吳根鋒

【摘要】 本文通過對平面幾何中一道例題的二十八種不同的證明方法，闡述在教學(xué)過程中利用一題多解的方法來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

【關(guān)鍵詞】 “求異思維” “添加輔助線” “多解”

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）02-092-03

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一題多解就是從結(jié)論開始，尋求多種解題方法。求異思維是一種不依常規(guī)，尋求變異，從多方面尋找解題方法的思維形式。培養(yǎng)學(xué)生的求異思維的目的在于開拓學(xué)生的思路，它能使學(xué)生的思維具有獨(dú)創(chuàng)性、靈活性、嚴(yán)密性和廣闊性。怎樣才能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力呢？本文從幾個方面談?wù)劺靡活}多解來培養(yǎng)學(xué)生的求異思維。下面就一道平面幾何題。運(yùn)用學(xué)過的基礎(chǔ)知識，啟發(fā)學(xué)生從多角度、多側(cè)面、多學(xué)科、多途徑的思考中作出三十種不同的證明方法。從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的。

一、點(diǎn)拔導(dǎo)向，學(xué)會分析

在教學(xué)中，只滿足讓學(xué)生“知其然”是遠(yuǎn)不夠的，還必須使學(xué)生“知其所以然”。要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，由易到難，循序漸進(jìn)地教會學(xué)生分析問題和解決問題的基本方法。以下面一道幾何為例給予說明。

例題：在△ABC中，AE為∠BAC的角平分線，D為BC的中點(diǎn)，過D作平行于AE的直線交CA于F，交AB于G.如圖（1）所示，求證：CF=BG

這是一道題典型的基礎(chǔ)題。證明兩線段相等，從思路上可以聯(lián)想到的是：兩三角形全等、等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、等積、軸對稱圖形、比例線段、三角函數(shù)、圓的半徑等問題?，F(xiàn)我們先從學(xué)生最容易聯(lián)想到的三角形全等開始；

思路（一）：添加輔助線使兩三角形全等，得線段相等。

方法1、過點(diǎn)C、B分別向FD作垂線，垂足分別交FD于P、H兩點(diǎn)。如圖（2）所示，先證△BHD≌△CPD得BH=CP，后證△BHG≌△CPF得BG=CF.

方法2、過點(diǎn)B作直線BH，使BH//CF交FD的延長于H.

如圖（3）所示，可證得△BHD≌△CFD，所以FC=BH，由已知條件可證△BHG為等腰三角形，可得BG=BH.從而得出BG=FC.

方法3、過點(diǎn)C作直線CH，使CH//AB交FD的延長于H.如圖（4）所示，可得△BDG≌△CDH，所以HC=BG，又由已知條件可證△CHF為等腰三角形，可得CF=CH.從而得出BG=FC

二、激發(fā)求異思維，一題多解

學(xué)生掌握了分析問題的方法之后，教師要利用典型的例題進(jìn)行一題多解，從而激發(fā)學(xué)生求異動機(jī)，有意識地安排一些多變的練習(xí)，增強(qiáng)思維起點(diǎn)和思維過程的靈活性。如本例題中，學(xué)生用添加輔助線使兩三角形全等，得線段相等，學(xué)了幾種證法后，教師啟發(fā)學(xué)生能否用創(chuàng)設(shè)輔助線使三角形為等腰三角形或其他添加輔助線的方法，從而得線段相等？

思路（二）：創(chuàng)設(shè)輔助線使三角形為等腰三角形，得線段相等。

方法4、過點(diǎn)C作直線CH，使CH//DF交BA的延長于H.

如圖（5）所示，由已知條件可證△AHC和△AFG都為等腰三角形，得AG=AF，AH=AC，所以CF=GH，因DG是△BHC的中位線，所以BG=GH，從而得出BG=FC.

方法5、過點(diǎn)B作直線BH，使BH//FD交CF的延長于H.

如圖（6）所示，由已知條件可證△AHB和△AFG都為等腰三角形，得AG=AF，AHAB，所以HF=BG，由已知可證DF是△BHC的中位線，所以HF=CF.從而得出BG=FC

方法6、用尺規(guī)作圖法作，以B為頂點(diǎn)，BG長為半徑作弧，使弧與FD的延長線相交于H，連接BH，則△BGH為等腰三角形，如圖（7）所示，得BG=BH，由已知條件可證得△BGH≌△CFD，得BH=CF，所以BG=CF.

方法7、用尺規(guī)作圖法作，以C為頂點(diǎn)，CF長為半徑作弧，使弧與FD的延長線相交于H，連接CH，則△CFH為等腰三角形，如圖（8）所示，得CF=CH，由已知條件可證得△BGD≌△CHD，得BG=CH，所以BG=CF.

思路（三）：創(chuàng)設(shè)輔助線使四邊形為平行四邊形得線段相等。

方法8、過點(diǎn)D作直線DH交BG于K，使DH//CF，過點(diǎn)F作直線FH，使FH//CB，連接HB，如圖（9）所示。則四邊形DHFC和四邊形BHFD都為平行四邊形，得CF=HD，由已知條件得△BKH和△GKD都為等腰三角形，得KG=KD，KH=KB，所以HD=BG，從而得出BG=FC.

