王超園

摘? 要：以《觀察的范圍》一課為例，通過對教材與學(xué)情的分析，從學(xué)生的真實(shí)需求切入，進(jìn)行了兩次教學(xué)實(shí)踐。結(jié)合兩次教學(xué)實(shí)踐，綜合運(yùn)用抽象、建模、推理、想象等方法，得出本節(jié)課發(fā)展空間觀念的幾個(gè)形成點(diǎn)，并為后續(xù)的教學(xué)提供一些思考。

關(guān)鍵詞：空間觀念;抽象;觀察的范圍

《觀察的范圍》選自北師大小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“觀察物體”這一單元的內(nèi)容。橫向比較不同版本的教材，我們發(fā)現(xiàn)，其他版本的教材是沒有《觀察的范圍》這一內(nèi)容的。為什么北師大版教材要將這一內(nèi)容編排進(jìn)去？這看似不用老師教，學(xué)生也明白的道理，為什么教材還要放在六年級進(jìn)行教學(xué)呢？

一、緣起，撥動學(xué)生內(nèi)心的疑惑點(diǎn)

教材中給予了相關(guān)說明。這種“不像數(shù)學(xué)”的內(nèi)容，有助于學(xué)生“空間觀念”的形成和“空間推理”“空間想象力”的發(fā)展，還可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的意識。這樣解釋似乎讓人難以理解，直到一次上課后學(xué)生的提問，讓筆者找到了答案。

【教學(xué)片段】

在讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律時(shí)，一位學(xué)生提出了這樣的疑惑：為什么同樣是觀察點(diǎn)與阻礙點(diǎn)越近，第一幅圖中是盲區(qū)越來越大，觀察范圍越來越小，而第二幅圖中，怎么是盲區(qū)越來越小，觀察范圍越來越大了呢？這兩題似乎矛盾了。

【反思分析】

對于學(xué)生的提問，是我沒有預(yù)設(shè)到的。本節(jié)課就知識點(diǎn)而言，對于學(xué)生來說并不難，那么教學(xué)的重難點(diǎn)又應(yīng)該放在哪兒呢？面對學(xué)生提出的疑問，我又該如何解決呢？這些課堂中真實(shí)存在的聲音，讓我不得不思考知識點(diǎn)背后蘊(yùn)含的思想方法是什么？又該如何去落實(shí)。

二、明理，依托思維發(fā)展的支撐點(diǎn)

（一）查閱資料，從空間觀念中謀出路

本節(jié)課既然屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域下“圖形的認(rèn)識”這一部分的內(nèi)容，必然要培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的能力。課標(biāo)中提到，對于物體的認(rèn)識，學(xué)生要能根據(jù)特征抽象出幾何圖形，那么本節(jié)課，在學(xué)生總結(jié)出規(guī)律以后，是否可以再進(jìn)一步研究，抽象出幾何圖形呢？

（二）重讀教材，在抽象與聯(lián)系中體驗(yàn)

重新研讀教材，我們發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課要求學(xué)生將眼睛抽象成數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”，將視線抽象為數(shù)學(xué)中的“線”。那么由點(diǎn)和線組成的圖形，在本節(jié)課中就是一個(gè)個(gè)三角形，如圖1和圖2。

圖1中，由于觀察點(diǎn)越高，角1越小，所以對應(yīng)分BC邊越短，相應(yīng)的盲區(qū)也會減少。同理，圖2中，由于觀察點(diǎn)越近，角2越大，對應(yīng)的A′B′邊越長，相應(yīng)的盲區(qū)會增加。盲區(qū)大小的表現(xiàn)形式，其實(shí)就是從不同角度看，三角形的角與對應(yīng)邊長之間的關(guān)系，我們可以將其抽象成數(shù)學(xué)模型，這就幫助孩子由生活過渡到了數(shù)學(xué)。史寧中教授曾說“抽象的核心是舍去現(xiàn)實(shí)背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實(shí)背景”。除了抽象出模型，還應(yīng)讓學(xué)生與生活聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的眼光看待世界?？磥硪仓挥谐橄笏季S逐步形成的六年級學(xué)生，才有能力用模型來解釋生活現(xiàn)象。

三、重構(gòu)，緊扣空間觀念的形成點(diǎn)

針對以上思考，筆者對本節(jié)課的教學(xué)思路進(jìn)行重組，整理如下：

【教學(xué)片段】

（一）探究觀察點(diǎn)高低的變化

課件演示【師】：讓我們再來回顧梳理一遍，你們的意思都是連接這兩個(gè)點(diǎn)，再延長來確定看到和看不到的風(fēng)景。這兩個(gè)點(diǎn)，我們給它起個(gè)名字，這些老師眼睛所在的點(diǎn)叫觀察點(diǎn)，阻擋視線的最高點(diǎn)叫阻礙點(diǎn)，看不到的地方叫盲區(qū)，比如這一塊看不到的地方是王老師的盲區(qū)……看得到的地方叫觀察的范圍。

【師】我們將三位老師觀察的結(jié)果放在一起看看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

【小結(jié)】是的，從上往下看。觀察點(diǎn)越高，觀察的范圍越大，盲區(qū)越小?！景鍟?/p>

【師】生活中像這樣研究觀察范圍的問題，可以用更簡單的方式來表達(dá)。

課件出示，實(shí)物隱去，抽象出圖形。

【師】請你想象一下，如果觀察點(diǎn)繼續(xù)變高，會發(fā)生什么變化？再變高呢？

是啊，這就是我們熟悉的“欲窮千里目，更上一層樓”。

（二）探究觀察點(diǎn)遠(yuǎn)近的變化

【師】生活中不但有“登高望遠(yuǎn)”，還有“退一步，海闊天空”，請看“行駛中的大巴車”。請你找找這個(gè)例子中，觀察點(diǎn)在哪里，阻礙點(diǎn)在哪里？

