高敏

[摘 要] 教師的主導(dǎo)作用和一切努力都是為了更好地確定學(xué)生的主體地位和更充分地發(fā)揮學(xué)生的主體作用，課堂上，教師所有的講、說(shuō)、讀、寫(xiě)、畫(huà)都是為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生鉆研、探索、爭(zhēng)論和問(wèn)題解決的積極性和實(shí)效性. “子集”本身的內(nèi)容比較單薄，經(jīng)過(guò)教者的巧妙調(diào)配，卻可以達(dá)到擴(kuò)容和增效的效果.

[關(guān)鍵詞] 子集概念；數(shù)學(xué)課堂；數(shù)學(xué)思維；教學(xué)活動(dòng)

近兩年來(lái)，關(guān)于“中學(xué)數(shù)學(xué)課堂到底能否交給學(xué)生”的討論，引起了廣泛的關(guān)注，筆者對(duì)此議題進(jìn)行了反復(fù)深思，認(rèn)為“教師完全包辦課堂”和“將課堂完全交給學(xué)生”這兩種極端行為都不對(duì). 并在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步探索，認(rèn)為：教師的主導(dǎo)作用和一切努力都是為了更好地確定學(xué)生的主體地位和更充分地發(fā)揮學(xué)生的主體作用，課堂上，教師所有的講、說(shuō)、讀、寫(xiě)、畫(huà)都是為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生鉆研、探索、爭(zhēng)論和問(wèn)題解決的積極性和實(shí)效性. 然而，也必須承認(rèn)，教學(xué)案或?qū)W(xué)案的創(chuàng)編，教學(xué)流程的預(yù)設(shè)，課堂氛圍的營(yíng)造，問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，教學(xué)程序?qū)嵤┻^(guò)程中的調(diào)控，對(duì)課堂上出現(xiàn)狀況時(shí)的應(yīng)對(duì)處置，對(duì)學(xué)生進(jìn)行提示、啟發(fā)、誘導(dǎo)、點(diǎn)撥和喚醒，都離不開(kāi)教師的主導(dǎo)作用.

為了詳細(xì)解讀上述理念，筆者特以“子集概念”的教學(xué)為例，展示此理念在課堂上的具體貫徹.

概念出臺(tái)

師：今天我們來(lái)研究——

生：子集.

師：書(shū)上寫(xiě)得明白，你們當(dāng)然知道啦！但下面要求大家盡量不看書(shū)，要通過(guò)自己的努力來(lái)達(dá)成此節(jié)課的目標(biāo). 那么，什么叫“子集”呢？

生：從一個(gè)集合（能否叫“母集”？）中取出一部分元素構(gòu)成新的集合，就得到“母集”的子集.

師：哈哈，看似有點(diǎn)道理，但這是想當(dāng)然，決不能代替嚴(yán)謹(jǐn)精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 先看一個(gè)實(shí)例. 設(shè)集合B={大爺，大娘，哥哥，嫂嫂，小娃}，集合A={哥哥，嫂嫂，小娃}，那么集合A是集合B的什么？

生：集合A是集合B的子集.

師：這樣就可以給出子集的定義了.

生（在教師的協(xié)助下完善）：對(duì)于集合A與集合B，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，那么集合A就叫集合B的子集，記為A？哿B或B？勐A，讀為“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

研磨定義

師：對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容，一般都用三種語(yǔ)言（自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言）來(lái)表示，所以得圖1. 不過(guò)，這個(gè)圖形有個(gè)弊端，就是它會(huì)使我們誤以為子集A似乎比集合B“小”，前面的事例也給我們這個(gè)感覺(jué)，認(rèn)為集合A是“小家庭”，集合B是“大家庭”，其實(shí)集合根本就沒(méi)有大小之說(shuō)！現(xiàn)在，我們將一個(gè)集合的全部元素都取出，如集合C={a，b，c}，集合D={a，b，c}，大家看看集合C能否叫集合D的子集？

生1：從感覺(jué)上看，好像集合C不應(yīng)該是集合D的子集，但嚴(yán)格按照定義來(lái)判斷，集合C中的元素都是集合D中的元素，所以集合C是集合D的子集.

