陳 斌

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

1 研究背景

1920年，印度數(shù)學(xué)家Srinivasa Ramanujan［1－5］給大數(shù)學(xué)家G．H．Hardy的最后一封信中提到了一類他自己命名的所謂“mock theta functions”，但是他卻沒有給出這類函數(shù)準(zhǔn)確的科學(xué)定義，只是僅僅列出了17個經(jīng)典的例子來描述它們的特殊性質(zhì)。S．Ramanujan發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)在尖點處具有和模形式類似的漸近展開式，但它們卻不滿足模形式所具有的模變換律。而這種隱藏的聯(lián)系就成為一個神秘的謎團。

1936年，G．N．Watson［6］就任倫敦數(shù)學(xué)會主席，他就職演講的題目就是“The Final Problem:An Account of the Mock Theta Functions”。1937年，G．N．Watson［7］先后研究了3 階和 5 階 mock theta函數(shù)之間的線性關(guān)系。1938年，A．Selberg［8］等研究了7階mock theta函數(shù)之間類似的問題，但他沒有發(fā)現(xiàn)它們之間的線性關(guān)系式。在1987年舉辦的S．Ramanujan誕辰百年紀(jì)念大會上，F(xiàn)．Dyson［9］指出揭示mock theta函數(shù)類似模形式的一致的群論結(jié)構(gòu)仍然是“a challenge for the future”。之后，許多著名的數(shù)學(xué)家，如G．E．Andrews［10］、B．Gordon、R．McIntosh［11］、A．Selberg［8］等發(fā)現(xiàn)并證明了 mock theta 函數(shù)的很多重要的恒等式，但卻沒有發(fā)現(xiàn)其神秘的本質(zhì)。之后，G．E．Andrews［12］等人對 Ramanujan遺留的筆記本進(jìn)行了整理和研究，先后又發(fā)現(xiàn)了許多新的mock theta函數(shù)，例如2階、6階、8階、10階等。

然而，在沉默了近80余年之后，mock theta函數(shù)及其半整權(quán)模形式在其理論和應(yīng)用方面出現(xiàn)令人矚目的重大突破和迅速發(fā)展:一是奇異模理論取得極大進(jìn)展。2000年，在Borcherds杰出工作的推動下，D．Zagier［13］證明了奇異模跡的生成函數(shù)是權(quán)為3/2 的弱全純模形式，J．Bruinier和 J．Funke［14］推廣到了一般的模函數(shù)上。二是mock theta函數(shù)之謎被徹底揭開。2002年，S．P．Zwegers［15］在導(dǎo)師D．Zagier指導(dǎo)下完成的博士論文中，首次揭開了mock theta函數(shù)所具有的模形式的本質(zhì)屬性。在2004年，Bruinier和Funke［16］首次研究發(fā)現(xiàn)了每一個mock theta函數(shù)是權(quán)為1/2的弱調(diào)和Maass形式的全純部分，而其非全純部分是一個權(quán)為3/2的一元theta函數(shù)。近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者、專家圍繞這些問題研究活躍，一些模形式新方向如Maass－Jacobi形式隨之而出，相關(guān)新成果不斷涌現(xiàn)。

因此，進(jìn)一步發(fā)展mock theta函數(shù)理論及其與其他學(xué)科方向的交叉應(yīng)用，涉及 mock模形式、分拆函數(shù)、弱調(diào)和 Maass形式、Jacobi形式、向量模形式、超幾何q－級數(shù)、Appell－Lerch和等理論，這些問題涉及當(dāng)代數(shù)論和模形式研究的核心熱點問題，是當(dāng)代數(shù)論和分析、代數(shù)、幾何等的核心領(lǐng)域，最重要的是mock theta函數(shù)理論與魔群月光猜想、弦理論模型緊密相關(guān)，其中 mock模形式確定弦狀態(tài)數(shù)，群決定模型的對稱性，月光猜想中的每一個都聯(lián)系著一個群的特殊階數(shù)和一個 mock模形式的系數(shù)，這正是進(jìn)一步研究mock theta函數(shù)的深遠(yuǎn)意義和理論價值。

