●　　(宣城中學,安徽 宣城　242000)

1　案例背景

“安徽省高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課暨觀摩會”于2017年11月27—29日在安徽省宿州市宿城一中隆重舉行，來自全省各地市的35位優(yōu)秀教師奉獻出了他們精心準備的優(yōu)質(zhì)數(shù)學課.比賽內(nèi)容包括教學設(shè)計撰寫、上課、觀課與評課這4個項目.筆者非常榮幸參加了這次緊張又激烈的比賽.此次活動歷時兩天，以“同課異構(gòu)”的方式進行課堂展示，共4個課題：單位圓的對稱性與誘導公式、雙曲線及其標準方程、命題、曲線與方程.

其中，“曲線與方程”是概念課，數(shù)學概念的獲得離不開數(shù)學抽象，而數(shù)學抽象又是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之首，數(shù)學概念教學是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑之一.因此，數(shù)學概念教學要以數(shù)學知識的傳授、數(shù)學方法的提煉為載體，為培育學生的核心素養(yǎng)添磚加瓦.下面筆者以北師大版《數(shù)學(選修2-1)》第3章“曲線與方程”的3個同課異構(gòu)課例為例，以“數(shù)學抽象”為切入點，就概念課中如何培養(yǎng)學生“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱挠^點，與同行交流.

2　案例呈現(xiàn)

2.1概念引入階段——引入概念求趣，激發(fā)求知探求動機

數(shù)學概念的引入方式多種多樣，但不論哪種形式，情境創(chuàng)設(shè)是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，也是我們在進行教學設(shè)計時需著力解決的問題.

對于課題的引出，本次大賽中宣城中學C老師和阜陽二中L老師都沒有采用開門見山似的課題先行方式，而是貼近學生實際創(chuàng)設(shè)情境，自然引出課題.

設(shè)計1課堂伊始，宣城中學C老師播放有關(guān)笛卡爾的視頻.視頻結(jié)束，C老師拋出問題：

視頻中人物對話交流了笛卡爾在數(shù)學及其他學科領(lǐng)域的杰出貢獻，尤其是坐標系的建立，讓我們能夠通過方程去研究曲線的性質(zhì)，為什么可以用方程去研究曲線？這種研究可靠嗎？怎樣保證這種可靠呢？今天我們學習“曲線與方程”，看看曲線與方程存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系.

設(shè)計2阜陽二中L老師展示了學生熟悉的百歲山廣告插圖，然后發(fā)問：這張圖片大家熟悉嗎？

生:熟悉，是百歲山.

生：不知道(不熟悉的方程).

L老師：公主通過建立坐標系，作圖，發(fā)現(xiàn)它是一條美麗的心形線.

生：哇！

L老師：其實一個方程對應(yīng)一條曲線，今天我們來研究曲線與方程之間具體有怎樣的對應(yīng)關(guān)系.

數(shù)學概念的引入方式多種多樣，可以從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”的過程[1].兩位賽課教師針對學生的心理特征，都注重創(chuàng)設(shè)合理又有趣的情境，來激發(fā)學生學習“曲線與方程”的興趣和求知動機，讓學生覺得概念課“很有意思”.創(chuàng)設(shè)情境，引入概念，不僅有利于學生概念的構(gòu)建，也使得學生對概念“回味無窮”.

2.2概念建構(gòu)階段——生成概念求準，培養(yǎng)抽象概括能力

建構(gòu)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念，不僅需要教師嚴謹?shù)臄⑹霰磉_能力，也需要學生的抽象概括能力.

2.2.1作歸納，抽象概括

設(shè)計1宣城中學C老師拋出了以下兩個問題，引導學生完成了概念的建構(gòu).

問題1在平面直角坐標系中，平分第一、三象限的直線方程是什么？

生：x-y=0.

C老師：直線由無數(shù)個點組成，方程x-y=0有無數(shù)個解，直線上的點和方程的解之間有怎樣的關(guān)系呢？

生：直線上的點的坐標滿足方程，以方程的解為坐標的點在直線上.

C老師：設(shè)點M(x0,y0)在直線上，則|x0|=|y0|，因為直線平分第一、三象限，即x0=y0，亦即x0-y0=0，滿足方程x-y=0.

反之，滿足方程x-y=0的解(x0,y0)有

x0-y0=0，

則

|x0|=|y0|，

(x0,y0)對應(yīng)的點在直線上.

問題2在平面直角坐標系中，以(a,b)為圓心、r為半徑的圓的方程是什么？

生：(x-a)2+(y-b)2=r2.

C老師：設(shè)點M(x0,y0)是圓上任意一點，則

兩邊平方得(x0-a)2+(y0-b)2=r2，

即圓上的點的坐標都是方程的解.

設(shè)(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的任意一個解，代入并開方得

以方程的解為坐標的點都在圓上.

