顧萬春

摘? 要：“數(shù)學(xué)規(guī)則”是數(shù)學(xué)的重要組成部分?！皵?shù)學(xué)規(guī)則”的課程主張依循教師對課程的理解，包括課程目標(biāo)、課程資源和課程實(shí)施。作為數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)，可以回溯本源、嚴(yán)密構(gòu)建和多向連接，讓規(guī)則不斷生發(fā)、生成和融合。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)則;課程主張;教學(xué)路徑

從根本上說，數(shù)學(xué)知識包括“客觀知識”和“主觀知識”?？陀^知識是人類“生命·實(shí)踐”智慧結(jié)晶，主觀知識是個(gè)體“生命·實(shí)踐”智慧結(jié)晶。客觀知識包括數(shù)學(xué)概念、規(guī)則和思想方法等。數(shù)學(xué)規(guī)則包括法則、性質(zhì)、定律、公式等。根據(jù)美國教育心理學(xué)家加涅學(xué)習(xí)層次分類，規(guī)則屬于高階學(xué)習(xí)。運(yùn)用規(guī)則能發(fā)展學(xué)生思維，盤活學(xué)生想象，引領(lǐng)學(xué)生探索。

一、“數(shù)學(xué)規(guī)則”的課程主張

“數(shù)學(xué)規(guī)則”課程，主張依循教師對課程的理解和實(shí)踐，基于數(shù)學(xué)本體和學(xué)生生命發(fā)展等多重視域，努力追尋本源化、理性化、序列化的數(shù)學(xué)教學(xué)，追尋數(shù)學(xué)規(guī)則內(nèi)在生成、自然生長、科學(xué)生發(fā)。

1. 課程目標(biāo)：聚焦“數(shù)學(xué)規(guī)則”意義

“數(shù)學(xué)規(guī)則”是一種數(shù)學(xué)的規(guī)定，必須遵守。數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要讓學(xué)生了解和認(rèn)知各種規(guī)則。小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則分布于各年級教材之中，如計(jì)數(shù)規(guī)則、計(jì)量規(guī)則、數(shù)的大小比較規(guī)則、讀寫數(shù)規(guī)則、四則運(yùn)算規(guī)則等。通常情況下，由于教師總是認(rèn)為規(guī)則是學(xué)生必須遵守的，因而對規(guī)則采用“告訴式”教學(xué)。比如，教學(xué)《用字母表示數(shù)》，對于數(shù)字和字母相乘的規(guī)則，教師總是直接出示規(guī)則，輕描淡寫。如此，學(xué)生在書寫時(shí)總是發(fā)生錯(cuò)誤。其實(shí)，深究數(shù)字和字母相乘規(guī)則，就不難體驗(yàn)到書寫的合理性。首先，因?yàn)閿?shù)字是常量，而字母通常是變量，常量放在變量前;其次，這樣書寫避免了與字母冪的形式相混淆，如2a和a2，如a2就非常容易和a2相混淆。當(dāng)教師在教學(xué)聚焦規(guī)則意義時(shí)，學(xué)生就能體會(huì)到數(shù)學(xué)規(guī)則的合理性，從而認(rèn)同、理解、內(nèi)化規(guī)則。

2. 課程資源：聚積“數(shù)學(xué)規(guī)則”源泉

盡管“數(shù)學(xué)規(guī)則”是規(guī)定的，但這種規(guī)定有著歷史源泉，有必然性。在數(shù)學(xué)史上，規(guī)則產(chǎn)生并不是隨心所欲的。作為教師，應(yīng)當(dāng)聚積規(guī)則源泉，讓學(xué)生充分體驗(yàn)規(guī)則的合理、合情與合法（法度）。比如，教學(xué)“乘加和乘減混合運(yùn)算”，教師要激發(fā)學(xué)生深度思考“為什么要先算乘除后算加減？”“不這樣計(jì)算行嗎？”教學(xué)中，一方面從生活中擷取素材，借助生活事例來讓學(xué)生感受、體驗(yàn)計(jì)算規(guī)則的合理性;另一方面，從數(shù)學(xué)本源來梳理、發(fā)掘，啟發(fā)學(xué)生計(jì)算思維。要求學(xué)生計(jì)算“39+39+39+39”，一開始，由于數(shù)39的個(gè)數(shù)比較小，學(xué)生還從左往右依次計(jì)算，隨著算式變化，數(shù)39的個(gè)數(shù)越來越多，學(xué)生就自然將若干個(gè)39相加的和寫成乘法形式，并自覺計(jì)算乘法。從中，學(xué)生深刻理解了“先算乘除，后算加減”這一四則混合運(yùn)算的黃金規(guī)則。

