彭飛

[摘 要] 圍繞中學(xué)生在學(xué)習(xí)中常見的“上課能聽懂，但課后不會(huì)做；有些題雖做過多遍，但仍存在思維的缺陷”的問題而展開，在教師的引導(dǎo)下，中學(xué)生自主地?cái)?shù)學(xué)寫作，通過自主數(shù)學(xué)寫作來(lái)發(fā)現(xiàn)自己學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，進(jìn)而解決自身存在的問題. 基于引導(dǎo)學(xué)生自主寫作的過程，本文最后闡述了筆者引導(dǎo)中學(xué)生數(shù)學(xué)自主寫作的幾點(diǎn)思考.

[關(guān)鍵詞] 中學(xué)生；數(shù)學(xué)寫作；成長(zhǎng)

提出問題？搖

在教學(xué)中，我們時(shí)常發(fā)現(xiàn)課堂上講過的題型，又或是課堂上講了多遍的題型，讓學(xué)生課后自主獨(dú)立去完成，學(xué)生仍舊不會(huì)做或者做題不嚴(yán)謹(jǐn). 這就引發(fā)教師的反思，為什么講了多遍，學(xué)生還是做不出來(lái)呢？

分析問題

那么，通過什么方法去找到學(xué)生的問題呢？把所有做錯(cuò)的學(xué)生都叫過來(lái)一一談心嗎？談心倒是好，有針對(duì)性，但是高中生的學(xué)習(xí)時(shí)間特別緊張，每一個(gè)時(shí)段都被安排得滿滿的，哪有時(shí)間去談心呢？即使學(xué)生擠出一點(diǎn)時(shí)間，去跟他談心，那要花多長(zhǎng)時(shí)間才能和所有出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生都談好呢？恐怕要和所有出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生都談完的話，時(shí)間早就過去半個(gè)多月了，很明顯，這樣的做法缺乏時(shí)效性；還有就是，學(xué)生和教師面對(duì)面談心時(shí)，學(xué)生總會(huì)出現(xiàn)羞澀的情況，不敢表達(dá)或者表達(dá)不清楚，甚至于有些孩子不善言辭，只聽著老師講，這樣還是和學(xué)生談心嗎？還是沒有將學(xué)生的主動(dòng)性激發(fā)出來(lái)，只不過是換了地點(diǎn)繼續(xù)給學(xué)生講解那道題目罷了！那么，有沒有一種辦法既能節(jié)省時(shí)間，又能將每個(gè)學(xué)生的真實(shí)情況暴露出來(lái)呢？

預(yù)設(shè)方案

魏書生老師利用寫說(shuō)明文在班級(jí)管理中取得了很好的效果，那么現(xiàn)在沿用到數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，效果會(huì)怎么樣呢？首先，從學(xué)習(xí)方法層面上講，其實(shí)學(xué)習(xí)就是在不斷地反思與總結(jié)，在反思與總結(jié)中提高自身的水平，寫說(shuō)明文正是對(duì)自己前期學(xué)習(xí)的反思與總結(jié)，符合了學(xué)習(xí)過程的這一規(guī)律. 第二，只要出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生每個(gè)人花一點(diǎn)課余時(shí)間，把這道題錯(cuò)誤的原因?qū)懗鰜?lái). 根據(jù)學(xué)生所寫的內(nèi)容，教師再來(lái)進(jìn)行重點(diǎn)分析，重點(diǎn)解決，不僅僅節(jié)約了學(xué)生的時(shí)間，也能做到對(duì)癥下藥. 第三，中學(xué)生已經(jīng)有一定的寫作基礎(chǔ)，也具備一定的反思能力，而且每次語(yǔ)文考試中，都會(huì)要求寫不少于600字的作文，從而筆者初步設(shè)定數(shù)學(xué)寫作學(xué)生字?jǐn)?shù)為300字.

學(xué)生優(yōu)秀作品呈現(xiàn)

基于以上三點(diǎn)的想法，筆者開始引導(dǎo)學(xué)生們自主地去進(jìn)行寫作. 經(jīng)過一段時(shí)間的寫作后，學(xué)生們的數(shù)學(xué)寫作水平有所提升，從中選取了兩位學(xué)生作品，以供賞析.

案例1：《關(guān)于求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6值域的思考》

午間作業(yè)（57）中出現(xiàn)了這樣的一道題：求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6的值域. 在我做這道題的時(shí)候，知道要求值域就是求函數(shù)的最大值和最小值，因?yàn)橐笞钚≈?，所以我想只要cosx，sinx最大，再加上前面是負(fù)號(hào)，那么函數(shù)值就最小了，然后我就令cosx=1，sinx=1，然后代入計(jì)算得到最小值，然后再令cosx=-1，sinx=-1就得到了最大值，然而卻得到了一個(gè)大大的紅叉.