方法9、過點(diǎn)F作直線FH使FH//BC，過點(diǎn)B作直線BH，使BH//DF，連接DH，交BG于K，如圖（9）所示。與方法8同理可得BG=FC.

方法10、過點(diǎn)D作直線DH交FC于K，使DH//AB，過點(diǎn)G作直線GH，使GH//CB，連接CH，如圖（10）所示，可證四邊形BDHG和四邊形GHCD都為平行四邊形，得BG=HD由已知條件可證△KHC和△KFD都為等腰三角形得KF=KD，KH=KC，所以，HD=FC，從而得出BG=FC.

方法11、過點(diǎn)G作直線GH使GH//BC，過點(diǎn)C作直線CH，使CH//DF，連接DH，交FC于K，如圖（10），與方法10同理可得BG=FC.

方法12：過點(diǎn)C作直線CP，使PC//DF交BA的延長線于P，過點(diǎn)G作直線GQ，使GQ//CF交PC的延長線于Q，如圖（11），可證四邊形GQCF為平行四邊形，得FC=GQ，由已知可證DG為△BPC底邊CP的中位線，可得BG=GP=GQ，得出BG=FC.

方法13：過點(diǎn)B作直線BP，使BP//DF交CF的延長線于P，過點(diǎn)F作直線FQ，使FQ//AB交BP于Q，如圖（12）則四邊形GFQB為平行四邊形，得BG=QF，由已知可證DF為△CBP底邊BP的中位線，可得CF=FP=FQ，得出BG=FC.

方法14：過點(diǎn)B作直線BP，使BP//DF交CF的延長線于P，過點(diǎn)G作直線GQ，使GQ//CP交BP于Q，如圖（13）則四邊形GFPQ為平行四邊形，得PF=GQ，由已知可證DF為△CBP底邊BP的中位線，可得CF=FP=BG，得出BG=FC.

方法15、過點(diǎn)C作直線CP，使CP//DF交BA的延長線于Q，過點(diǎn)F作直線FP，使FP//GQ交CQ的延長線于P，如圖（14）則四邊形GQPF為平行四邊形，得PF=GQ，由已知可證CF=FP，DG為△BCQ底邊CQ的中位線，可得BG=GQ=PF，得出BG=FC.

思路（四）：創(chuàng)設(shè)輔助線使線段為三角形一邊為底邊上的中位線，得線段相等。

方法16：延長BG到H使GH=BG，連接CH。如圖（15）所示，可得DG為△BCH底邊CH的中位線，得CH∥GD.由已知條件可證△AHC和△AFG都為等腰三角形，得AG=AF，AH=AC，所以CF=GH.從而得出BG=FC.

方法17：延長CF到H使FH=CF，連接BH.

如圖（16）所示，可得FD為△CBH底邊BH的中位線，得BH∥FD.由已知條件可△AHB和△AFG都為等腰三角形，得AG=AF，AH=AB，所以HF=BG.

從而得出BG=FC.

三、轉(zhuǎn)換角度，培養(yǎng)求異思維的靈活性

通過對上例題的多種不同的證明方法，大大地調(diào)動起學(xué)生的求異思維動機(jī)，這時教師要不失時機(jī)地轉(zhuǎn)換角度，培養(yǎng)求異思維的創(chuàng)造性。一些數(shù)學(xué)問題，尤其是證明題，學(xué)生思考時老往一個方向，從而浪費(fèi)時間和精力，如果學(xué)生能轉(zhuǎn)換思維角度，從另一個側(cè)面分析，就會使一些問題迎刃而解。

思路（五）：添加輔助線，使兩三角形面積相等高相等，得底邊也相等。

方法18：連接AD，GE，F(xiàn)E，如圖（17）所示，由已知條件

可證S△ABD=S△ADC=S△BGE=S△CFE，且△BGE和△CFE的底邊BG和CF上的高相等。所以等高等積的兩個三角形也等底。從而得出BG=FC。思路（六）：添加輔助線，利用數(shù)形關(guān)系，用等量代換求線段相等。

方法19、過點(diǎn)D作直線DH，使DH//AB交FC于H.如圖（18）所示，可得DH為△CAB的底邊AB上的中位線，所以2HD=AB，設(shè)AH=m，AF=n，由已知條件可證△DHF為等腰三角形，可得HF=DH。從而得出AB=BG+AG=2DH，即BG=2DH-AG=2m+n，又因?yàn)镕C=AF+

AH+HC=2m+n，所以得出GB=FC.

方法20、過點(diǎn)D作直線DH，使DH//FC交AB于H.如圖（19）所示，可得DH為△BCA的底邊AC上的中位線，所以2HD=AC，設(shè)GH=m，AF=n，由已知條件可證△DHG為等腰三角形，可得HG=DH。從而得出AB=BG+AG=2（m+n），即BG=2AH-AG=2m+n，又因?yàn)?/p>

FC=AF+AC=2m+n，所以得出GB=FC思路（七）：添加輔助線，利用解直角三角形，得兩邊相等。

方法21、過點(diǎn)C、B分別向FD作垂線，垂足分別交FD于N、M兩點(diǎn)。如圖（20）所示，在Rt△GMB中，sin（∠BGM）=BM/BG，在Rt△FNC中，sin（∠NFC）=CN/CF，由已知可證，∠BGM=∠NFC，BM=CN，從而得CF=BG.

