段喆杰

(渭南師范學(xué)院絲綢之路藝術(shù)學(xué)院，陜西渭南714099)

1 ΕQ－代數(shù)的相關(guān)定義

定義 1［1－2］一個(gè)(2，2，2，0) 型代數(shù) Ε =〈E，∧，，～，1〉，如果滿足:

(1)〈E，∧，1〉有最大元1且是一個(gè)∧半格，如果 a∧b=a，記a≤b;

(3)a～a=1;

(6)(a∧b∧c)～a≤(a∧b)～a;

則稱Ε是一個(gè)ΕQ－代數(shù)。

定理 1［1－2］在 ΕQ－代數(shù) Ε 中以下結(jié)果成立:對(duì)任意的 a，b，c∈E，有

(2)a=b當(dāng)且僅當(dāng)a～b=1;

(4)a→b=(a∧b)～a;

(5)a～b≤a→b和a→a=1;

(7)若 a≤ b，則a→b=1，a ～ b=b→a，c→ a≤ c→ b，b→c≤a→c;

(8)b≤ b～≤ a → b。

定理2［2］設(shè)Ε是一個(gè)ΕQ－代數(shù)，下列性質(zhì)在Ε中成立:

(1)a～b=b～a;

(3)a～b≤(a～c)～(b～c)。

定義2［2］設(shè)Ε是一個(gè)ΕQ－代數(shù)，若

(1)對(duì)任意的a，b∈E，由a～1=1推出a=1，則稱Ε為半可分的。

(2)對(duì)任意的a，b∈E，由a～b=1推出a=b，則稱Ε為可分的。

定義 3［2］設(shè) Ε=〈E，∧，，～，1〉是一個(gè)可分的 ΕQ－代數(shù)，F(xiàn)≤E，如果對(duì)任意的 a，b∈E，

(1)1∈F;

(2) 如果對(duì)a，a→b∈F，則b∈F，則F就稱為E的準(zhǔn)濾子。

定理3［2］設(shè)F是一個(gè)可分ΕQ－代數(shù)E的準(zhǔn)濾子，且a～b∈F，a'～b'∈F，則下列式子成立:

(1)(a ∧a')～ ( b ∧b')∈F;

(2)( a ～a')～ ( b ～b')∈F;

(3)( a →a')～ ( b →b')∈ F。

定理4［2］設(shè)F是可分的ΕQ－代數(shù)E的一個(gè)準(zhǔn)濾子，對(duì)任意的a，b∈E，如果a～b∈F，b～c∈F，則a～c∈F。

定理5［3］設(shè)E是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，F(xiàn)是E的濾子。則≈是E上的一個(gè)同余關(guān)系。

我們把 [a ]F記為a∈F關(guān)于≈F的等價(jià)類。

定義4［3］設(shè)E是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，F(xiàn)是E上的準(zhǔn)濾子。定義E上一個(gè)二元關(guān)系“≈”如下:

定理6［3］設(shè)E是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，F(xiàn)是E的濾子，則:

(1)［x］F=［y］F;

(2)x=y ～ h，-h∈ F。

定義5［3］設(shè)E是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，X是E的子集。如果x，y∈X，z∈E且x≤z≤y，若能推出z∈X，則稱X是凸的。

定理7［3］設(shè)F是可分的ΕQ－代數(shù)E的濾子，則對(duì)每一個(gè)a∈E，[a]是凸的。

F

定理8［3］設(shè)F是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)E上的濾子并且E是線性序的，如果x≤y且［x］ ≠［y］，

FF則對(duì) t∈［x］F，s∈［y］F，有 t≤ s。

定義6［4－5］設(shè)(U，θ)是一個(gè)近似空間，Apr:P(U)→ P(U) ×P(U)，對(duì)任意的 X∈ P(U)，定義，稱其為(U，θ)上X的上近似空間;若，稱其為(U，θ)上X的下近似空間。并稱θ)上X的粗糙近似空間。

設(shè)(U，θ)是一個(gè)近似空間，X是U的一個(gè)非空子集。

在一個(gè)近似空間(U，θ)上，φ和U關(guān)于θ可定義是顯然的。所以以Def(Apr)被記為所有可定義的集合。

2 可分ΕQ－代數(shù)的模糊準(zhǔn)濾子

(1)A(1)≥A(x)，對(duì)任意的x∈E;

如果對(duì)任意的 a，b，c∈ E，有

則模糊準(zhǔn)濾子稱模糊濾子。

如果對(duì)所有a，b∈E有A(a→b)=1或A(b→a)=1，則模糊準(zhǔn)濾子也稱是素模糊準(zhǔn)濾子。

定理9 設(shè)Ε是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，A是Ε上的模糊準(zhǔn)濾子，對(duì)任意的x，y∈E，如果x≤y，則有A(x)≤A(y)。

證明 設(shè)x，y∈E且x≤y，由定理1知x→y=1，所以

設(shè)Ε為一個(gè)可分ΕQ－代數(shù)，A為E上的一個(gè)模糊子集。對(duì)λ∈［0，1］，定義稱A的一個(gè)模糊水平截集為Aλ。

定理10 設(shè)Ε是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，那么A是Ε上的模糊準(zhǔn)濾子的充分必要條件是對(duì)λ∈[0 ，1]且Aλ≠ φ，則Aλ為準(zhǔn)濾子。

定理11 設(shè)Ε為可分的ΕQ－代數(shù)，A為Ε上的一個(gè)模糊集，則A為模糊準(zhǔn)濾子的充要條件是對(duì)任意的x，y，z∈ E，由 x→ (y→z)=1可推出 A(z)≥A(x)∧A(y)。