生2：集合D也是集合C的子集?。ㄆ嫣氐慕Y(jié)論使學(xué)生興奮異常）

生3：一個(gè)集合與其本身互為子集，所以有A？哿A，還有A？勐A. （教室里響起一片叫好聲）

生4：反過(guò)來(lái)，若有A？哿B，且B？勐A，則A=B. （教室里又一陣叫好聲）

師：現(xiàn)在有個(gè)難辦的問(wèn)題，就是如何處理空集與集合的關(guān)系，大家認(rèn)為應(yīng)該怎么辦？

（經(jīng)過(guò)七嘴八舌的討論，有學(xué)生認(rèn)為撇開(kāi)這個(gè)“討厭”的空集算了）

師：空集是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要角色，哪能撇開(kāi)哩！告訴大家吧，數(shù)學(xué)中有個(gè)規(guī)定，即空集是任何集合的子集，即？哿A. 還有一個(gè)棘手的問(wèn)題，如集合E={a，b，c，d}，集合F={a，b，c，d}，集合G={a，b，c}，則集合F和集合G都是集合E的子集，可是如何區(qū)分它們呢？

生5：集合G是集合E的真子集，集合F是集合E的……（一時(shí)無(wú)語(yǔ)）

師：總不能叫“假”子集吧？（學(xué)生大笑）沒(méi)有“假”子集這個(gè)概念. 真子集有個(gè)記號(hào)，如果集合G是集合E的真子集，則記為G？芴E（讀作“G真包含于E”）. 那么，請(qǐng)大家給出真子集的定義.

生6：如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A，則集合A叫集合B的真子集.

師：數(shù)學(xué)學(xué)好了，說(shuō)話(huà)就是嚴(yán)謹(jǐn)，滴水不漏??！現(xiàn)在大家有什么聯(lián)想？

生7：記號(hào)“？芴”好像“≤”，記號(hào)“？哿”好像“<”.

師：這叫類(lèi)比聯(lián)想，數(shù)學(xué)中運(yùn)用得很多. 再如，由a

生8：a

師：這種性質(zhì)叫作——

生8：傳遞性.

師：類(lèi)比聯(lián)想使我們獲得舉一反三、觸類(lèi)旁通之效，在其他學(xué)科和生活中也常用到. 沒(méi)有想到吧，我們研究子集，竟獲得如此豐碩的成果. 此時(shí)我不禁有點(diǎn)感慨，想用有趣的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，即有“真”卻無(wú)“假”——

生9：有“子”沒(méi)有“媽”. （學(xué)生忍俊不禁）

師：再續(xù)兩句更好.

生10（經(jīng)過(guò)思索）：類(lèi)比來(lái)聯(lián)想，戰(zhàn)果無(wú)限大.

思維訓(xùn)練

師：有關(guān)子集的知識(shí)雖不是很復(fù)雜，但必須認(rèn)準(zhǔn)其精髓，才能解決有關(guān)問(wèn)題，且可避免犯錯(cuò)，這對(duì)我們思維的各種品質(zhì)是一個(gè)嚴(yán)峻的考驗(yàn). （已略去部分淺顯的問(wèn)題）

問(wèn)題3：設(shè)集合A={xx>a}，B={xx>5}.

（1）若A？哿B，則a的取值范圍是____；

（2）若A？芴B，則a的取值范圍是___；

（3）若A與B之間沒(méi)有互相包含的關(guān)系，則a的取值范圍是________.

對(duì)于（1），學(xué)生不難得到a≥5，但（2）卻引起了很大的爭(zhēng)論.

生1：答案也是a≥5.

生2：不對(duì)，若a=5，則A=B，A？芴B不成立.

學(xué)生幾乎一時(shí)語(yǔ)塞，課堂氣氛限于沉悶.

師（畫(huà)出圖2）：請(qǐng)對(duì)照這個(gè)圖形來(lái)考慮，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法的作用.（學(xué)生來(lái)了精神）

生3：a=5肯定不對(duì). 我想，表示集合A的圖2中的陰影框必須在5右邊一點(diǎn)，所以任意取一個(gè)大于5的數(shù)即可，如a≥5.1，a≥5.01…

生3（經(jīng)過(guò)一番討論后）：a≥t（t為大于5的任意實(shí)數(shù)）.

生4：不對(duì)！這樣就漏掉區(qū)間（5，t）內(nèi)的值了，答案就應(yīng)該是a>5. （掌聲響起）

師：縝密、嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的一種美.