模形式理論在費馬大定理的證明中起到了關(guān)鍵的作用，成為朗蘭茲綱領(lǐng)的核心，而mock theta函數(shù)及mock模形式是國際上模形式領(lǐng)域近年來研究的熱點和焦點問題。D．Zagier、G．E．Andrews、K．Bringmann等知名數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地發(fā)展了mock模形式理論，但至今仍有許多富有挑戰(zhàn)性的問題懸而未解。

2 研究進(jìn)展

2.1 Mock theta函數(shù)本質(zhì)定義問題

早在 1920 年，S．Ramanujan［2－3］就給出了 mock theta 函數(shù)的模糊定義。之后，G．N．Watson［6－7］和A．Selberg［8］證明了 Ramanujan 模糊定義的第一部分(A)。1936年，G．N．Watson［6］證明了條件 (B) 一個弱的形式。而S．Ramanujan的真實動機是什么呢?根據(jù)K．Ono［17］后來的研究工作，可以認(rèn)為S．Ramanujan起初的思考來源于他對分拆函數(shù)和 Rogers－Ramanujan恒等式的深刻理解，而Ramanujan后來的工作則是他對Euler級數(shù)具有的幾乎逼近模變換性質(zhì)的深刻思考。

S．Ramanujan研究發(fā)現(xiàn)3階mock theta函數(shù)f(q)在q徑向趨向于單位根時其具有指數(shù)奇異性，并就3 階 mock theta 函數(shù) f(q)斷言道［3，17］:

當(dāng)q在單位圓周內(nèi)徑向趨向于所有本原的偶數(shù)2k階單位根ζ時，有

其中:b(q)=(1－q)(1－q3)(1－q5)…(1－2q+2q4－…)。

A．Folsom、K．Ono和R．C．Rhoades［18－19］先后在 2012年和 2013年給出了式(1)中估計項O(1)的兩種不同形式的表示，它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)就成為一個公開的問題。2013年，W．Zudilin［20］利用Dyson rank函數(shù)、Andrews－Garvan crank函數(shù)等生成函數(shù)的性質(zhì)對A．Folsom等人的結(jié)果給出了一個新的證明。2014年，筆者和周海港教授［21］利用Appell－Lerch和等理論就此問題給出了一個注記，徹底揭示了估計項O(1)的兩種不同表示形式之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的本質(zhì)，而其他的mock theta函數(shù)的類似問題仍未完全解決。

研究發(fā)現(xiàn)，mock theta函數(shù)的徑向極限問題是研究mock theta函數(shù)本質(zhì)定義的切入點，繼續(xù)研究mock theta函數(shù)的本質(zhì)定義這個熱點問題，可以進(jìn)一步尋找新的 mock theta函數(shù)的生成函數(shù)類，進(jìn)而去構(gòu)造mock theta函數(shù)新的徑向極限，從而嘗試更加深刻地理解S．Ramanujan關(guān)于mock theta函數(shù)的模糊定義。

2.2 Mock theta函數(shù)具有的模形式本質(zhì)屬性

2002 年，S．P．Zwegers［15，22］在其博士論文中，將 mock theta 函數(shù)與非全純的 Jacobi形式、亞純 Jacobi形式的Fourier系數(shù)、實解析向量的模形式建立了聯(lián)系，首次徹底揭開了mock theta函數(shù)所具有的模形式的本質(zhì)屬性。S．P．Zwegers十分巧妙地構(gòu)造了一類實解析的向量模形式和權(quán)為1/2的實解析的非全純Jacobi形式來刻劃mock theta函數(shù)具有的模形式的本質(zhì)屬性。由此開啟了mock theta函數(shù)研究的新熱潮，許多新成果不斷涌現(xiàn)。

而關(guān)于這類特殊的半整權(quán)模形式，G．Shimura［23］早在1973年就首次系統(tǒng)地發(fā)展了半整權(quán)模形式的理論，他進(jìn)而建立了半整權(quán)模形式和整權(quán)模形式之間的Shimura對應(yīng)。之后，在2004年，J．H．Bruinier和J．Funke［16］首次提出每一個 mock theta函數(shù)是權(quán)為1/2的弱調(diào)和 Maass形式的全純部分，而其非全純部分是一個權(quán)為3/2的一元theta函數(shù)。J．H．Bruinier和J．Funke的工作開創(chuàng)了利用弱調(diào)和 Maass形式理論研究mock theta函數(shù)的新紀(jì)元。