證明 設(shè)A為ΕQ－代數(shù)上的模糊準(zhǔn)濾子，則由定義7(2)得，

A(z)≥A(y)∧A(y→z)。

設(shè)x→(y→z)=1，則(x∧(y→z)) ～x=1。由于Ε為可分的，我們有x∧(y→z)=x，從而x≤(y→z)。所以得A(z)≥A(y)∧A(y→z)≥A(y)∧A(x)。

反過(guò)來(lái)，假設(shè)對(duì)任意的x，y，z∈E，由x→(y→z)=1能推出A(z)≥A(x)∧A(y)。對(duì)任意的x，y∈E，由x→(x→1)=1和(x→y)→(x→y)=1能推出

根據(jù)定義7得A為模糊準(zhǔn)濾子。

推論1 設(shè)Ε是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，A為Ε上的模糊集且對(duì)x∈E，使得A(1)≥A(x)，則A為Ε上模糊準(zhǔn)濾子的充要條件是:對(duì)z，x1，…，xn∈E，如果x1→(…(xn→z)…)=1，有

推論2 設(shè)A是一個(gè)可分ΕQ－代數(shù)Ε上的模糊準(zhǔn)濾子，則:A(a→b)≥A(a)∧A(b)。

證明 對(duì)a，b∈E，由a→(b→(a→b))=1，根據(jù)定理11知:

定理12 設(shè)Ε是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，Ai(i=1，2)為Ε上的模糊準(zhǔn)濾子，則A1∧A2也為Ε上的模糊準(zhǔn)濾子。

所以

即:A1∧A2為Ε上的準(zhǔn)模糊濾子。

推論3 設(shè)Ε是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，Ai(i=1，2)為Ε上的模糊準(zhǔn)濾子，則∧i∈pAi為Ε上的模糊準(zhǔn)濾子。

定理13 設(shè)Ε是一個(gè)可分的ΕQ－代數(shù)，A為Ε上的模糊準(zhǔn)濾子，B為Ε的素模糊準(zhǔn)濾子且BA，則A也是Ε的素模糊準(zhǔn)濾子。

證明 因?yàn)锽為素模糊準(zhǔn)濾子且對(duì)任意的a，b∈E有B(a→b)=1或B(b→a)=1。不妨設(shè)B(a→ b)=1，則由BA，我們有A(a→b)≥B(a→b)=1，即A(a→b)=1。所以有A(a→b)∨A(b→a)=1，即A也為Ε的素模糊準(zhǔn)濾子。

3 可分ΕQ－代數(shù)的粗糙近似空間

設(shè)E是一個(gè)可分的 ΕQ－代數(shù)，F(xiàn)是 E上的一個(gè)濾子，X是 E的非空子集。 定義為集合X關(guān)于F的上近似和下近似。

(2)關(guān)于任何濾子的可定義集合是E和φ;

定理14 設(shè)E是一個(gè)可分ΕQ－代數(shù)，F(xiàn)是E上的一個(gè)濾子，X是E的凸子集，則都是凸的。

證明 需證明［z］FX。設(shè)和x≤ z≤ y，t∈［z］F。對(duì)u∈［x］F，v∈［y］F，由定理 7得 u≤ t≤v。又因?yàn)椋踴］FX，［y］FX，X是凸的。反之，設(shè)和x≤z≤y，有［x］F∩X≠φ，［y］F∩X≠φ，所以存在u∈［x］F∩X和v∈［y］F∩X。

設(shè) t∈［z］F∩X，由定理7得u≤ t≤ v。

接下來(lái)我們舉例說(shuō)明上面的性質(zhì)。

例 1 Ε = 0，a，b，c，1{ }是一個(gè)五元素鏈，和 ～是兩個(gè)二元運(yùn)算，如表1、表2所示。

表1 “”二元運(yùn)算表

表1 “”二元運(yùn)算表

0 a b c 1 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a b 0 0 0 b b c 0 0 0 c c 1 0 a b c 1

表2 “～”二元運(yùn)算表

容易驗(yàn)證 Ε 是一個(gè)可分 ΕQ－代數(shù)，且F={a ，1} 是 Ε 的濾子。取 X={a，b，1} 和 Y= { 0 ，a，b，c}是 Ε的兩個(gè)子集，則有如下等價(jià)類:

［a］F=［1)］F=F，［b］F=［c］F= b，c

{ }。進(jìn)而有

設(shè)X和Y是E的非空子集，定義X ～Y={a∈E:a≥x～y，x∈X，y∈Y}。我們規(guī)定，如果X或Y是空集，則X ～Y=φ。 對(duì)任意的X，Y∈E，顯然有X ～Y=Y～X。

定理15 設(shè)F是E的一個(gè)濾子，X和Y是E的非空子集，則

又因?yàn)椋踑］F=［b］F，由定理6，則存在h∈F有a=b～h≥(x～h) ～y。

所以［x ～ h］F=［x］F，x

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)研究EQ－代數(shù)準(zhǔn)濾子與濾子，得到它們的等價(jià)刻畫(huà)及相關(guān)代數(shù)性質(zhì)。為得到EQ－代數(shù)上模糊準(zhǔn)濾子和準(zhǔn)濾子的關(guān)系，運(yùn)用模糊化以及模糊集水平截集兩種方法，從而把EQ－代數(shù)上面的準(zhǔn)濾子模糊化，最后通過(guò)粗糙集近似空間，得到了EQ－代數(shù)濾子近似的相關(guān)性質(zhì)。

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