杭麗華

[摘 要] 數(shù)學規(guī)則的習得、轉(zhuǎn)化以及應用，是高中數(shù)學規(guī)則課的三個階段，每個階段都包含著數(shù)學知識發(fā)展的各個重要環(huán)節(jié)與內(nèi)容. 如何使數(shù)學規(guī)則課能夠產(chǎn)生優(yōu)效教學的效果，在本文“等差數(shù)列性質(zhì)的探究”這一實例研究活動中得到了詳盡的闡述.

[關鍵詞] 高中數(shù)學規(guī)則課；教學；思考

程序性知識包含數(shù)學規(guī)則這一內(nèi)容，因此，數(shù)學規(guī)則的學習完全可以被納入程序性知識的范疇來進行相關研究. 如果學生學會用大量的例證來對數(shù)學規(guī)則反映的關系進行說明，并且能在不同的情境中靈活運用數(shù)學規(guī)則進行實際問題的解決，那么數(shù)學規(guī)則課的教學主要任務也就基本實現(xiàn)了. 數(shù)學規(guī)則的習得、轉(zhuǎn)化以及應用這三方面都是高中數(shù)學規(guī)則課的主要內(nèi)容. 對所學新規(guī)則的認知和理解是數(shù)學規(guī)則習得階段的主要內(nèi)容；而轉(zhuǎn)化階段的主要任務便是使學生學會從陳述性形式向程序性形式轉(zhuǎn)化，其中明確運用規(guī)則辦事時所需的程序與步驟是本階段學習的重點，變式訓練是順利轉(zhuǎn)化的關鍵條件；數(shù)學規(guī)則應用階段的重點則是使學生學會運用規(guī)則進行遷移性問題的解決.

本文結(jié)合“等差數(shù)列性質(zhì)的探究”，依據(jù)數(shù)學規(guī)則課的特點等，具體闡述如何組織數(shù)學規(guī)則課優(yōu)效教學.

教學環(huán)節(jié)設計及意圖

教學環(huán)節(jié)1：引導學生復習、回顧等差數(shù)列的概念與通項公式，并提問：

（1）你們還記得等差數(shù)列的定義嗎？用遞推公式進行等差數(shù)列的表達，可行嗎？

（2）等差數(shù)列的通項公式你們還記得嗎？

（學生根據(jù)問題積極發(fā)言，教師引導學生進行規(guī)范表述）

師：本節(jié)課我們所有的活動都是圍繞等差數(shù)列的性質(zhì)與判定方法的探究來進行的.

設計意圖：回顧舊知，為新知做準備.

教學環(huán)節(jié)2：探尋等差數(shù)列的性質(zhì).

投影：已知an=3n-5是等差數(shù)列{an}的通項公式.

（1）求a4+a8，a3+a9，a1+a11，2a6；

（2）根據(jù)以上計算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（在學生獨立解題之后，引導學生交流、探尋結(jié)論）

設計意圖：為探究做鋪墊.

師：你們能得到什么結(jié)論？

（學生歸納、猜想和表述）

性質(zhì)1：在等差數(shù)列{an}中，如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），那么am+an=ap+aq.

師：你能證明這一結(jié)論嗎？

（給學生時間與空間獨立證題，然后引導各小組進行合作、討論、交流）

設計意圖：合情推理探究.

板書證明方法：在等差數(shù)列{an}中，am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d，ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d，又m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），所以am+an=ap+aq.

設計意圖：推理論證.

師：根據(jù)以上性質(zhì)，你還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：如果m+n=2p（m，n，p∈N*），那么am+an=2ap.

生2：a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1（n>k>0，n，k∈N*）.

設計意圖：變式訓練.

教師投影：（1）在等差數(shù)列{an}中，如果a1+a21=50，那么a10+a12=（ ），2a11=（ ）；

（2）在等差數(shù)列{an}中，如果a3=2，那么a1+a2+a3+a4+a5=（ ）.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

（學生獨立解題）

設計意圖：引導學生運用.

師：哪個公式被用在了以上性質(zhì)的證明過程中？

生：通項公式an=a1+（n-1）d.

設計意圖：反思.