由上可知，宣城中學C老師引導學生由特殊到一般，由具體到抽象，生成曲線的方程、方程的曲線的概念.在這個過程中，不僅學生的自我建構(gòu)順暢又自然，而且抽象概括能力也水到渠成地得到提升.

2.2.2借技術(shù)，明確概念

運用多媒體輔助教學，有助于學生理解概念.宣城中學C老師使用幾何畫板，以動畫的形式進一步動態(tài)地演示了直線上的動點與其方程的關(guān)系.

設(shè)計2(幾何畫板演示)點在直線上，點的坐標滿足方程,點不在直線上，點的坐標不滿足方程，也就是坐標滿足方程，從而坐標對應(yīng)的點在直線上.

經(jīng)過這樣的驗證，學生就加深了認識，再從特殊到一般，他們就能準確地理解曲線的方程與方程的曲線的概念，且能經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、歸納、抽象的數(shù)學思維過程.

2.3概念鞏固階段——鞏固概念求實，培養(yǎng)辨析類比能力

生成概念后，若能切實提出質(zhì)疑，使概念的內(nèi)涵或外延更加清晰，從而清除模糊和疑問，進而提高學生的辨析類比能力,發(fā)展學生的抽象素養(yǎng).

2.3.1引反例，加深理解

設(shè)計1阜陽二中L老師從學生熟悉的問題出發(fā)，引入反例，加深學生對概念的理解.

L老師：下列各組曲線與方程，你認為它們能不能相互表示？

生：不能.

L老師:為什么？

生：直線上點(1，1)不在方程上.

L老師：多一個也不行.

2)曲線：△AOB中邊AB上的中線，其中O(0，0),A(2，0)，B(0，2)；方程：x-y=0.

生：不能，中線是線段，方程x-y=0表示的是直線.

L老師：少一個也不行.

阜陽二中L老師引導學生逐步認識到只有當“曲線C上的點與方程f(x，y)=0的解之間具有一一對應(yīng)關(guān)系”時，才能確定“曲線C是方程f(x，y)=0的曲線，方程f(x，y)=0是曲線C的方程”.

2.3.2巧辨析，融會貫通

設(shè)計2阜陽二中L老師引導學生從句子成分這個角度來分析方程的曲線、曲線的方程的區(qū)別.

L老師：能否將上述兩組曲線與方程中的一個加以修改，使得曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程？

找出概念間的共同點和聯(lián)系處，將概念聯(lián)系起來理解，這種方法既能區(qū)別概念間的異同，又能使知識融會貫通.

2.4概念運用階段——運用概念求活，培養(yǎng)應(yīng)用創(chuàng)新能力

學生只有將概念靈活運用于具體數(shù)學問題中，并能據(jù)此探求捷徑，尋覓妙法，使思維顯現(xiàn)出求新創(chuàng)造的狀態(tài)，才是真正而深刻地掌握了概念.

2.4.1重例題，深化理解

幾位賽課教師都注重回歸課本例題：

師：學以致用，請同學們看下面的例題：

例1證明：圓心為M(3,4)、半徑等于5的圓的方程是(x-3)2+(y-4)2=25，并判斷點O(0,0),A(-1,0),B(1,2)是否在這個圓上.

圖1

練習1)寫出如圖1所示的曲線方程；

2.4.2設(shè)活動，提升思維

建構(gòu)主義認為活動是第一位的，強調(diào)要在“做數(shù)學中學習數(shù)學”.新課程也強調(diào)以學生的發(fā)展為本，倡導學生通過參與、自主探索、研究，發(fā)現(xiàn)知識，習得知識，重在對學生潛能的開發(fā)及創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng).

宿松程集中學S老師在這方面做了有益的探索，為了深化學生對曲線與方程對應(yīng)關(guān)系的理解，設(shè)計學生活動，采取分組匯報、合作學習的方式，通過鑒別熟悉情境中的錯誤，引發(fā)認知沖突，從而讓學生深化對概念的理解.

3　案例反思

下面筆者結(jié)合自身的教學實踐和聽課感悟，談?wù)劯拍钫n教學中如何培養(yǎng)“數(shù)學抽象”素養(yǎng)：

3.1數(shù)學抽象的起始點：創(chuàng)設(shè)情境

“曲線與方程”是概念課，需要學生經(jīng)歷抽象思維過程，而抽象化、符號化的數(shù)學語言難免枯燥，選擇融入數(shù)學史的方式作為情境引入，通過觀看數(shù)學家笛卡爾與坐標法的視頻，講述笛卡爾和瑞典公主克里斯汀娜的愛情故事，將數(shù)學家們進行的數(shù)學抽象“再現(xiàn)”，讓學生認識到數(shù)學抽象是數(shù)學的有力武器和一大長處，數(shù)學并不是乏味而單調(diào)的.數(shù)學抽象的內(nèi)在魅力會使學生從內(nèi)心深處喜歡上數(shù)學，而創(chuàng)設(shè)情境、引入數(shù)學概念是最基本的數(shù)學抽象形式[2]，這是發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)的起始點.

