郭志華,秦小雨,曹懷信
(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安710119)
冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一,在級數(shù)理論中具有極其重要的地位。關(guān)于一元冪級數(shù)的概念、收斂性及和函數(shù)等性質(zhì)已有一套成熟的理論[1],而對于多元冪級數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)研究甚少。多項式函數(shù)是一類結(jié)構(gòu)簡單、性質(zhì)良好的函數(shù)類,在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)中具有重要應(yīng)用[2-3]。在文獻[4]中,筆者引入了多元函數(shù)項級數(shù)的概念,給出了其收斂域及和函數(shù)的定義,通過詳實的例子討論了多元冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù)及多元函數(shù)展開為多元冪級數(shù)的計算方法。文獻[5]討論了二元冪級數(shù)收斂半徑的計算公式,但沒有明確給出二元冪級數(shù)收斂半徑的定義。文獻[6]討論了一個關(guān)于SP(n)的無窮級數(shù)的收斂性問題,文獻[7]研究了關(guān)于冪級數(shù)在自然數(shù)列中的應(yīng)用。
本文根據(jù)一元冪級數(shù)相關(guān)原理,通過探究二元函數(shù)項級數(shù)的概念及收斂性,引出二元冪級數(shù)及其收斂半徑等概念,給出收斂半徑的相關(guān)性質(zhì),證明一些收斂和絕對收斂性定理,并以實例給出求解收斂半徑的方法。
設(shè){un(x,y)}是定義在區(qū)域D上的一個函數(shù)列,稱表達式
為函數(shù)項級數(shù)(1)的部分和。
定義1 若點P0=(x0,y0)∈D使得數(shù)項級數(shù)
收斂,即當(dāng)n→∞ 時,部分和
的極限存在,則稱二元函數(shù)項級數(shù)(1)在點P0=(x0,y0)收斂,且稱點P0=(x0,y0)為級數(shù)(1)的收斂點;若級數(shù)(3)發(fā)散,則稱級數(shù)(1)在點P0=(x0,y0)發(fā)散。若級數(shù)(1)在D的某個子集H上每一點都收斂,則稱級數(shù)(1)在H上收斂。若H為級數(shù)(1)全體收斂點的集合,則稱H為級數(shù)(1)的收斂域。此時,級數(shù)(1)在H上每一點P=(x,y)與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)(3)的和S(x,y)構(gòu)成一個定義在H上的函數(shù),稱為級數(shù)(1)的和函數(shù),并寫作
即
稱其為一個二元冪級數(shù),其中常數(shù)
稱為該冪級數(shù)的系數(shù)。由定義知
例如,當(dāng)
時,相應(yīng)的二元冪級數(shù)為
類似于一元冪級數(shù)的收斂性定理,我們有下面關(guān)于二元冪級數(shù)的收斂性定理。
定理1 (1)若二元冪級數(shù)(6)在點P0=(x0,y0)≠(0,0)收斂,則當(dāng)
時,二元冪級數(shù)(6)收斂且絕對收斂;
(2)若二元冪級數(shù)(6)在點P0發(fā)散,則當(dāng)
時,二元冪級數(shù)(6)發(fā)散。
證明 (1)因為二元冪級數(shù)(6)在點P0=(x0,y0)≠(0,0)收斂,所以
收斂,從而當(dāng)n→∞ 時,通項un(x0,y0)收斂于0。于是,存在常數(shù)M >0,使得
于是,當(dāng)
時,有
(2)由結(jié)論(1)可知。
推論1 若二元冪級數(shù)(6)在某個圓周Cr:x2+y2=r2(r>0)上的每個點處都收斂,則它在該圓內(nèi)處處絕對收斂。
