張志忠

【摘要】 三角函數(shù)是初中數(shù)學中很重要并且常用的數(shù)學模型，可以通過模型研究很多數(shù)學問題，幫助學生更好地理解數(shù)學知識，提高課堂效率.在現(xiàn)實生活中有很多抽象和比較復雜的問題，通過函數(shù)模型的應用，就可以快速而準確地解決，讓學生明白數(shù)學函數(shù)的重要性，并且激發(fā)學生的學習興趣，促進學生主動投入數(shù)學的學習，從而讓課堂達到事半功倍的效果.通過教師的不斷改善教學方式，下面本文將通過幾個具體的案例，揭示三角函數(shù)模型在實踐中的實際運用.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù)模型;課堂教學;實際應用

在初中課堂教學理念中，提倡學生主動學習、積極探索的學習方法，提高學生的數(shù)學能力和思維能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學模型意識，深入了解數(shù)學文化.在初中數(shù)學教材中，很多知識點與學生的現(xiàn)實生活距離遙遠，加上初中生的認知水平，很難理解抽象和復雜的數(shù)學內(nèi)容.通過三角函數(shù)模型的應用，幫助學生培養(yǎng)思維，指出學習方向，收集相關(guān)資料，進而解決實際性的問題，體現(xiàn)三角函數(shù)模型的重要作用.下面通過以下幾個例子來學習三角函數(shù)模型.

例1?? 小美和同學一起到游樂場游玩.游樂場的大型摩天輪的半徑為20 m，勻速旋轉(zhuǎn)1周需要12 min.小美乘坐最底部的車廂（離地面約0.5 m）開始1周的觀光，請回答下列問題：（參考數(shù)據(jù)： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）

（1）1.5 min后小美離地面的高度是 m;（精確到0.1 m）

（2）摩天輪啟動多長時間后，小美離地面的高度將首次達到10.5 m？

點撥? 本題目涉及了直角三角形的應用以及生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

（1）可以通過算出1.5分鐘后所轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)半徑的長以及構(gòu)造的直角三角形，通過函數(shù)模型建設，可求出答案為6.4.

（2）可以根據(jù)已知條件，給出的高度，先能求出OD的長，根據(jù)直角三角形中，若直角邊是斜邊的一半，那么這個直角邊所對的角是30°，從而求出轉(zhuǎn)過的∠COD的情況并求解.通過函數(shù)模型，得出答案為2分鐘.

例2?? 如圖3所示，在河的對岸有水塔AB，今在C處測得塔頂A的仰角為30°，前進20米到D處，又測得A的仰角為45°，求塔高AB.

探索：在河對岸的塔能否直接測得它的高度？為什么？

在C，D兩處測得仰角的含義是什么？怎樣用CD的長？

點撥? 要直接隔岸測得塔高是不可能的，也不可能直接利用兩個仰角及CD長，由于塔身與地面垂直，且C，D，B三點共線，這時可以構(gòu)成一個直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，這時就可以借助解直角三角形的知識求解了.最后的答案為：塔高AB為10米.

例3?? 如圖4所示，“中國海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在點B的正西方向上，島礁C上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在點C的南偏東30°方向上，已知點C在點B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里.

（1）求出此時點A到島礁C的距離;

（2）若“中海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛?cè)?，當?shù)竭_點A′時，測得點B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“中國海監(jiān)50”的航行距離.（注：結(jié)果保留根號）

點撥? 本題目主要涉及直角三角形的應用以及方位角問題.

（1）根據(jù)題意得出，畫出上圖，延長線BA，過點C作CD⊥BA延長線于點D，由題意可得∠CBD=30°，BC=120海里，則DC=60海里，最后通過函數(shù)模型建立，得出點A到島礁C的距離為40 3 海里.

（2）如圖5所示，過點A′作AN⊥BC于點N，得∠2=15°，即A′B平分∠CBA，通過函數(shù)解答，快速求出答案為60-20 3 海里.

這類題目在日常工作經(jīng)常遇到，只要我們找到函數(shù)之間的關(guān)系，通過函數(shù)模型建設就可以很快準確地計算出答案，用數(shù)學解決日常工作問題.

例4?? 如圖6所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA=100 m，山坡坡度i=1 ∶ 2，且O，A，B在同一條直線上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點P的鉛直高度.（測角儀高度忽略不計）

點撥? 本題主要涉及三角形的應用以及仰角問題.

（1）在△AOC中，作PE⊥OB于點E，PF⊥CO于點F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60，通過對三角函數(shù)求解，得出答案為100 3 （米）.

（2）據(jù)右圖可以看到3個直角三角形，用60°以及45°以及坡度比，分別求出CO，CF，PE，然后根據(jù)三者之間的關(guān)系求解答案.

在現(xiàn)實生活中處處都包含著函數(shù)知識點，這些問題比較復雜并且抽象，需要我們有良好的函數(shù)基礎來解決它.因此，作為初中數(shù)學教師，我們應該更加重視數(shù)學函數(shù)的學習，在舉例子的時候盡量貼近生活，讓學生明白數(shù)學起源于生活，作用于生活，讓學生明白數(shù)學的重要性，并且激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的積極性，學會用教材知識解決實際生活中的問題.