■AB.

生9：線段CD長度的最小值為■CA，最大值為CA.

生10：線段CE長度的最大值為■CB，應該也有最小值，但我不能確定它的值.

師：同學們通過折紙，探究出了一些結論，那么這些結論是否正確呢？我可以告訴大家，生7和生8的結論都是錯誤的. 這節(jié)課我們選擇“（問題1）求S△DEP的最值”這一問題來進行研究，其他問題留給同學們課后完成.

例題：（投影PPT）如圖1，在等腰直角三角形紙片ABC中，AB=AC=1，D，E分別是邊AC，BC上的點，現(xiàn)沿DE所在直線將紙片折疊，使頂點C恰好落在邊AB上（記為點P），求△PDE面積的最小值.

師：那么，如何求一個三角形的面積呢？

生11：常用的三角形面積公式有兩個，即S=■ah（a為底邊長，h為高）和S=■absinC（a，b為兩邊長，C為a，b邊的夾角）.

師：通過剛才的折紙過程，你能發(fā)現(xiàn)一些邊或者角之間的關系嗎？

生12：通過折紙可以發(fā)現(xiàn)，△CDE≌△PDE，所以有CD=DP，CE=EP，∠CDE=∠PDE， ∠CED=∠PED，∠DCE=∠DPE=■等.

師：生12說得非常好，通過折疊的過程我們發(fā)現(xiàn)了一些邊和角對應相等的關系. 請小組討論如何設置變量，將S△DEP表示出來.

生13：（方法一）我們小組設邊PD=CD=x，PE=CE=y（如圖2），則AD=1-x，EB=■-y. 因為∠A=90°，所以AP=■=■，BP=1-■. 在△BPE中，由余弦定理EP2=BE2+BP2-2BE·BP·cosB，得y2=（■-y）2+（1-■）2-2（■-y）（1-■）·cos■，整理得y=■. 所以S△DEP=■·PD·PE·sin■=■，■≤x≤1.

■

圖2

師：設△PDE相鄰兩邊PD，PE為變量x，y，容易表示出△PDE的面積為■xysin■，難點是建立x，y之間的等量關系. 這里通過折疊前后的不變性，將x，y統(tǒng)一到△BPE中，通過余弦定理，用x表示y，進而將S△DEP表示為關于x的函數(shù). 但你們是如何知道x的范圍是■≤x≤1的？

生13：因為前面已經探究得到“線段CD長度的最小值為■CA，最大值為CA”.

師：非常好，寫函數(shù)解析式時一定要注意定義域的范圍. 我們能用解題過程中的相關信息來確定x的取值范圍嗎？

生14：顯然x≤1，又1-x≤x，或■有意義，于是可得.

師：很細心！同學們還有其他表示S△DEP的思路嗎？

生15：（方法二）我們小組設PD=CD=x，∠PDE=∠CDE=θ，■≤θ≤■（如圖3），則在Rt△DAP中，DP=x，AD=1-x，∠ADP=π-2θ，所以cos（π-2θ）=■，即x=■=■. 在△DEC中，由正弦定理得DE=■=■，所以△DEP的面積S△DEP=■·DP·DE·sinθ=■，■≤θ≤■.

■

圖3

師：生15通過設△PDE的邊PD為變量x，∠PDE=θ，用θ表示x，并通過正弦定理表示出DE，進而將S△DEP表示為關于θ的函數(shù). 我想問，為什么θ的范圍是■≤θ≤■呢？

生15：當點P與點A重合時，∠CDE=■；當點P與點B重合時，∠CDE=■.

師：生13和生15準確地把握住了影響△PDE面積變化的關鍵量，進而合理設置自變量，利用折疊前后的不變量關系，建立關于△PDE面積的不同函數(shù)模型. 那么，同學們還有其他表示方法嗎？

（同學們一時沒有反應）

師：大家想一想，你在折疊紙片時是如何達成“折疊后的C點恰好落在邊AB上的”？是不是先讓C點落在邊AB的某個位置上，再將紙片壓平，確定折痕DE的位置？這一操作過程對你有什么啟發(fā)？

生16：點C和點P關于DE對稱，DE是CP的垂直平分線，因此可以考慮建立平面直角坐標系，用解析法求解.