證明 設(shè)P=(x,y) 為圓周Cr內(nèi)的任一點,則它可表示為(x,y)=k(x0,y0)(|k| < 1),其中:(x0,y0)∈Cr。從而,由定理1知二元冪級數(shù)(6)在P=(x,y)處絕對收斂。
基于這個推論,我們引入二元冪級數(shù)(6)的收斂半徑的概念。
定義3 稱
為二元冪級數(shù)(6)的收斂半徑。
例1 對于二元冪級數(shù)(7),由于
所以,由根式判別法知:當(dāng)|x+y|<1時,二元冪級數(shù)(7)絕對收斂;當(dāng)|x+y|>1時,二元冪級數(shù)(7)發(fā)散。因此,其收斂半徑同時,當(dāng)|x+y|=1時,二元冪級數(shù)(7)的通項不收斂于0,從而級數(shù)發(fā)散。故二元冪級數(shù)(7)的收斂域為,如圖1所示。
圖1 |x+y|=1的圖像及收斂半徑R,收斂域為兩條直線圍成的無界開域
下面給出收斂半徑的意義。
定理2 (1)當(dāng)R=0時,二元冪級數(shù)(4)的收斂域不能完全包含任何以原點為中心的圓周;(2)當(dāng)R→+∞時,二元冪級數(shù)(6)在整個平面處處絕對收斂;(3)當(dāng)0<R<∞時,二元冪級數(shù)(6)在圓CR:x2+y2=R2內(nèi)處處絕對收斂;在圓CR:x2+y2=R2外,至少一點處發(fā)散。
證明 (1)由收斂半徑的定義可知。
(2)當(dāng)R→+∞時,由收斂半徑的定義知:存在一個趨近于正無窮大的正數(shù)列{rn},使得在圓周Crn:x2+y2=上,二元冪級數(shù)(6)處處收斂。對于任何圓周Cr:x2+y2=r2(r>0),當(dāng)n足夠大時,有rn>r。于是,根據(jù)推論1知二元冪級數(shù)(6)在圓Cr上處處絕對收斂。由r的任意性可知:二元冪級數(shù)(6)在整個平面處處絕對收斂。
(3)設(shè)P=(x,y)為圓周CR內(nèi)任一點,則x2+y2<R2。由收斂半徑的定義知:存在正數(shù)列{rn}使得rn→R(n→∞)且二元冪級數(shù)(6)在Crn上的每個點都收斂。取充分大的自然數(shù)n,使得R2。由推論1知二元冪級數(shù)(6)在點P=(x,y)處絕對收斂。
注1 當(dāng)R=0時,二元冪級數(shù)(6)可能在除了原點之外的點處收斂。
推論2 對于二元冪級數(shù)(6),記
注2 對于例2中的冪級數(shù),有u2n(x,y)=n!xnyn,u2n+1(x,y)=0,a→+∞,但R=0。這說明不等式(10)中的小于號是可以成立的。對于二元冪級數(shù),有u2n(x,y)=(x2+y2)n,u2n+1(x,y)=0,從而
例3 求二元冪級數(shù)
的收斂半徑及收斂域。
解 由于原級數(shù)可寫為
這是z=x2y3的一元冪級數(shù),其收斂半徑為所以,當(dāng)時,原級數(shù)絕對收斂;當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,有,可見,原級數(shù)的通項不趨近于0,從而發(fā)散。因此,原級數(shù)的收斂域為
圖2
解 因為
為z=x+y2的冪級數(shù),其收斂半徑為1,收斂域為[-1,1],從而原級數(shù)的收斂域為
進一步,由一元函數(shù)的泰勒展開式知,原級數(shù)的和函數(shù)為arctan(x+y2),即
現(xiàn)在考慮該二元冪級數(shù)的收斂半徑。首先,畫出|x+y2|=1的圖像(見圖3)。收斂域就是兩條曲線y2=-(x-1)(x≤1)和y2=-(x+1)(x≤-1)圍成的無界閉域。設(shè)在曲線y2=-(x-1)(x≤1)上任意一點(x,y)到原點的距離為d,則它在處取得最小值由于曲線y2=-(x+1) (x≤-1)上任意一點(x,y)到原點的距離大于等于所以該二元冪級數(shù)的收斂半徑如圖3所示。
圖3 |x+y2|=1的圖像及其收斂半徑,收斂域為兩條拋物線之間的無界閉域
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