師：等差數(shù)列跟哪一種函數(shù)有關聯(lián)？

生：通項公式an=a1+（n-1）d經(jīng)過變形后，為an=dn+（a1-d），所以可以認為等差數(shù)列的通項公式是關于項數(shù)n的一次函數(shù).

設計意圖：提供先行組織者.

師：反過來表述會產(chǎn)生怎樣的結(jié)論？

投影：已知an=pn+q是數(shù)列{an}的通項公式，且p，q是常數(shù)，這個數(shù)列一定是等差數(shù)列這一說法對嗎？為什么？

設計意圖：逆向探尋.

師：判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的標準是什么？

（學生用定義法板演解題過程）

設計意圖：演繹推理.

師：你知道這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？

生：首項是p+q，公差是p.

（師生合作，抽象概括）

性質(zhì)2：等差數(shù)列的通項公式正是關于項數(shù)n的一次函數(shù). 反之，若數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q，且p，q是常數(shù)，那么這個數(shù)列就一定是等差數(shù)列，且其首項是p+q，公差是p.

設計意圖：從函數(shù)角度進行等差數(shù)列通項公式的探究.

教師投影：（1）通項公式是an=3n-5的數(shù)列必定是等差數(shù)列嗎？為什么？

（2）通項公式是an=-3n-5的數(shù)列必定是等差數(shù)列嗎？為什么？

設計意圖：反饋回授.

（學生獨立思考并回答）

師：判定等差數(shù)列的具體方法有哪些？

學生小結(jié)——

（1）定義法：an+1-an=d（常數(shù)），n∈N*；

（2）通項公式法.

設計意圖：總結(jié)方法.

師：等差數(shù)列和一次函數(shù)之間的關聯(lián)由通項公式的結(jié)構(gòu)特征（數(shù)）可以得出，那么，等差數(shù)列具備圖像特征嗎？請對以下問題進行思考與探究.

探究1：請你在平面直角坐標系中畫出通項公式是an=3n-5這一數(shù)列的圖像，并闡述其特征.

設計意圖：變式探究.

生：（直觀感知）等差數(shù)列an=3n-5的圖像是一群孤立的點且均勻分布在平面直角坐標系內(nèi).

探究2：在同一個平面直角坐標系中，

（1）分別作出函數(shù)y=3x-5與數(shù)列an=3n-5的圖像，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）對比等差數(shù)列an=pn+q和一次函數(shù)y=px+q的圖像，你能發(fā)現(xiàn)這兩者之間有什么關聯(lián)嗎？

設計意圖：由特殊現(xiàn)象探索特征.

（教師用多媒體動態(tài)演示函數(shù)y=px+q與數(shù)列an=pn+q的圖像）

師生概括：等差數(shù)列an=pn+q的圖像包含在一次函數(shù)y=px+q的圖像之中，而且正好是函數(shù)y=px+q定義在正整數(shù)集（或其子集）上時對應的所有點的集合. 性質(zhì)3隨即得出.

性質(zhì)3：等差數(shù)列an=pn+q的圖像是一群孤立的點，且均勻分布在直線y=px+q上.

設計意圖：數(shù)形結(jié)合.

探究3：（1）等差數(shù)列{an}的公差d具有怎樣的幾何意義？

（2）類比“兩點確定一條直線”這一公理，你認為確定一個等差數(shù)列需要幾個條件？

（3）等差數(shù)列{an}中任意兩項am，an跟其公差d有怎樣的關系？試證明.

（小組合作，抽象概括）

設計意圖：探求新知.

性質(zhì)4：如果d是等差數(shù)列的公差，那么=d（m≠n，m，n∈N*）.

（師生合作，板書證明）

師（追問）：等差數(shù)列{an}的公差d具有怎樣的幾何意義？

生：直線y=dx+（a1-d）的斜率.

設計意圖：類比遷移.

師（追問）：等差數(shù)列{an}中任意兩項am，an跟其公差d有怎樣的關系？

生：（性質(zhì)5）如果等差數(shù)列{an}的公差是d，那么任意兩項am，an的關系為an=am+（n-m）d（m≠n，m，n∈N*）.