聽過老師講解之后，我發(fā)現(xiàn)我的方法是毫無(wú)根據(jù)的，僅僅考慮用特殊值代入是錯(cuò)誤的，應(yīng)該找到準(zhǔn)確的解法，現(xiàn)將領(lǐng)悟后的正確解法總結(jié)如下.

第一步：化異名為同名函數(shù)，也就是將y=-cos2x-4sinx+6中的cos2x轉(zhuǎn)化為1-sin2x，便可以得到y(tǒng)=sin2x-4sinx+5.

第二步：根據(jù)函數(shù)次數(shù)的特征進(jìn)行換元，令t=sinx，換元之后要特別注意新元素t的取值范圍，本題為[-1，1]，本題就轉(zhuǎn)化為求y=t2-4t+5，t∈[-1，1].

第三步：由第二步可知，y=t2-4t+5，t∈[-1，1]是二次函數(shù)的一部分，畫出圖像，如圖1所示，便可以得出函數(shù)的值域是[2，10].

圖1

在我以后的解題中，我要注意學(xué)會(huì)使用換元法解題，注意換元之后定義域的取值，結(jié)合圖像求解，另外還要注意的是計(jì)算一定要準(zhǔn)確.

案例2：《一道基本不等式題引發(fā)的思考》

題目1：已知a>0，b>0，a+b=ab，求a+b的最小值.

剛開始解決此題時(shí)，處于茫然中，因?yàn)橹皼]有遇到過此類問題，就嘗試著去做一做. 因?yàn)閍+b=ab，所以求a+b的最小值，即為ab的最小值. 因?yàn)閍>0，b>0，a+b≥2，所以得到ab≥2，構(gòu)造成關(guān)于的一元二次不等式，故解得ab≥4，所以（a+b）min=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)成立. 這其中運(yùn)用了基本不等式公式，但基本不等式強(qiáng)調(diào)“一正二定三相等”，本題在運(yùn)用基本不等式時(shí)，積與和都不是定值，這樣做能對(duì)嗎？能不能用其他方法進(jìn)行驗(yàn)證呢？

經(jīng)過一番思考后，借助于課本的一道習(xí)題（蘇教版必修5第106頁(yè)第16題），本題的條件a+b=ab可以轉(zhuǎn)化為+=1，故要求的a+b=（a+b）·1=（a+b）·+=1+++1≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)成立. 該方法采用了“1”的代換，“1”的代換和最常用的方法，當(dāng)然也要滿足“一正二定三相等”這三個(gè)條件，事實(shí)上這些條件該題都已經(jīng)滿足了，從而使第一種方法得到了很好的驗(yàn)證. 課間與老師交流后，說(shuō)明第一種方法是可行的，因?yàn)閍>0，b>0，a+b≥2是一個(gè)恒等式，可以用來(lái)構(gòu)造不等式，從而解出相關(guān)變量的范圍.

舉一反三：如果本題變?yōu)橐阎猘>0，b>0，a+b=ab-3，求a+b的最小值.

本題也可以利用基本不等式進(jìn)行構(gòu)造. 因?yàn)閍+b=ab-3，所以ab-3≥2，將看成整體，解得≥3，故ab≥9，則a+b=ab-3≥9-3=6，即（a+b）min=6. 沿用題目1的第一種方法，仍舊可行，但是第二種方法——“1”的代換，則行不通. 此題有其他解法嗎？課后與數(shù)學(xué)老師交流后，本題可以將條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化（因式分解）：（a-1）（b-1）=4，然后令a-1=x，b-1=y，顯然x，y均是大于0的，故本題則變?yōu)橐阎獂>0，y>0，xy=4，求x+y+2的最小值. 基本不等式一步到位：x+y+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取“=”. 可以看出此題運(yùn)用了“因式分解+換元”的思路，將原本看來(lái)比較復(fù)雜的形式進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成了熟悉的習(xí)題.

總結(jié)來(lái)說(shuō)，利用基本不等式解決最值問題有構(gòu)造不等式法、“1”的代換法、“因式分解+換元法”等，但都需要對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)變形.

