楊明順

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西渭南714099)

定義1［1］對任意正整數(shù)n，著名的Smarandache函數(shù)S(n)定義為:滿足條件n|m!的最小正整數(shù)m，即

定義2［1］Smarandache LCM函數(shù)SL(n) 定義為:滿足條件 n|［1，2，…，k］的最小正整數(shù)k，其中:［1，2，…，k］表示 1，2，…，k 的最小公倍數(shù)。

定義3 算術(shù)函數(shù)Ω(n)定義為:Ω(1)=0，當n＞1且n的標準分解式為時，

關(guān)于SL(n)的性質(zhì)，許多學者進行了研究，并獲得了很多重要的結(jié)果［2－8］。本文利用初等方法及解析方法對的漸近性質(zhì)進行了深入研究，得到了幾個有趣的結(jié)論。

1 引理及證明

引理 1［9］設(shè) x ≥ 1，b(n) 是一個數(shù)論函數(shù)是定義在［x1，xm］(xm＞ x1≥0)上的連續(xù)可微函數(shù)，則

證明 由于a(x)和B(x)都是［x1，xm］上的可微函數(shù)，故a(x)、B(x)在［x1，xm］內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)間［x1，xm］上是可積的。設(shè)x1＜x2＜… ＜xm，令

根據(jù)微分中值定理，-ξk+1∈ (xk，xk+1)，使得 B(xk+1) － B(xk)=B'(ξk+1)(xk+1－ xk)，所以 -ηk+1∈(xk，xk+1)，有 a(xk+1) － a(xk)=a'(ηk+1)(xk+1－ xk)，則

引理2［10］對任意的正整數(shù)n，當其標準分解式為時，有

引理3［11］對任意素數(shù)p，有 SL(n)=S(n)。

(2)由于(π(2n)－π(n))lgn≤lgN≤2nlg2，把n=2r代入該式即得r(π(2r+1)－π(2r))≤2r+1，由于 π(2r+1)≤2r，故有

任給一個正整數(shù)m，在上式中令r=0，1，2，…，m －1，從而得到m個不等式，把它們加起來即得

即結(jié)論的第二個不等式成立。

推論1［12］當x→∞ 時，不超過x的素數(shù)的個數(shù)π(x)漸近于

2 結(jié)論及證明

證明 經(jīng)過變形可得

利用函數(shù)S( n)及SL( n)的性質(zhì)以及初等與組合方法來估計式(1)中的誤差項。由引理3、引理4有SL( n)－S( n)=0。所以在式(1)的誤差項中，所有非0必出現(xiàn)在那些使SL(n)不等于素數(shù)的整數(shù)n中，即

設(shè)A為區(qū)間 [1 ，x ]中所有滿足上式條件 n 的集合，對任意 n ∈ A，設(shè)，其中:(p ，n1)=1?，F(xiàn)在分兩種情況討論:設(shè)A=B+C，其中:n∈B，如果如果于是，有

現(xiàn)在分別估計式(2)中的各項，首先估計R1，注意到pα≤ln4x時，有α≤4lnlnx，于是有

現(xiàn)在估計R2，注意到集合C中包含元素的個數(shù)不會超過整數(shù)的個數(shù)，其中:αi≤2lnlnx，pi于是由素數(shù)分布公式有

其中:exp(y)=ey，結(jié)合式(2)(3)可推出估計式

定理2 設(shè)k≥2是一個給定的整數(shù)，那么對任意實數(shù)x≥2，有漸近公式

其中:ζ(s) 是 Riemannn 函數(shù)，ci(i=1，2，…，k) 是可計算的常數(shù)。

其中A包含區(qū)間［1，x］中所有那些滿足存在素數(shù)p，使得p|n且的正整數(shù)n;而集合B包含區(qū)間［1，x］中所有那些滿足n=p1p2p3的正整數(shù)n，其中集合C包含區(qū)間［1，x］中所有那些滿足n=n1p2的正整數(shù)n，其中集合D包含區(qū)間［1，x］中所有不屬于A、B和C的整數(shù)n。于是利用引理3的推論及A的定義有

其中:ci(i=1，2，…，k)為常數(shù)且c1=1。于是有

應(yīng)用引理1可得

其中:αi(i=2，3，…，k)為可計算的常數(shù)。于是注意到收斂，結(jié)合式(7)及式(8)得其中:bi(i=2，3，…，k)為可計算的常數(shù)。

現(xiàn)在討論集合D中的情況，由式(1)及集合D的定義知對任意n∈D，如果SL(n)=p是一個素數(shù)，則如果 SL(n)=p2，則或者SL(n)=pα，α≥3。無論哪種情況都有

于是結(jié)合式(5)(6)(8)(9)可得

其中:bii=2，3，…，k()為可計算的常數(shù)。

［1］Smaradache F．Only Problems，Not Solutions［M］．Chicago:Xiquan Publishing House，2001．

［2］張文鵬．關(guān)于 F．Smarandache函數(shù)的兩個問題［J］．西北大學學報(自然科學版)，2008，38(2):173－176．

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［9］張文鵬．初等數(shù)論［M］．西安:陜西師范大學出版社，2008．

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［12］閔嗣鶴，嚴士?。醯葦?shù)論［M］．北京:高等教育出版社，2003．