沈自華 邵官華

摘要：平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是建立在長方形面積公式推導(dǎo)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗之上，因此學(xué)生會用類比的思想把平行四邊形“拉成”長方形后來計算它的面積。筆者以此為學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，設(shè)計了自主測量計算平行四邊形的面積；討論辨析推導(dǎo)平行四邊形的面積；變式練習(xí)體會平行四邊形的等積變形等三個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在網(wǎng)格圖的幫助下推導(dǎo)、理解并應(yīng)用平行四邊形的面積。

關(guān)鍵詞：平行四邊形面積；類比到轉(zhuǎn)化；直覺到推理

平行四邊形的面積計算是一節(jié)經(jīng)典課，有許多名師展示過。如何借鑒名師課堂教學(xué)中優(yōu)秀的教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合自己的理解，形成自己的教學(xué)，是筆者對于本節(jié)課研究的出發(fā)點。筆者在實踐中發(fā)現(xiàn)，由于受“長方形是特殊的平行四邊形”這一認(rèn)識的負(fù)遷移，學(xué)生會自然而然地用“底×鄰邊”來計算平行四邊形的面積。如何以此為起點，借助網(wǎng)格圖讓學(xué)生對類比直覺結(jié)論的分析中“自然而然”地推導(dǎo)出平行四邊形的面積，并借助網(wǎng)格圖，更好地認(rèn)識平行四邊形面積等積變形中的特性呢？下面以實際教學(xué)為序列，闡述我們的做法。

一、自主測量，嘗試計算平行四邊形的面積

類比思想是學(xué)生在解決新的數(shù)學(xué)問題時的重要的思維方式。但有時候用這樣的思想方法得到的結(jié)論是錯誤的。對于這樣的錯誤，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究的過程中可以充分地暴露，并組織討論與辨析，讓學(xué)生從錯誤的直觀思維走向正確的邏輯推理。

1.提供對比材料，嘗試計算面積

為充分暴露學(xué)生在求平行四邊形面積計算時的類比直覺過程的思維狀態(tài)，設(shè)計了如下的問題：

測量所需要的信息，求長方形（圖：長6cm，寬4cm）和平行四邊形（圖：底6cm，鄰邊5cm，高4cm）。

在測量求平行四邊形面積時同時安排了求長方形的面積，能夠在后續(xù)學(xué)習(xí)時溝通平行四邊形面積公式與長方形面積公式的聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的基本思路。

在求平行四邊形面積時，沒有借助網(wǎng)格圖，而是通過具體的測量，可以更好地暴露學(xué)生可能出現(xiàn)的各種思路。

2.預(yù)測學(xué)生可能，整體展示學(xué)情

學(xué)生自主學(xué)習(xí)情況的預(yù)測，既來自于教師的教學(xué)經(jīng)驗，也來自于對學(xué)生認(rèn)識水平的分析。學(xué)生在自主測量求面積時，長方形面積信息的測量與計算沒有困難。而平行四邊形信息的測量與計算，一般有以下的三種情況。

方法1：求周長，（7+5）×2=24（cm）。這種情況在班級中占比人數(shù)較少，但可以通過這一種錯誤資源引出面積的含義與網(wǎng)格圖。

方法2：“底×鄰邊”，6×5=30（cm2）。這種情況在不同的教學(xué)環(huán)境下占比不同，農(nóng)村占比明顯高于城區(qū)，與學(xué)生是否提前學(xué)習(xí)平行四邊形的面積有關(guān)。一般地，如果沒有提前知道平行四邊形的面積公式，極大多數(shù)會用這一種方法。

方法3：“底×高”，6×4=24（cm2）。與第2類同學(xué)剛好此消彼長。

除這三類情況外，當(dāng)然還有一小部分學(xué)生不知道如何測量與計算。這部分學(xué)生并不一定說明學(xué)習(xí)能力差。而是他們已經(jīng)感覺到用“方法2”解決問題是錯誤的，但又不能夠獨立想到用“方法3”來測量計算。