師：觀察很敏銳，大家試試看！

生17：（小組討論后，方法三）如圖4，以點A為坐標原點、AB為x軸建立平面直角坐標系，設P（a，0），0≤a≤1，則直線DE的方程為y-■=ax-■，即y=ax+■. 令x=0，得D0，■，直線DE的方程與直線BC的方程x+y=1聯(lián)立，可求得點E的橫坐標為■，所以S△DEP=■·CD·xE=■1-■·■=■，0≤a≤1.

■

圖4

3. 反思提升

師：生13、生15、生17通過折紙發(fā)現(xiàn)了折疊型問題的一個關鍵點——對稱. 通過邊的對稱和角的對稱，可以得到一些邊和角對應相等的關系，尤其不要忽視的是點的對稱關系. 通過大家的努力，我們通過不同的觀察角度：選邊、選角、選點，設置了不同的變量，得到了S△DEP的三種表示方式，下面只要用導數(shù)這個工具，研究相應函數(shù)的單調性，求出最小值即可，這留給同學們課后完成.

通過今天的探究，同學們想一想處理最優(yōu)化應用問題的一般步驟是什么.

生18：首先要讀懂題目意思，分清條件和結論，弄清楚數(shù)量關系，在題目意思難以理解的時候，可以借助生活實例、實物、圖形加以理解；根據(jù)題目條件和目標設置變量，建立函數(shù)關系式，且要注意變量的限制條件；再利用單調性、基本不等式、導數(shù)等工具求解數(shù)學結論；最后，要根據(jù)實際問題進行回顧，看看有沒有需要舍去的解，并且不要忘記作答.

師：生18總結得很完整. 我們可以概括為“理順數(shù)量關系、識別知識模塊、尋找問題動因、巧設動因變量、建立目標函數(shù)、注意變量范圍、求解目標函數(shù)、規(guī)范作答過程”. 同學們課后反思一下本節(jié)課的探究過程，希望對大家的應用題解答有所幫助.

■幾點思考

1. 注重難點合理分解，稚化思維，逐個擊破

應用題是江蘇高考的難點問題，難的原因主要有：文字多、背景陌生、信息量大，從而難以迅速把握題意. 另外，純數(shù)學題都有固定的知識模塊以及相應的解題策略與方法，但應用題需要通過分析，進行模式識別，建立數(shù)學模型，沒有固定的套路.

為了分解難點，徐老師采用“稚化思維”的策略，通過回憶小學、初中一些應用題的處理方法，讓學生感受“數(shù)量之間的關系”和“引入變量、建?！钡闹匾?，體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)展的過程. 通過折紙操作，發(fā)現(xiàn)動因，思考如何選擇變量建模，引導學生從不同的思考角度得到設邊、設角、設點等不同的變量設置方法，從而得到同一目標的不同函數(shù)表示.

徐老師注重關鍵點處的點撥，比如課堂伊始，學生提出問題但暫時沒有辦法解決時，引導學生通過折紙活動來探究；在學生有了方法一和方法二后，引導學生通過點的對稱得到方法三這一解析法. 教師在學生的活動過程中不失時機地引導、啟發(fā)、點撥、評價、矯正，讓學生充分體會到解決應用問題的基本流程和方式方法.

2. 合理設置探究活動，關注過程，悟透本質

應用題的抽象性、生活性特點決定了它不能像解答立體幾何、解析幾何、數(shù)列那樣用固定的模式處理. 為了解決應用題的抽象性，徐老師先引導學生提出問題，并設置“折紙”探究活動幫助學生思考. 在課堂折紙活動中，學生全都在折紙，我們部分聽課老師也在一起折紙?zhí)骄? 通過動手折紙，還原了“原生態(tài)”的思考過程，明晰了問題的成因. 在經歷“問題提出——問題思考——問題解決”的過程中，關注了過程與方法的并重、創(chuàng)新思維的生成、學習能力的提升，倡導學生自主思考的新課程理念，將解題教學過程變成一種指導學生自主探究、解決問題的過程. 有趣的折紙操作活動和平等的師生對話形式，讓學生在動態(tài)的折疊過程中悟透“對稱”這一本質，降低了應用題本身帶給學生的心理壓力.