在 J．H．Bruinier和 J．Funke對弱調(diào)和 Maass形理論研究工作的推動下，2009年，D．Zagier［24］給出了mock theta函數(shù)的現(xiàn)代定義。這樣，Ramanujan所給出的17個mock theta函數(shù)均是權(quán)為1/2的弱調(diào)和Maass形式的具體例子，即就是一類權(quán)為1/2的mock模形式。

所以，由J．H．Bruinier、J．Funke和D．Zagier的工作，可以發(fā)現(xiàn)如何將mock theta函數(shù)加上一個非全純項使其成為一個弱調(diào)和Maass形式是一項非常重要的工作，進(jìn)而可以考慮去研究Ramanujan關(guān)于mock theta函數(shù)的模糊定義與Zagier關(guān)于mock theta函數(shù)的現(xiàn)代定義之間是否等價的問題，這仍是一個具有挑戰(zhàn)性的熱點和難點問題。

筆者和周海港教授［25］利用mock theta函數(shù)的雙側(cè)級數(shù)定義和構(gòu)造了一類同余子群上的權(quán)為1/2的混合mock模形式及其對應(yīng)的mock theta函數(shù)，進(jìn)而證明了所得的mock theta函數(shù)是一類同余子群上的權(quán)為1/2的弱調(diào)和Maass形式的全純部分。而構(gòu)造mock模形式的其他新途徑仍是一個新的挑戰(zhàn)。

此外，2009年，K．Bringmann、A．Folsom 及 K．Ono［26］討論了一類權(quán)為 3/2的弱調(diào)和Maass形的全純部分與Lerch型 q－級數(shù)、Rogers－Fine型超幾何 q－級數(shù)之間的關(guān)系。2010年，K．Bringmann和 O．K．Richter［27］首次提出調(diào)和 Maass－Jacobi形式的概念，他們的這個新定義包含了經(jīng)典的Jacobi形式［28］和Zwegers定義的實解析的Jacobi形式。同時K．Bringmann等人還構(gòu)造了一個 Maass－Jacobi－Poincare級數(shù)作為 Maass－Jacobi形式的具體例子。之后，2013年，B．Cho和Y．Choie［29］建立了半整權(quán)弱調(diào)和Maass形空間與整權(quán)調(diào)和Maass－Jacobi形式空間之間的一個同構(gòu)關(guān)系。

2015年，T．Miezaki和 M．Waldherr［30］研究了 Mathieu mock theta函數(shù)的 Fourier系數(shù)的同余性質(zhì)，這一結(jié)果與 Mathieu月光猜想緊密關(guān)聯(lián)。與此同時，K．Bringmann、J．Duncan和 L．Rolen［31］利用弱 Jacobi形式及權(quán)為1指數(shù)為2的亞純Maass－Jacobi形式建立了其與最大Mathieu群M24之間的聯(lián)系，他們得到了一些權(quán)為1的Maass－Jacobi Poincare級數(shù)的同余關(guān)系。所以，Maass－Jacobi形式成為近幾年來模形式研究的又一新方向，產(chǎn)生了許多新的理論和方法。

同時，B．Srivastava［32］研究還發(fā)現(xiàn)了5階和10階mock theta函數(shù)的一類推廣形式，在選取合理的參數(shù)后，可以由這些mock theta函數(shù)的推廣形式得到一般的mock theta函數(shù)。因此，與mock theta函數(shù)相關(guān)的許多新概念、新方法不斷涌現(xiàn)，相應(yīng)的新問題、新困難期待人們突破和解決。

