●　　(宏實(shí)中學(xué)，安徽 樅陽(yáng)　246700)

1　試題呈現(xiàn)與解法探究

這是2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第10題.從公布的參考答案來(lái)看，求最小值的方法比較常規(guī)，主要是柯西不等式的應(yīng)用；求最大值的方法比較靈活，技巧性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵在于相關(guān)參數(shù)的配湊.在教學(xué)中，筆者得到另外一種解題方法.因?yàn)?/p>

所以原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為下面的例2：

例2設(shè)x1,x2,x3是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+x3=1，求P=5x1x2+x2x3+12x3x1的最大值和最小值.

解設(shè)x1,x2,x3是非負(fù)實(shí)數(shù)，P=5x1x2+x2x3+12x3x1的最小值顯然為0，當(dāng)且僅當(dāng)x1,x2,x3中有兩個(gè)值為0、一個(gè)值為1時(shí)，等號(hào)成立.問(wèn)題的關(guān)鍵在于求P的最大值.

P=5x1x2+x2x3+12x3x1=

x1x2+x2x3+4x1x2+12x3x1=

(x1+x3)x2+x1(4x2+12x3)=

這是一種什么解題方法？解題方法的依據(jù)是什么？還有沒(méi)有其他的變形？事實(shí)上這是不等式證明中經(jīng)常使用的調(diào)整法[1].在本題中，首先給出第一步調(diào)整“固定x2，使x1+x3為定值”，再給出第二步調(diào)整“讓x2在區(qū)間[0,1]上變動(dòng)”，從而求出最大值.

2　什么是調(diào)整法

例4設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,b3,…,bn的任一排列，則

分析這是人教A版《數(shù)學(xué)(4-5)》“不等式選講”中的一個(gè)著名的例子.它的證明比較簡(jiǎn)單，主要運(yùn)用了逐步調(diào)整法.注意到不等式A≥a,B≥b,(A-a)(B-b)≥0?AB+ab≥Ab+Ba，它表明：對(duì)于任意兩組數(shù)A,B;a,b,且A≥a,B≥b，總有AB+ab≥Ab+Ba.

也可以將它們調(diào)整到最小值

3　調(diào)整法的應(yīng)用

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽試題第10題)

(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽試題第11題)

所以

所以

所以

g(c)min=g(3)=1，

(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇省復(fù)賽試題第5題)

(1)

固定式(1)中的y，把x當(dāng)作變量，構(gòu)造函數(shù)

則

f′(x)=8x3-8t3,

(2)

由題意，函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，即f(x)min≤0.

在式(2)中，把y當(dāng)作變量，構(gòu)造函數(shù)

由f(x)min≤0，知函數(shù)g(y)有零點(diǎn)，則

由題設(shè)t>0，從而t≥1，于是

數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)思想.在平時(shí)的解題過(guò)程中，師生要重視對(duì)問(wèn)題和方法的追溯，刨根問(wèn)底，追本求源，挖掘試題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從中提煉出數(shù)學(xué)解題方法，這樣才能知其然，更知其所以然[3].

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

[2]波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯．上海：上海教育出版社，2001.

[3]葉會(huì)新.提高探究實(shí)效培養(yǎng)思維能力[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(6)：41-44．