以上兩篇案例是來(lái)源于學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)寫作，其中案例1是在剛開始要求學(xué)生寫作的，案例2則是在學(xué)生已經(jīng)寫作了一段時(shí)間，而且有了一定的寫作經(jīng)驗(yàn)下進(jìn)行書寫的，由于篇幅問題，僅選取了這樣較為經(jīng)典的兩篇作為研究載體. 當(dāng)然還有學(xué)生寫到老師對(duì)他不夠關(guān)心、老師教法單一、學(xué)生自己的學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正、課堂上自己容易打瞌睡，等等. 筆者每每看完學(xué)生寫作的內(nèi)容后，對(duì)教學(xué)都會(huì)有更深的認(rèn)識(shí)，對(duì)課堂也會(huì)有更多的了解，這樣才會(huì)有改進(jìn)，從而才能更好地促進(jìn)課堂教學(xué).

幾點(diǎn)思考

一次簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)寫作，卻引來(lái)了課堂教學(xué)大的改進(jìn). 筆者試想數(shù)學(xué)寫作確實(shí)是一個(gè)走進(jìn)學(xué)生心里的好方法.

首先，學(xué)生自我反省，教師點(diǎn)撥助成長(zhǎng). 從上面的案例1可以看出，學(xué)生寫反思的過程，其實(shí)就是暴露自己存在問題的過程，也是在尋求正確解法的過程，從而達(dá)到將解法內(nèi)化成自己的學(xué)法. 同時(shí)對(duì)我們教者而言，課堂上不能僅僅要關(guān)注解題方法的講解，而且要關(guān)注學(xué)生的“想法”，尤其是學(xué)生“錯(cuò)誤的想法”. 人與生俱來(lái)就有先入為主的觀念，學(xué)生錯(cuò)誤的想法其實(shí)已經(jīng)先于教師講解前占據(jù)了大腦，學(xué)生錯(cuò)誤的想法得不到有效及時(shí)的糾正，那么學(xué)生就會(huì)不停地犯同樣的錯(cuò)誤，只有有效及時(shí)地糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，學(xué)生的學(xué)習(xí)才會(huì)更加有效. 案例1中求值域的問題便是如此，學(xué)生在初中就形成了直接代端點(diǎn)值的方法求值，到了高中后，問題發(fā)生了一定變化，此方法不能直接使用，而學(xué)生卻錯(cuò)誤地認(rèn)為，問題與初中學(xué)習(xí)的是一樣的，便將初中的方法套用過來(lái)，從而與正確答案失之交臂，故教師在講解概念、方法時(shí)，應(yīng)多關(guān)注學(xué)生的學(xué)情，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思想中存在的錯(cuò)亂的概念或錯(cuò)誤的方法，為其糾正，促使學(xué)生到達(dá)勝利的彼岸.

第二，師生平等對(duì)話，心靈更相通. 學(xué)生們十分渴望與教師有一次平等交流的機(jī)會(huì)，但由于學(xué)生頭腦中一直存在“師道尊嚴(yán)”的思想，造成了很多學(xué)生不敢和老師講話. 但是借助于數(shù)學(xué)寫作，學(xué)生寫出了自己的心聲，寫出了自己的困惑，寫出了他們急切希望得到老師幫助的心聲. 有些學(xué)生寫到，希望老師關(guān)注我上課打瞌睡的情況，在我打瞌睡的時(shí)候，老師實(shí)時(shí)地提醒我. 確實(shí)如此，現(xiàn)在的高中生，學(xué)習(xí)壓力特別大、學(xué)習(xí)時(shí)間又特別長(zhǎng)，學(xué)生打瞌睡時(shí)有發(fā)生. 而數(shù)學(xué)學(xué)科又是一個(gè)邏輯性特別強(qiáng)的學(xué)科，若是學(xué)生打瞌睡期間沒有弄懂某個(gè)問題，那么就會(huì)影響學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí). 但經(jīng)過教師的提醒后，學(xué)生將得到有效的成長(zhǎng). 案例1中就是如此，解題的方法分三步，如果學(xué)生沒有聽到第二步，那么第三步則也有可能聽不懂，故課后作業(yè)也不能正確地解決，自然學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心也會(huì)受到打擊，從而學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力、興趣就會(huì)喪失. 通過數(shù)學(xué)寫作，提供一個(gè)給予學(xué)生與教師對(duì)話的平臺(tái)，既增進(jìn)了師生的情感，同時(shí)又增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與自信心.