【師】現(xiàn)在請你動手畫一畫，并說說你有什么發(fā)現(xiàn)？

【小結(jié)】從下往上看，觀察點(diǎn)越遠(yuǎn)，觀察的范圍越大，盲區(qū)越小。

（三）路燈下的影子

通過剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了觀察的范圍跟觀察點(diǎn)的高低和觀察點(diǎn)的遠(yuǎn)近有關(guān)?，F(xiàn)在請你用學(xué)到的知識，來解決一下影子中的數(shù)學(xué)問題。

【反饋】

發(fā)現(xiàn)1. 玲玲離路燈越近，影子越短。

發(fā)現(xiàn)2. 觀察點(diǎn)不變，阻礙點(diǎn)的位置變了。

發(fā)現(xiàn)3. 觀察點(diǎn)與阻礙點(diǎn)之間的距離發(fā)生變化，影子也會發(fā)生變化。

思考：如果玲玲繼續(xù)朝著路燈走，影子會如何變化？什么原因引起了這些變化？

【小結(jié)】是啊，觀察點(diǎn)的變化和阻礙點(diǎn)的變化都會引起觀察范圍的變化。

其實(shí)啊，玲玲在走的過程當(dāng)中，這個(gè)角也在發(fā)生變化。

【延伸】在登高望遠(yuǎn)和行駛的汽車中，是否也有這樣一個(gè)變化的角呢？請同學(xué)們課后再去研究。

【執(zhí)教的總結(jié)與反思】

在這一節(jié)課中，筆者從已有的知識經(jīng)驗(yàn)入手，深入細(xì)致地安排了作圖的教學(xué)，并在此基礎(chǔ)上，通過想象圖形未來的變化趨勢，讓學(xué)生感悟產(chǎn)生盲區(qū)大小背后的真實(shí)原因。

（一）登高望遠(yuǎn)，初建模型。

從前期學(xué)生的回答中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于觀察范圍的影響因素是有一定的生活經(jīng)驗(yàn)的，但是經(jīng)驗(yàn)還沒成型，不是每個(gè)學(xué)生都了解。所以在安排第一環(huán)節(jié)的教學(xué)時(shí)，教師在重點(diǎn)解決基礎(chǔ)知識的前提下，進(jìn)行了一定的提升，抽象出直角三角形的模型，如圖4。

從比較三位老師的觀察范圍，讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律與經(jīng)驗(yàn)并不困難，為了讓學(xué)生學(xué)有所得，教師繼續(xù)安排了想象延伸環(huán)節(jié)?！袄^續(xù)登高會如何變化？”讓學(xué)生通過觀察圖形初步感受到，觀察范圍的大小其實(shí)與直角三角形中，角1的大小有關(guān)。

（二）退一步海闊天空，豐富表象。

本環(huán)節(jié)，學(xué)生充分交流生活中的有關(guān)觀察范圍的現(xiàn)象，豐富認(rèn)知，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活之間的緊密性，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活的意識。相較于之前的試教，增加了觀察角度的變化引起的變化。在學(xué)生無法用直角三角形模型來解釋原因時(shí)，初步的感受即兩者觀察的角度不同，觀察點(diǎn)與阻礙點(diǎn)之間的距離不同。因此，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，添加上觀察的角度更科學(xué)合理，有利于空間觀念的培養(yǎng)。

（三）對比聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

“有趣的影子”題中靜止的“桿子”換成女孩玲玲，借助動畫讓學(xué)生充分感知玲玲在路燈下走動，她的影子由長變短，最后由短變長，使學(xué)生從中體會觀察點(diǎn)與阻礙點(diǎn)的位置變化引起了影子的長短變化。再引導(dǎo)學(xué)生分析是什么原因引起影子的長短發(fā)生了不同變化。通過動態(tài)呈現(xiàn)（如圖），讓學(xué)生感受到神奇的角在作怪，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

在學(xué)生感受的基礎(chǔ)上，回過頭去驗(yàn)證之前兩個(gè)例子中是否也存在這樣的道理，給學(xué)生留有充分思考的時(shí)間，并讓學(xué)生想象，玲玲繼續(xù)往前走，影子會如何變化？角度又會如何變化？直觀的演示與適時(shí)的想象、推理相結(jié)合，有助于學(xué)生空間觀念的形成和“空間推理”“空間想象力”的發(fā)展。

四、反思，用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活

（一）變扶為放，深入研究

我們通過研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，觀察的范圍與直角三角形中的角與邊的對應(yīng)有聯(lián)系，那么可否以此為切入口，進(jìn)行深入研究呢？在第一個(gè)環(huán)節(jié)“登高望遠(yuǎn)”中就幫助學(xué)生建立起模型，并用這個(gè)模型來解釋一些生活現(xiàn)象。發(fā)現(xiàn)即使情境不同、變化的點(diǎn)不同，但本質(zhì)上是相同的，都是建模，而后發(fā)現(xiàn)角度與邊之間的關(guān)系。

（二）緊貼生活，學(xué)以致用

數(shù)學(xué)來源于生活，最終要回歸到生活。本節(jié)課中，生活中的實(shí)例還不是很多，應(yīng)該多讓學(xué)生舉例并說明其中的道理。從使用日常語言到使用幾何語言，也是發(fā)展空間觀念的重要手段。