思路（八）：添加輔助線，利用軸對稱圖形性質(zhì)得線段相。

方法22、過點(diǎn)C作直線CH，使CH⊥DF，垂足K，過點(diǎn)F作直線FH，使FH//BG，連接BH，如圖（21）所示，得出△HFC是關(guān)于FK為對稱軸的軸對稱圖形，所以FC=FH，由已知條件可證四邊形BGFH為平行四邊形，得FH=BG，所以BG=FC.

方法23、過點(diǎn)B作直線BH，使BH⊥DF，垂足K，過點(diǎn)G作直線GH，使GH//CF，連接CH，如圖（22）所示，得出△GBH是關(guān)于GK為對稱軸的軸對稱圖形，所以BG=GH，由已知條件可證四邊形GHCF為平行四邊形，得GH=CF，所以BG=FC.

思路（九）：添加輔助線，利用圓的相關(guān)知識，得兩邊相等。

方法24、以G為園心，BG長為半徑作圓，延長BG與圓相交于H點(diǎn)，連接HC，如圖（23）所示。則有BG=GH，由已知條件可證DG為△BHC底邊CH的中位線，△AHC和△AFG為等腰三角形，得FC=GH=BG，所以BG=FC.

方法25、以F為園心，CF長為半徑作圓，延長CF與圓相交于H點(diǎn)，連接HB，如圖（24）所示。

則有CF=FH，由已知條件可證DF為△BHC底邊BH的中位線、△AHB和△AFG都為等腰三角形，可證得FH=CF=GB，所以BG=FC.

方法26、以B為園心，BG長為半徑作圓，延長FD與圓相交于H點(diǎn)，

連接HB，如圖（25）所示。則有BG=BH，由已知條件可證△BDH≌△CDF，得FC=HB，所以BG=FC.

方法27、以C為圓心，CF長為半徑作圓，延長FD與圓相交于H點(diǎn)，連接CH，如圖（26）所示。則有CF=CH，由已知條件可證△BDG≌△CDH，得CH=BG，所以BG=FC.

四、全方位，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是求異思維的又一特征，思維的狹窄性表現(xiàn)在只知其一，不知其二，稍有變化就不知所云。所以反復(fù)進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練就能使學(xué)生在訓(xùn)練中逐漸形成具有多角度全方位的思維方法與能力。如本例題已經(jīng)練習(xí)了26種不同的添加輔助線的證明方法，當(dāng)然還不止這些添加的方法。但這道題除了用添加輔助線證明外還有其他方法嗎？這時教師就要啟發(fā)學(xué)生全方位的分析這道題，使學(xué)生自己得出更多更好的證明方法。從而使學(xué)生的思維更具廣闊性。

思路（十）：利用角平分線定理和平行線分線段成比例定理得兩線段相等。

方法28、如圖（27）所示，因?yàn)锳E是∠BAC的角平分線，所以AC/CE=AB/BE，因?yàn)锳E∥DF，可得BG/BD=AB/BE，AC/EC=

CF/CD，即AC/CE=BG/BD=CF/CD，所以BG/BD=CF/CD，因?yàn)镃D=BD，得BG=FC.

方法29、如圖（27）所示，因?yàn)锳E是∠BAC的角平分線，AE∥DF，可得△AGF是等腰三角形，AF=AG，因?yàn)锳E∥DF，得BG/BD=AG/DE，AC/EC=AF/DE=CF/CD，即BG/BD=CF/CD，因?yàn)镃D=BD，所以得BG=FC.

方法30、如圖（27）所示，在△GBD中，由正弦定理得BD/sin（∠BGD）=BG/sin（∠BDG），在△FDC中由正弦定理得CD/sin（∠F）=FC/sin（∠FDC）=FC/sin（180°-∠BDG）=FC/sin（∠BDG），由已知可得∠F=∠BGD，BD=CD.所以得BG/sin（∠BDG）=FC/sin（∠BDG），從而得CF=BG.

根據(jù)《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣；調(diào)動學(xué)生積極性；引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考；鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。以上通過對一道幾何題的三十種不同的證明方法，從多側(cè)面，多角度培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到啟發(fā)學(xué)生思維的目的。在教學(xué)中靈活運(yùn)用一題多解的教學(xué)方法，實(shí)質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，也是給學(xué)生提供更廣泛的思維空間，讓他們在多角度、多側(cè)面、多學(xué)科、多途徑的思考中，篩選出最佳的解法，找到最合理也是最科學(xué)的方法，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的目的。所以培養(yǎng)學(xué)生思維的最好方法是一題多解。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]人民教育出版社《數(shù)學(xué)》七、八、九年級全冊.