以上三種方法的出示有兩種策略。一種是依次出示，逐個析，這種策略雖然可以讓學(xué)生能夠更加集中地思考問題，但是缺少了整體的比較。另一種是整體出示（包括長方形的面積計算），然后再組織討論辨析，這樣做可以從整體的視角來認(rèn)識某一種方法的合理性，自然而然地發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系。所以，實際教學(xué)中采用后者，且由教師直接板書于黑板上。如果所上班級沒有出現(xiàn)方法1，也可以出示，體現(xiàn)思維的完整性。

3.逐步展示網(wǎng)絡(luò)，做好辨析鋪墊

在平行四邊形面積公式推導(dǎo)的過程中，如果過早地利用網(wǎng)格圖，會束縛學(xué)生的思維。因此，先讓學(xué)生自主測量沒有網(wǎng)格的長方形與正方形中的相關(guān)數(shù)據(jù)，然后依據(jù)自己的思考計算出結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，再通過追問，出示網(wǎng)格。

首先，在反饋長方形面積計算后追問：面積24平方厘米是指長方形的哪一部分？學(xué)生指出后教師把黑板上的長方形圖添上“6×4”的網(wǎng)格。其次，在點評學(xué)生用求周長求平行四邊形的面積后追問：平行四邊形的面積指哪一部分？學(xué)生指出后教師也給黑板上的平行四邊形添上網(wǎng)格。

通過這兩次操作，借助網(wǎng)格圖讓學(xué)生回溯了長方形與平行四邊形面積的含義，為辨析平行四邊形面積計算公式做好鋪墊。

二、討論辨析，逐步推導(dǎo)平行四邊形的面積

原始的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)往往來自于直覺，學(xué)生采用類比思想用“底×鄰邊”就是這樣的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。教師可以讓學(xué)生說一說想法，并通過教具演示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，并將錯就錯，由“拉一拉”過渡到“移一移”推導(dǎo)出面積公式。

1.討論拉一拉，明析類比的負(fù)遷移

討論方法2時，教師請學(xué)生回答：你是怎樣想法？

生1：我是把這個平行四邊形想成長方形來做的。

這時教師一邊在黑板上帶有網(wǎng)格的平行四邊形的邊上圍上一個框（圖1），一邊追問：你是怎樣看的呢？

請該同學(xué)演示他的想法：拉一拉成為長方形（圖2）。

教師進(jìn)一步追問：拉成的長方形與原來的平行四邊形比較，什么沒有變什么變了？

生2邊指圖2框內(nèi)部分邊說：周長沒有變，但面積變了，上面這一塊就是多出來的。

教師指圖2框外部分并追問：長方形網(wǎng)格中不是也有一塊空缺嗎？

生2移動框外的三角形補(bǔ)上框內(nèi)左下的空缺，然后指框內(nèi)上面空白部分（圖3）。

通過教具的操作，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)“拉一拉”雖然可以轉(zhuǎn)化成長方形，但面積變大了。

2.辨析移一移，利用轉(zhuǎn)化的新推理

教師讓學(xué)生進(jìn)一步觀察“拉一拉”后的圖形，問：為什么拉成長方形后面積會變大？

生3：因為拉成長方形后，高多出一段。

師：大家仔細(xì)觀察，如果高不變，我們是否也已經(jīng)把平行四邊形變成了長方形。

學(xué)生中發(fā)出恍然大悟的“哦”聲。

這時，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方法3中的“6”和“4”分別是平行四邊形的什么？進(jìn)而總結(jié)出平行四邊形的面積計算公式。

3.回顧想一想，清析推理的路線圖

這時，教師請學(xué)生給剛才的學(xué)習(xí)內(nèi)容取一個課題。學(xué)生都說：平行四邊形的面積。教師并不急于板書，反問：明明是推導(dǎo)平行四邊形的面積，為什么要加入一個長方形，求長方形的面積呢？