對(duì)于（3），學(xué)生經(jīng)過(guò)一番思考、辨析，借助圖2，認(rèn)為無(wú)論a為何值，都不能滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以a的取值集合只能是空集，也就是說(shuō)，根本不存在這樣的集合A.

問(wèn)題4：設(shè)集合M={xx2-x-6=0}，P={xmx=6}，若P？哿M，求實(shí)數(shù)m的取值集合.

生5：解得M={-2，3}，下面分兩種情況進(jìn)行討論. 若P={-2}，則m=-3；若P={3}，則m=2.

生6：集合P也可以是空集呀！

生5（補(bǔ)充）：若P為空集，則m=0. 所以m的取值集合為{-3，2，0}.

師：知錯(cuò)能改就是好同志！題小蘊(yùn)含大，不僅重溫了方程及分類(lèi)討論思想，且提醒我們注意，謹(jǐn)防犯錯(cuò).

問(wèn)題5：解答下列各題.

（1）集合{a}的子集有________，共有________個(gè)；

（2）集合{a，b}的子集有________，共有________個(gè)；

（3）集合{a，b，c}的子集有_______，共有________個(gè).

吸取了教訓(xùn)，在解決這些問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都沒(méi)有丟掉空集.

師：長(zhǎng)記性了吧，這樣就不會(huì)在同一塊石頭上絆倒兩次了！請(qǐng)問(wèn)集合{a，b，c，d}有幾個(gè)子集？

子集比較多，若欲全部寫(xiě)出，學(xué)生感到為難.

師：我問(wèn)的是有幾個(gè)子集.

學(xué)生從前面的解答中積累了經(jīng)驗(yàn)，所以不難知道{a，b，c，d}有24=16個(gè)子集.

師：那么集合{a1，a2，a3，…，an}有多少個(gè)子集？

生7：有2n個(gè)子集.

師：完全正確！但這僅僅是猜想，若要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂v清道理，要等以后. 這里運(yùn)用的是從特殊到一般的策略，它與先猜想后論證一樣，都是數(shù)學(xué)研究的一種重要方法. 這節(jié)課的收獲怎么樣？

生（齊）：收獲太大了！

師：給你們印象最深刻的是什么？

生8：除了子集的有關(guān)概念外，我印象最深刻的是，有“真”卻無(wú)“假”，有“子”沒(méi)有“媽”，類(lèi)比來(lái)聯(lián)想，戰(zhàn)果無(wú)限大?。M(mǎn)場(chǎng)歡呼大笑）

啟示、感悟

此節(jié)課（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“子集”）后，筆者心情久久難以平靜，真的是感慨良多、思緒萬(wàn)千.

1. 角色定位

教師和學(xué)生，前者是主導(dǎo)，后者是主體，這兩個(gè)角色究竟如何定位？前文雖已有論述，但在“子集”后，筆者有了更堅(jiān)定的認(rèn)識(shí)，那就是絕對(duì)不能將課堂完全交給學(xué)生，但又要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，兩者應(yīng)該做到且可以做到密切配合、相得益彰. 我們經(jīng)常想，一位剛走上工作崗位的年輕數(shù)學(xué)教師，至少須經(jīng)過(guò)五六年的歷練，才能達(dá)到比較成熟、能基本勝任和駕馭中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的程度，而剛升入高中的學(xué)生（極個(gè)別“神童”除外），可算是稚氣未脫盡的少年，知識(shí)面狹窄，生活閱歷淺，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)缺，認(rèn)知能力弱，他們能擔(dān)當(dāng)起組織、駕馭和主宰課堂的重任嗎？即使他們?cè)谡n前花費(fèi)大量時(shí)間去“備課”（這得加重學(xué)生的多少負(fù)擔(dān)？若各科都采取這種做法，學(xué)生豈不要累趴下?。?，能講出高質(zhì)量的課來(lái)嗎？但另一方面，又絕對(duì)不能以這個(gè)道理為借口，否認(rèn)學(xué)生的主體地位，而讓教師“獨(dú)裁”包辦.

就“子集”來(lái)說(shuō)，子集的定義、空集與集合的關(guān)系、真子集的定義等，如果學(xué)生沒(méi)有預(yù)習(xí)的話(huà)，他們?cè)趺匆膊粫?huì)完善地講出來(lái)，但又不能由教師包辦，所以我們采取讓學(xué)生講，再由教師進(jìn)行輔助的方式，以使課堂逐步趨于完善.