在教學過程中，教師通過觀察、操作、思考、交流、探究等形式，引導學生主動參與學習，在“做數(shù)學”中理解數(shù)學，明白其中的道理. 教學時我們應盡可能創(chuàng)設情境讓學生親身感受學習的過程，積極開展以探究式教學為主的靈活多樣的教學方法，通過動手操作等活化數(shù)學知識，激發(fā)學生的學習興趣. 在充分理解教學要求、教學理念的基礎上，教師還應根據(jù)學生實際，從學生已有的經驗出發(fā)，創(chuàng)設學生熟悉的教學情境，加強數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

課堂教學是為了讓學生在考試中取得優(yōu)異的成績，這是主要目的，但不是最終目的. 我們教學更重要的目的是“育人”，是培養(yǎng)學生的理性思維能力、數(shù)學素養(yǎng). 教師要在教學中適時地引導學生，在小組合作探究中實現(xiàn)知識的自主生成，在自主交流中發(fā)展學生的思維能力. 學生一個人的思考有時是不全面的，甚至是不深入、不到位的，因此教師需要引導學生相互交流、集思廣益，相互討論，完善方法. 教師更重要的價值在于：在學生有困惑時能給予恰如其分的點撥，能以恰當?shù)姆绞揭龑W生思考，能把教師對問題的理解轉化為學生的理解，使學生悟透本質，自我提升.

3. 激勵學生提出問題，解決問題，提升素養(yǎng)

蘇霍姆林斯基說過，學生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 這指明了學生提出問題的內部動力——好奇心、認知沖突和質疑精神. 對于探究課的課堂教學，教師不僅自己要準備合適的問題，更要引導學生提出問題.

要上好探究課，教師首先要善于提出好問題. 所謂好問題，不是復述性問題，而是有思維容量的問題，但學生經過思考又是可以回答的問題，至少是有一些學生能夠回答、大部分學生能夠聽懂的問題. 提問題，有多種提法：直問、曲問、反問、激問、引問、追問（唐士凱《數(shù)學教學基本技能》）等. 調整性提問，先問一個籠統(tǒng)點的問題，發(fā)現(xiàn)學生有困難，再提一個具體些的問題. 先大后小的提問，有時候比直接提小問題，更能激發(fā)學生的思維. 先小后大的提問方式，則有層層推進的作用.

在“探究生成”環(huán)節(jié)，徐老師問學生：“你能提出什么問題？”這是開放性提問，是激發(fā)學生提問的大問題. 讓學生提出問題，是探究課的目的之一. 數(shù)學教學的一個重要內容，就是喚醒和激勵學生內心的潛在能量. 教師要尊重和愛護學生的好奇心，充分理解他們在提出問題時的緊張感和焦慮感，并給予更多的鼓勵和關注，讓他們敞開心扉，自由地展現(xiàn)其靈性和個性. 數(shù)學課堂中思維的火花不斷地迸發(fā)，提出問題成為一種愉快的心理體驗，學生在問題的提出和解決過程中，逐步會用數(shù)學的眼光觀察周圍的世界.

實踐活動是學生形成問題的基礎和源泉，從中可以受到一定的啟發(fā)而提出問題. 采用折紙這種簡單有趣的數(shù)學活動，能讓解題思想和方法在學生手中“油然而生”. 通過對折紙過程進行分析和思考，學生心里的問題會得到解決，對折疊的“對稱”性質也就有了深刻的認識. 教師在教學中應放開雙手，放松心態(tài)，讓學生自己去經歷和發(fā)現(xiàn)，讓他們在提出問題和解決問題的過程中感悟數(shù)學問題的本質，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

《普通高中數(shù)學課程標準（征求意見稿）》明確指出：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的. 數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質與關鍵能力. 高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析. 這些核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機體. ”這些核心素養(yǎng)，在應用題的解決過程中都有體現(xiàn). 高中數(shù)學要樹立以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的教學意識，著力創(chuàng)設有利于培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學過程.