設計意圖：推廣通項公式.

師：等差數(shù)列的性質(zhì)有哪些？判定等差數(shù)列的條件有哪些？

生闡述上述五個性質(zhì)，并指出判定方法有兩個，即定義法和通項公式法.

設計意圖：引導總結(jié).

師：你明白等差數(shù)列性質(zhì)1～5的本質(zhì)嗎？

生：通項公式，函數(shù)特征.

設計意圖：認清本質(zhì).

師：請總結(jié)你的收獲.

生1：學會數(shù)形結(jié)合很重要.

生2：要善于運用類比的思想方法.

生3：發(fā)散思維、勇于探究.

設計意圖：積累經(jīng)驗.

師：很好！數(shù)學學習中思考與探究是最重要的！

設計意圖：激勵評價.

教學環(huán)節(jié)3：作業(yè).

（1）在等差數(shù)列{an}中，已知a1+2a8+a15=120，求a7+a9.

（2）完成教材中本節(jié)練習第4題，并進行等差數(shù)列相關性質(zhì)的歸納.

（3）兩個等差數(shù)列對應項之和或之差所構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請證明.

設計意圖：鞏固、反思、評價.

由點及面關于數(shù)學規(guī)則課教學的幾點思考

本堂示范課的主要亮點如下.

1. 理念先進. 執(zhí)教者在等差數(shù)列性質(zhì)的教學中引導學生進行一連串自主探索與合作交流，這正是高中數(shù)學新課程理念的體現(xiàn). 學生經(jīng)歷了等差數(shù)列一系列性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，并通過自主探究活動，深刻體會到了其中所蘊含的數(shù)學思想方法，意義深刻.

2. 思路清晰. 對于教材編寫的意圖，執(zhí)教者首先便做了充分領悟與挖掘，且對數(shù)學思想方法及數(shù)學探究活動比較重視. 執(zhí)教者對于數(shù)學規(guī)則課教學操作的設計、板書、追問以及總結(jié)都了然于心、游刃有余，對于學生的數(shù)學思維活動，都進行了很好的優(yōu)化，高中數(shù)學“優(yōu)效教學”的價值追求也得以很好地體現(xiàn).

3. 策略得當. 從執(zhí)教者這一角度來看，指向性明確的問題使得學生的思維活動得到有效引導，教師“引導者、組織者以及合作者”的身份扮演也尤其到位，思維的全過程展現(xiàn)得具體而有意義. 從學生的認知這一角度來看，階梯式的問題，引導學生一步一步地思考與探尋，有效的變式訓練和探究活動成為學生掌握知識與拓展思維的絕佳鋪墊，學生對于知識的接受度也無形中得到了提高，學生的主體地位也在探究活動中彰顯得尤為明顯. 從教學的目標達成這一角度來看，執(zhí)教者所設計的學習活動都能遵循學生的認知規(guī)律發(fā)展，從特殊到一般的歸納與提煉以及從一般到特殊的回歸和總結(jié)，使得活動井然有序、探究充分，再加上有效的變式訓練與學生個性養(yǎng)成、教學活動反思與評價的有效開展，都使得本課預設的目標能夠圓滿地完成.

4. 成果豐富. 本節(jié)課的探究活動表現(xiàn)得尤為重視問題的驅(qū)動與變式探究，等差數(shù)列的本質(zhì)與其函數(shù)屬性都被深入挖掘，學生對等差數(shù)列的真正理解得以實現(xiàn)，在運用自己的語言復述所學知識時，也達到了真正的知識內(nèi)化；學生在問題的啟發(fā)下主動參與并與同伴合作交流，主動提問的意識與探究問題的欲望都得到了激發(fā)；學生的理性精神與創(chuàng)新意識在數(shù)學知識與方法建構(gòu)的過程中得到了較好的發(fā)展，學生在探究活動中表現(xiàn)出的狀態(tài)，積極主動且敢于創(chuàng)新.

雖說不同類型的課型會需要不同的教學模式來加以操作和實施，但高中數(shù)學規(guī)則課的操作模式應該還有更為豐富多樣的表現(xiàn)形式，這需要廣大教師進一步追尋與探索.