之外，D．Zagier［13］發(fā)現(xiàn)奇異模跡的生成函數(shù)是一類權(quán)為1/2或3/2的模形式。之后，J．H．Bruinier、P．Jenkins、K．Ono［33］、W．Duke［34］和 S．Ahlgen［35］等人分別研究了奇異模跡的生成函數(shù)及類數(shù)的生成函數(shù)與 mock模形式之間的關(guān)聯(lián)。2016年，Miranda C．N．Cheng、John F．R．Duncan［36］研究了一類最佳的mock Jacobi theta函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的有理系數(shù)可以用奇異模來表示，進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)所有mock theta函數(shù)可以利用這類mock Jacobi theta函數(shù)來表示。2016年，N．Andersen［37］利用非全純的向量模形式及其 Weil表示證明了5階 mock theta函數(shù)的mock theta猜想。G．E．Andrews、H．Stephen［38］也給出了一類混合mock模形式的構(gòu)造和Hecke型雙重和的刻畫表示。

繼而在2016年，Nancy S．S．Gu、JingLiu［39］通過構(gòu)造多參數(shù)的 Bailey變換，研究了Hecke型雙重和與Appell－Lerch和的新形式，給出了一些mock theta函數(shù)的生成函數(shù)類，但其他的mock theta函數(shù)的生成函數(shù)問題仍待解決。

雖然目前已經(jīng)有許多關(guān)于mock theta函數(shù)的研究結(jié)果，但是仍有許多問題懸而未解，特別是關(guān)于向量模形式、弱調(diào)和Maass形式、Hecke型雙重和、Maass－Jacobi形式、奇異模跡的生成函數(shù)、亞純Jacobi形式、Appell－Lerch和、量子模形式等理論的研究，進(jìn)而探索和思考mock theta函數(shù)與橢圓曲線及自首L－函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系一直是一個未知領(lǐng)域，這個問題的難度較大。

2.3 Mock theta函數(shù)系數(shù)的算術(shù)性質(zhì)

L．Dragonette［40］、G．E．Andrews［41］很早就先后分別研究并得到了 3 階 mock theta 函數(shù) f( q)系數(shù)的精確漸近公式。2006年，K．Bringmann、K．Ono［42］利用 S．P．Zwegers關(guān)于 mock theta函數(shù)建立的實解析的向量模形式理論、弱調(diào)和Maass形式理論和Poincare級數(shù)也證明了關(guān)于f( q)系數(shù)與 L．Dragonette、G．E．Andrews相同結(jié)果。之外，2008年，Sharon Anne Garthwaite［43］利用Bringmann－Ono的方法研究給出了3階mock theta函數(shù)ω( q)系數(shù)的一個類似的精確表示式。

在2014年，R．C．Rhoades［44］利用正整數(shù) n嚴(yán)格單峰序列數(shù) u*(n )的生成函數(shù)U*(n)是一類混合mock模形式的性質(zhì)，給出了u*(n)一個精確的漸近公式。因此，雖然對mock theta函數(shù)系數(shù)的漸近估計十分困難，但是卻越來越吸引了人們的研究興趣。而其他與之相關(guān)的問題也在不斷發(fā)展和完善，特別是弱調(diào)和Maass形式Fourier系數(shù)估計問題、全純整權(quán)本原尖形式Fourier系數(shù)的符號變化問題及半整權(quán)本征形式的尖形式Fourier系數(shù)等問題成為大家研究的一個熱點問題。

2008年，J．H．Bruinier、W．Kohnen［45］發(fā)現(xiàn)半整權(quán)尖形式 Fourier系數(shù)的符號變化也是十分頻繁的。2010 年，E．Kowalski、Y．K．Lau、K．Soundararajan、J．Wu［46］研究了全純整權(quán)本原尖形式 Fourier系數(shù)的符號變化問題。之后，2012 年，Y．K．Lau、J．Y．Liu、J．Wu［47］研究了整權(quán)本原尖形式的對稱平方 L－函數(shù)的Fourier系數(shù)的第一個負(fù)值項的上界估計問題。2012 年，T．A．Hulse、E．M．Kiral、C．I．Kuan、L．M．Lim［48］又研究了半整權(quán)本征形式的尖形式在n為無平方因子數(shù)時Fourier系數(shù)變化問題。2013年，W．Kohnen、Y．K．Lau、J．Wu［49］討論了半整權(quán)的本征形式的尖形式Fourier系數(shù)在n取特殊整數(shù)序列時的符號變化等問題，進(jìn)而改進(jìn)了 J．H．Bruinier、W．Kohnen［45］的結(jié)果。