在習(xí)題的研討解答中，學(xué)生活動(dòng)的份額當(dāng)然要重得多，但也不能完全排斥教師的作用. 學(xué)生能解答的，教師可完全放手；學(xué)生感到困難的，教師應(yīng)適當(dāng)提示、啟發(fā)；學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)，教師必須指出，或激勵(lì)其他學(xué)生指出. 值得回味的是，對(duì)于問(wèn)題3第（2）小題的討論，雖費(fèi)點(diǎn)時(shí)間和精力，但收效顯著. 當(dāng)然，這樣的研討在一節(jié)課中不能太多，否則影響教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

2. 擴(kuò)容增效

一節(jié)數(shù)學(xué)課的時(shí)間和容量都是有限的，但經(jīng)過(guò)教者的巧妙調(diào)配，卻達(dá)到了擴(kuò)容和增效的效果. “子集”本身的內(nèi)容比較單薄，那么就可以考慮從幾方面來(lái)擴(kuò)容：一，三種語(yǔ)言的應(yīng)用；二，從知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，“子集”聯(lián)系到方程和不等式，且自然流暢；三，從數(shù)學(xué)思維來(lái)看，努力優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的縝密性、廣闊性、敏捷性、創(chuàng)造性和批判性，這都是每節(jié)數(shù)學(xué)課必不可少的；四，從數(shù)學(xué)思想來(lái)看，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想，且盡可能地讓學(xué)生主動(dòng)參與；五，從數(shù)學(xué)美來(lái)看，有機(jī)地涉及數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美、奇異美等；六，從數(shù)學(xué)策略來(lái)看，涉及從特殊到一般、先猜想后論證和類(lèi)比聯(lián)想等重要的數(shù)學(xué)策略；七，集合{a1，a2，a3，…，an}有2n個(gè)子集的道理，喚起了學(xué)生的求知欲，為今后的教學(xué)設(shè)下伏筆；八，與生活實(shí)際（如家庭）相聯(lián)系. 這樣就大大豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生活動(dòng)的內(nèi)容，使得學(xué)生的活力在更大的范圍內(nèi)得到彰顯和發(fā)揮. 當(dāng)然，這項(xiàng)系統(tǒng)工程不是一節(jié)課能承擔(dān)得了的，必須天天講，課課談，節(jié)節(jié)論.

3. 寬松愉悅

這也是本節(jié)課的一大特色. 學(xué)生在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該沒(méi)有任何心理壓力和思想負(fù)擔(dān)，輕松愉快地上陣，寬松和諧地研討，這樣才能最大限度地激發(fā)出他們潛藏的智慧和知識(shí)貯存，才能更有效地投入當(dāng)前的數(shù)學(xué)科研探索活動(dòng). 在“子集”課中，教師運(yùn)用詼諧幽默的語(yǔ)言，使課堂上笑聲、掌聲不斷，甚至學(xué)生發(fā)出來(lái)自?xún)?nèi)心的歡呼聲，這標(biāo)志著，其有效地得到了學(xué)生的心理呼應(yīng)，學(xué)生樂(lè)此不疲也就成了現(xiàn)實(shí). 有子集，卻沒(méi)有“母集”；有真子集，卻沒(méi)有“假子集”；家庭有大小，集合卻無(wú)大?。蝗魏渭隙际潜旧淼淖蛹?；空集竟是任何集合的子集，卻是任何非空集合的真子集，種種奇特的數(shù)學(xué)現(xiàn)象激起的是學(xué)生的興趣.

再如，“數(shù)學(xué)學(xué)好了，說(shuō)話(huà)就是嚴(yán)謹(jǐn)，滴水不漏啊”“好??！看來(lái)大家都經(jīng)受住了考驗(yàn)”“知錯(cuò)能改就是好同志”“長(zhǎng)記性了吧，這樣就不會(huì)在同一塊石頭上絆倒兩次了”等語(yǔ)言對(duì)于課堂良好氣氛的營(yíng)造、學(xué)生愉悅心理的形成都大有裨益.

最后說(shuō)一點(diǎn)，隨著學(xué)生的成長(zhǎng)趨于成熟，在高二、高三階段，我們可以順其自然地加大對(duì)學(xué)生的要求，將課堂更多的時(shí)間交給學(xué)生，讓他們?cè)谧杂勺栽诘目臻g徜徉、馳騁.