第三，先行組織者技術(shù)，學(xué)習(xí)變輕松. 案例1中，求某個(gè)范圍下的二次函數(shù)的值域，其實(shí)這類題研究的是初中學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的一部分，在高中階段講解時(shí)，教師則應(yīng)利用“先行組織者技術(shù)”將初中學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)進(jìn)行整體的復(fù)習(xí)，進(jìn)而再來(lái)學(xué)習(xí)局部的二次函數(shù)這個(gè)新的知識(shí)，學(xué)生就會(huì)輕松很多. 而有時(shí)我們教師則會(huì)忽略這樣的問題，往往認(rèn)為學(xué)生掌握得很好，忽視了對(duì)以往知識(shí)的復(fù)習(xí)，沒有把握好初高中知識(shí)之間的聯(lián)系，也就容易造成學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)的困難. 學(xué)生的數(shù)學(xué)寫作，充分暴露出學(xué)生對(duì)以往知識(shí)或是方法存在的問題，教師要充分發(fā)現(xiàn)學(xué)生暴露的此類問題，利用“先行組織者技術(shù)”對(duì)學(xué)生已有的常識(shí)或?qū)W習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有了先前知識(shí)的準(zhǔn)備后，教師的教與學(xué)生的學(xué)兩方面的互動(dòng)才會(huì)更加精彩，學(xué)生學(xué)習(xí)將更輕松，效果才會(huì)更有效.

第四，適當(dāng)“稚化”教師思維，促進(jìn)學(xué)生更好吸收. 相比較案例1而言，案例2更為成熟，寫作內(nèi)容不僅僅局限于反思，更有舉一反三的發(fā)散思維. 在于學(xué)生探討案例2的第二種解法時(shí)，有這樣一句話：“令a-1=x，b-1=y，顯然x，y均是大于0.” 學(xué)生突然問道，為什么x，y顯然是大于0啊？當(dāng)時(shí)，筆者記得這樣回答，顯然就是一目了然啊. 學(xué)生的反應(yīng)則是愣了又愣，然后回答筆者說(shuō)，老師我只能由a>0，b>0得到x>-1，y>-1，看不出x，y顯然是大于0啊，你是怎么得到的啊？其實(shí)x，y大于0是很容易看出來(lái)的，因?yàn)闂l件xy=4，故得到x，y同號(hào)，如若-1

第五，主動(dòng)探索，教學(xué)相長(zhǎng). 教師的教是為了不教，不教是建立在學(xué)生能主動(dòng)積極，自我學(xué)習(xí)、自我探索的基礎(chǔ)上而實(shí)施的. 從案例1與案例2的對(duì)比來(lái)看，隨著中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作的不斷深入，中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到了不斷的提升，由原來(lái)只能寫反思，到現(xiàn)在能舉一反三，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力得到了很大程度的提升，由原來(lái)的被動(dòng)學(xué)習(xí)，到現(xiàn)在能主動(dòng)探索，充分發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性. 在學(xué)生探索的過程中，教師的業(yè)務(wù)能力必然也要不斷地提高，以適應(yīng)知識(shí)、能力都在不斷增長(zhǎng)的學(xué)生.

第六，問渠哪得清如水？唯有源頭活水來(lái). 中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作其實(shí)就是中學(xué)生自身不斷反省、總結(jié)、提升的過程，學(xué)生在寫作中不斷發(fā)現(xiàn)新問題. 愛因斯坦曾說(shuō)過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題也許只是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問題. 而提出的新問題卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力. ”案例2中，是學(xué)生自己總結(jié)的內(nèi)容，由教師講過的題目a>0，b>0，a+b=ab出發(fā)，聯(lián)想到如果條件發(fā)生改變呢？變?yōu)閍>0，b>0，a+b=ab-3呢？怎么解決？案例2中的學(xué)生已經(jīng)不是機(jī)械、重復(fù)、模仿學(xué)習(xí)的學(xué)生，儼然成為了思考者，目前雖還沒有提出創(chuàng)造性的問題，但是只要堅(jiān)持努力下去，我們相信學(xué)生將來(lái)肯定會(huì)提出創(chuàng)造性問題. 這樣的學(xué)生不僅僅只是有了一碗水、一桶水，他將會(huì)擁有一個(gè)“活水源”. 學(xué)生會(huì)不斷地思考出教師意想不到的內(nèi)容，在教師引導(dǎo)、指導(dǎo)下，最終會(huì)實(shí)現(xiàn)青出于藍(lán)而勝于藍(lán)，其實(shí)這也是我們教育工作者努力的方向. 同時(shí)，教師也會(huì)受到學(xué)生源源不斷的“活水”的影響，勢(shì)必會(huì)倒逼教師要不停地努力，努力的過程就是教師成長(zhǎng)的過程，教與學(xué)才會(huì)更加相得益彰.