筆者和吳杰教授［50］在2016年主要考慮了帶特征的半整權(quán)Hecke本征形式的尖形式Fourier系數(shù)的符號變化及非零值問題，即它們的 Hecke本征值的符號變化及非零值問題。在Bruinier、Kohnen［45］猜想的基礎(chǔ)上，我們考慮其在特殊整數(shù)序列上的性質(zhì)，結(jié)合 W．Kohnen、Y．K．Lau、J．Wu［49］和 J．Wu、W．G．Zhai［51］等人的研究方法和結(jié)果，得到了幾個結(jié)果。

盡管如此，mock theta函數(shù)系數(shù)的算術(shù)性質(zhì)仍是一個未知的熱點領(lǐng)域，因此，基于Dragonette－Andrews的方法，結(jié)合向量模形式、調(diào)和Maass形式、Jacobi形式、Appell－Lerch和的漸近表示等理論，討論和研究其他mock theta函數(shù)系數(shù)的符號變化規(guī)律及其漸近表示式仍是今后研究的一個新的挑戰(zhàn)和突破點。

2.4 Mock theta函數(shù)雙側(cè)級數(shù)的對偶表示

我們知道m(xù)ock theta函數(shù)與超幾何q－級數(shù)、Euler級數(shù)、theta函數(shù)、Hecke型雙重和及 Appell－Lerch和之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系。D．R．Hickerson和 E．T．Mortenson［52］在2014年研究了 Hecke型雙重和并給出了各階mock theta函數(shù)的Appell－Lerch和表示，同時他們還揭示了Appell－Lerch和與部分theta函數(shù)之間的對偶表示關(guān)系。

相反，在2014年，E．T．Mortenson［53］又研究了一些給定的 Eulerian級數(shù)的部分 theta函數(shù)表示問題，他考慮了其對偶表示對應(yīng)級數(shù)雙側(cè)級數(shù)的異側(cè)級數(shù)的Appell－Lerch和表示問題，同時，E．T．Mortenson［54］又利用這種對偶關(guān)系研究了一些給定Eulerian級數(shù)和及mock theta函數(shù)的徑向極限問題。

筆者正在研究通用mock theta函數(shù)的第二類對偶表示，即Appell－Lerch和表示［55］，進(jìn)而利用所得結(jié)果給出2階等其他mock theta函數(shù)的第二類對偶表示。同時，我們對所得到的mock theta函數(shù)的第二類對偶表示，又研究它們的Appell－Lerch和表示對應(yīng)的由部分theta函數(shù)表示的對偶表示。最后，利用得到的mock theta函數(shù)的第二類對偶表示，試圖去建立一些mock theta函數(shù)新的徑向極限，這一工作我們已經(jīng)取得了實質(zhì)性進(jìn)展，突破了一些關(guān)鍵技術(shù)。

因此，基于D．R．Hickerson和E．T．Mortenson的研究和已有的前期研究工作，研究給出mock theta函數(shù)雙側(cè)級數(shù)的Appell－Lerch和與部分theta函數(shù)表示的本質(zhì)刻畫，進(jìn)而利用其構(gòu)造出一些mock theta函數(shù)的徑向極限，進(jìn)而揭示這一問題的本質(zhì)。這是mock theta函數(shù)一個研究的新問題。

總之，隨著Ramanujan遺留的筆記本中的mock theta函數(shù)之謎被徹底揭開，在關(guān)于mock theta函數(shù)的熱點問題的研究過程中，必然會涉及更多的交叉理論，進(jìn)而出現(xiàn)和產(chǎn)生許多新問題和新的研究方向。盡管近十幾年來mock theta函數(shù)理論和mock模形式理論得到了迅速的發(fā)展和完善，但是進(jìn)一步對mock theta函數(shù)理論的系統(tǒng)研究及其算術(shù)性質(zhì)的探討更加富有深遠(yuǎn)意義，必將進(jìn)一步促進(jìn)和完善mock模形式這一理論體系的全面發(fā)展和廣泛應(yīng)用。

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