3.2數(shù)學抽象的著力點：歸納類比

“曲線與方程”概念很抽象，學生對于一般的曲線及其方程概念的內(nèi)涵和外延又較陌生，而教師在課堂上往往又沒能給學生留出充分的時間去思考，這使學生對概念理解不深、掌握不透.

在概念生成階段，宣城中學C老師在復習了學生熟悉的直線、圓和橢圓與其方程的對應(yīng)關(guān)系后，讓學生比較、分析，從特殊到一般，帶領(lǐng)學生歸納，引導學生進行抽象概括，并自我建構(gòu)“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念，取得了較好的教學效果.在獲得概念的過程中，學生歸納類比、抽象概括，親自參與數(shù)學抽象過程、親自經(jīng)歷數(shù)學抽象思維，優(yōu)化了數(shù)學思維品質(zhì)，提升了數(shù)學核心素養(yǎng).因此，歸納類比、抽象概括是生成概念的重要手段，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的著力點.

3.3數(shù)學抽象的助推點：巧借技術(shù)

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教學的重要目的在于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì).聰明的學生善于抓住問題的本質(zhì)，而相當一部分學生沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學思維品質(zhì)，此時教師可以利用幾何畫板操作畫圖、直觀示意，將抽象的數(shù)學理論知識更加直觀和形象地呈現(xiàn)出來，便于學生去理解數(shù)學知識和內(nèi)化抽象問題.也可以讓學生自己動手操作，經(jīng)歷觀察、比較、綜合、抽象、概括的思維過程，讓學生在過程中實現(xiàn)數(shù)學抽象素養(yǎng)的提升.可見，巧借技術(shù)是提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的助推點.

3.4數(shù)學抽象的關(guān)鍵點：聯(lián)系反例

“曲線與方程”這節(jié)概念課上，學生必然經(jīng)歷直觀表象到抽象概念的過程，而在這過程中，理解定義中為何要規(guī)定兩個關(guān)系是教學難點，學生不理解兩者缺一都將擴大概念的外延.阜陽二中L老師以學定教，認為既然學生心中已積累了用方程表示直線、圓等實際模型，那就具備了感性認識的基礎(chǔ)，可用舉反例的方法來解決疑難，借助反例來揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而促使學生對曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系進行探索.這樣學生就在具體易錯的情境中檢驗、提升了對概念的理解和應(yīng)用，這樣感悟的思維體驗才是最深刻的，把握的數(shù)學抽象結(jié)果才是最有價值的.可以說，聯(lián)系反例是發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵點.

3.5數(shù)學抽象的生長點：設(shè)計活動

數(shù)學抽象是一種高水平、高級別的思維，需要學生的獨立思考和智力參與.教師不能告訴抽象的結(jié)果，要讓學生靠自己的力量、用自己的思考，深度參與數(shù)學抽象的過程，最終形成抽象的結(jié)果[3].因此，設(shè)計數(shù)學活動對于提升數(shù)學抽象素養(yǎng)有著舉足輕重的作用.課堂教學中，開展數(shù)學活動，讓學生在觀察、猜想、驗證、推理、討論、互動等活動中體驗數(shù)學，放手讓學生積極地思維和自主地探究，教師會發(fā)現(xiàn)：每一位學生都有探究的熱情和創(chuàng)造的潛能，他們在觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、反思與建構(gòu)等思維過程中進行抽象思維的碰撞，在經(jīng)歷了數(shù)學抽象思維的深度歷煉后，學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)就會得到一定的提升.因此，數(shù)學活動正是培育學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的生長點.

4　結(jié)語

抽象是數(shù)學的本質(zhì)特征，抽象素養(yǎng)是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)中的核心，概念課教學是培養(yǎng)學生抽象思維的重要渠道，是發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的有效依托，是落實數(shù)學抽象素養(yǎng)的良好載體.通過概念教學，讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的思維歷程，并以數(shù)學概念的內(nèi)在邏輯為線索，把數(shù)學抽象貫穿于數(shù)學概念引入、生成、鞏固、運用的全過程[4]，讓學生在體驗數(shù)學情境、巧借幾何畫板、經(jīng)歷數(shù)學活動、感悟數(shù)學反例的過程中提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

[1]傅瑞琦．讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”過程——課例“平行線的判定1”教學實踐與思考[J]．中學教研(數(shù)學)，2012(3)：28-30．

[2]倪科技.從“三角函數(shù)的周期性”教學談高中數(shù)學概念的引入[J].中學數(shù)學教學參考,2015(11)：25-26.

[3]晁豐成.讓“數(shù)學抽象”素養(yǎng)在“概念教學”中落地[J].中學數(shù)學研究,2017(5)：21-23.

[4]張輝蓉，王曉杰，宋美臻.我國數(shù)學抽象研究及反思[J].課程·教材·教法,2017,37(9)：79-84.