錢(qián)麗談 曹關(guān)明

【摘要】 在平面向量這一章的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到一類以 a =λ b +μ c 為條件求最值的問(wèn)題，本文借助A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：有唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ，使OC =λOA +μO(píng)B ，其中λ+μ=1.得到了以下引理：給定三個(gè)不共線的平面向量OA ，OB ，OC ，滿足OC =λOA +μO(píng)B ，OA =mOA′ ，OB =nOB′ （m，n∈ R ），直線OC與直線A′B′交于點(diǎn)C′，則mλ+nμ= |OC | |OC′ | ，若|OC |為定值，則當(dāng)|OC′ |最大時(shí)，mλ+nμ取得最小值，當(dāng)|OC′ |最小時(shí)，mλ+nμ取得最大值.從而快速地解決了上述平面向量最值問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 平面向量;三點(diǎn)共線;最值;求解策略

一、問(wèn)題的提出

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)必修4平面向量時(shí)，遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量AC =λDE +μAP （λ，μ∈ R ），則λ+μ的最小值為（? ）.

A. 1 2

B. 1 3

C. 1 4

D. 1 5

解法1? 如圖2所示，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P（cosθ，sinθ），

則AC =λDE +μAP =? 1 2 λ+μcosθ，-λ+μsinθ =（1，1），

解得λ= 2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ ，μ= 3 2cosθ+sinθ ，

∴λ+μ= 3+2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ =-1+ 3（sinθ+1） 2cosθ+sinθ ，

由題意，0≤θ≤ π 2 ，

∴0≤cosθ≤1，

0≤sinθ≤1，（λ+μ）′= 6+6sinθ-3cosθ （2cosθ+sinθ）2 >0，

∴λ+μ在θ∈ 0， π 2? 上是增函數(shù)，

∴θ=0時(shí)，（λ+μ）min= 1 2 .

評(píng)注：上述解法思路清晰自然，但解答過(guò)程過(guò)于煩瑣，計(jì)算量太大，這時(shí)我們思考能否借助向量的幾何意義來(lái)給出問(wèn)題的解答呢？

二、問(wèn)題的探究

條件AC =λDE +μAP 是平面向量的線性表示，其幾何背景是平面向量基本定理：如果 e 1， e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使 a =λ1 e 1+λ2 e 2.與此定理有關(guān)的一個(gè)重要結(jié)論是三點(diǎn)共線的向量表示：A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：有唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ，使OC =λOA +μO(píng)B ，其中λ+μ=1.由此，我們考慮構(gòu)造一個(gè)三點(diǎn)共線的圖形，得到以下新的解法：

解法2? 如圖3所示，將DE 平移至AF ，則AC =λAF +μAP ，

兩邊同時(shí)除以λ+μ，得

1 λ+μ AC = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ，

設(shè)AC′ = 1 λ+μ AC ，

則AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ，

由 λ λ+μ + μ λ+μ =1知，C′，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，

又λ+μ= |AC | |AC′ | ，而|AC |= 2 ，所以當(dāng)|AC′ |最大時(shí)，λ+μ取得最小值，

觀察圖像可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，|AC′ |max=2 2 ，故（λ+μ）min= 1 2 .

評(píng)注：與解法1相比，此法簡(jiǎn)潔明了，且更具一般性.

三、解法的推廣

變式? 將上述問(wèn)題變?yōu)椤扒螃?2μ的最小值”.

解? 如圖4所示，設(shè)點(diǎn)P′為以A為圓心，AE為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，則AP =2AP′ ，

所以AC =λAF +2μAP′ ，

兩邊同時(shí)除以λ+2μ，

得 1 λ+2μ AC = λ λ+2μ AF + 2μ λ+2μ AP ，

設(shè)AC′ = 1 λ+μ AC ，

則AC′ = λ λ+μ AF + μ λ+μ AP ，

由 λ λ+2μ + 2μ λ+2μ =1知，C′，F(xiàn)，P′三點(diǎn)共線，

觀察圖像可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)（λ+2μ）min=2.

評(píng)注：利用三點(diǎn)共線的幾何意義，問(wèn)題還可以進(jìn)一步推廣到求mλ+nμ（m，n∈ R ）的最值，給出引理.

引理? 如圖5所示，給定三個(gè)不共線的平面向量OA ，OB ，OC ，滿足OC =λOA +μO(píng)B ，OA =mOA′ ，OB =nOB′ （m，n∈ R ），直線OC與直線A′B′交于點(diǎn)C′，則mλ+nμ= |OC | |OC′ | ，若|OC |為定值，則當(dāng)|OC′ |最大時(shí)，mλ+nμ取得最小值;當(dāng)|OC′ |最小時(shí)，mλ+nμ取得最大值.

證明? OC =λOA +μO(píng)B =mλOA′ +nμO(píng)B′ ，

兩邊同時(shí)除以mλ+nμ，

得 1 mλ+nμ OC = mλ mλ+nμ OA + nμ mλ+nμ OB ，

設(shè)OD = 1 mλ+nμ OC ，由 mλ nλ+nμ + nμ mλ+nμ =1知，A，B′，D三點(diǎn)共線，

又因?yàn)镺D ∥OC ，所以D點(diǎn)與C′點(diǎn)重合，

所以mλ+nμ= |OC | |OC′ | ，

因?yàn)閨OC |為定值，所以當(dāng)|OC′ |最大時(shí)，mλ+nμ取得最小值，當(dāng)|OC′ |最小時(shí)，mλ+nμ取得最大值.

四、引理的應(yīng)用

運(yùn)用以上引理，我們可以輕松解決一類向量最值問(wèn)題的求解：

例1?? （2009年安徽）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA 和OB ，它們的夾角為120°，如圖6所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB 上變動(dòng).若OC =xOA +yOB ，其中x，y∈ R ，則x+y的最大值是 .

解析? 如圖7所示，設(shè)直線OC與直線AB交于點(diǎn)C′，則x+y= |OC | |OC′ | .

由圖得，當(dāng)OC ⊥AB 時(shí)，|OC ′|min= 1 2 ，

所以x+y的最大值為2.

改編? 如圖8所示，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若OC =xOA +yOB ，則x+3y的取值范圍是 .

解析? 如圖9所示，在線段OB上取一點(diǎn)B′，使OB =3OB′ ，設(shè)直線OC與直線AB′交于點(diǎn)C′，則x+3y= |OC | |OC′ | ，由圖得，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，|OC′ |max=1，x+3y取得最小值1;當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，|OC′ |min= 1 3 ，x+3y取得最大值3，所以x+3y∈[1，3].

例2?? （2012年杭州二模）如圖10所示，A，B，C是圓O上三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外一點(diǎn)D，若OC =mOA +nOB （m，n∈ R ），則m+n的取值范圍是（? ）.

A.（0，1） B.（1，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-1，0）

解析? OC =mOA +nOB （m，n∈ R ），

兩邊同時(shí)除以m+n，得

1 m+n OC = m m+n OA + n m+n OB ，

設(shè)OC′ = 1 m+n OC ，

則OC′ = m m+n OA + n m+n OB ，

由 m m+n + n m+n =1知，C′，A，B三點(diǎn)共線，

又因?yàn)镺C′ ∥OC ，所以D點(diǎn)與C′點(diǎn)重合，

又因?yàn)辄c(diǎn)D是CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外的一點(diǎn)，

所以m+n=- |OC | |OD | ∈（-1，0）.