生1：因為我們通過沿著高割下一塊三角形，再“移一移”，就變成了長方形。

生2：這時，平行四邊形的“底”就是長方形的“長”，“高”就是長方形的“寬”。

教師依據(jù)生2的說法，在兩個公式對應(yīng)的信息之間加上了箭頭，并指出：這樣我們就把原來的平行四邊形“轉(zhuǎn)化”成了與它面積相等的長方形。教師在平行四邊形與長方形之間加上箭頭，并板書“轉(zhuǎn)化”。最后添上課題：平行四邊形的面積，把推導(dǎo)過程形成如圖4的板書。

基于學(xué)情的平行四邊形面積公式推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷了直覺猜想到推理驗證，形成了完整的公式推導(dǎo)思路，為后續(xù)推導(dǎo)三角形、梯形的面積公式提供了思考的路徑。

三、練習(xí)提升，加深對平行四邊形面積的理解

平行四邊形面積計算的練習(xí)可以分成三個層次，第一個層次是圖形計算題，第二個層次是解決問題，這兩個層次均設(shè)計有在直接應(yīng)用公式計算的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?；第三個層次是平行四邊形的等積變形，加深對公式的理解。

1.設(shè)計基本變式，鞏固面積公式

設(shè)計如5的兩個看圖求面積的問題。

先由學(xué)生獨立完成，然后反饋。在校對第1小題后提問：它可以怎樣轉(zhuǎn)化成長方形？學(xué)生回答后教師課件移動成圖6（1），并發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后是一個正方形。第2小題校對后提出同樣的問題，學(xué)生回答后教師課件移動成圖6（2）。對于第2個小題，教師提問：依據(jù)已知的信息，你還能夠提出什么問題？預(yù)設(shè)學(xué)生提出問題：高是24dm所對應(yīng)的底是多少？學(xué)生獨立完成后校對。

兩個問題在校對后，均讓學(xué)生說一說是如何轉(zhuǎn)化的，加深對推導(dǎo)過程的理解。而在第2小題校對后，讓學(xué)生自己提出數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)已有信息發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力。

2.設(shè)計應(yīng)用變式，活用面積公式

與圖形計算相關(guān)的應(yīng)用問題，在審題時，能夠依據(jù)信息聯(lián)想到對應(yīng)的圖形，畫出或想像出圖示，并能夠依據(jù)具體問題，對公式進(jìn)行相應(yīng)的變式。為達(dá)成這樣的目標(biāo)，設(shè)計如下兩個問題。

（1）一個停車位是平行四邊形，它的底是5m，對應(yīng)的高是底的一半。它的面積是多少平方米？

（2）有一塊平行四邊形菜地，它的面積是280m2，其中一條底是14m，它對應(yīng)的高是多少米？

第1題學(xué)生在畫示意圖時，可以依據(jù)“對應(yīng)的高是底的一半”，先畫出底與高，然后再補(bǔ)全平行四邊形。第2題則可以在回憶平行四邊形面積公式的基礎(chǔ)上，把公式變式為已知面積與底，求高。

3.設(shè)計等積變式，深化面積公式

長方形如果確定了長與寬的具體長度，那么它的形狀就確定了。但是平行四邊形如果只規(guī)定底與高，形狀卻有許許多多，這就是平行四邊形的等積變形的特性。為讓學(xué)生理解這一特性，筆者讓學(xué)生在網(wǎng)格圖中畫若干個“底是6cm，高是4cm的平行四邊形”，學(xué)生完成后，展示學(xué)生的作品，總結(jié)“等底等高”的平行四邊形面積相等，進(jìn)一步，利用課件，把這些平行四邊形的底變?yōu)椤巴住保⒃黾又虚g的長方形，進(jìn)一步觀察得出結(jié)論“同底等高”的平行四邊形面積相等。

總之，在推導(dǎo)平行四邊形面積公式時，為揭示面積的意義出示網(wǎng)格圖，再利用網(wǎng)格圖作為參照，通過討論辨析對類比直覺獲得的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化推理，讓學(xué)生學(xué)到的不僅是平行四邊形的面積公式，更是學(xué)會了其中的推理策略與方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形與梯形面積公式的推導(dǎo)提供了方向與思路。

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