3. 課程實(shí)施：聚力“數(shù)學(xué)規(guī)則”質(zhì)態(tài)

對于規(guī)則，我們首先要讓學(xué)生思考：規(guī)則是任意規(guī)定的，還是有道理的。只有讓學(xué)生體認(rèn)到規(guī)則的合理性，學(xué)生才能從根本上對規(guī)則展開自主探究。聚力規(guī)則之理，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。比如，“0”為什么不能作除數(shù)？許多教師恐怕都不能言說清楚。事實(shí)上，我們可以采用反證法，假如“0”可作除數(shù)，那么就不能保證商的唯一性。再如，我們?yōu)槭裁匆?guī)定“1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)”？有教師從因數(shù)個(gè)數(shù)來解釋。事實(shí)上，規(guī)定“1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)”，并不是分類要求，而是要保證對一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的唯一性。如果將“1”納入其中，每一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的形式就不唯一了，可以寫任意多個(gè)1。只有引導(dǎo)學(xué)生聚力于規(guī)則質(zhì)態(tài)，才能讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才是“活的數(shù)學(xué)”教學(xué)。

二、“數(shù)學(xué)規(guī)則”的教學(xué)路徑

在加涅學(xué)習(xí)層次中，規(guī)則學(xué)習(xí)位居解決問題之下?？梢?，規(guī)則習(xí)得是規(guī)則運(yùn)用的基礎(chǔ)。一方面，規(guī)則誕生是循序漸進(jìn)的，另一方面規(guī)則之間又是交叉聯(lián)結(jié)的。一方面，要讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)則形成過程;另一方面，要注意此規(guī)則與彼規(guī)則的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。規(guī)則教學(xué)應(yīng)當(dāng)有序化、結(jié)構(gòu)化和嚴(yán)密化。

1. 回溯本源，指向規(guī)則的生發(fā)

規(guī)則在數(shù)學(xué)教材中的存在形態(tài)是豐富的，有顯性的、隱性的規(guī)則，有單一的、綜合的規(guī)則等。隱性規(guī)則，要讓學(xué)生多次感悟;重要規(guī)則，要多次滲透。有時(shí)，教師甚至要多次返回規(guī)則本源，尋求來自學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的向?qū)А⑸畹膯⒌稀?/p>

比如《乘法分配律》這一運(yùn)算規(guī)則，盡管教師多次用字母表征，強(qiáng)化乘法分配律形式，但在計(jì)算時(shí)，學(xué)生老是將乘法分配律和結(jié)合律混淆。其實(shí)，學(xué)生在低年級就已經(jīng)觸碰“乘法分配律”，比如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算，比如長方形的周長計(jì)算等。這些知識都蘊(yùn)藏著“乘法分配律”規(guī)則種子。筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生回溯本源，將學(xué)生頭腦深處的內(nèi)隱規(guī)則顯性化，緘默規(guī)則可視化。借助計(jì)算長方形周長，讓學(xué)生從圖形意義上進(jìn)行詮釋;借助一道“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的豎式計(jì)算，讓學(xué)生從算理意義上加以詮釋，對豎式中每一步予以意義說明。如此，學(xué)生就能深刻理解乘法分配律的意義，而不僅僅是記住形式化的乘法分配律。當(dāng)學(xué)生理解了規(guī)則意義，對規(guī)則形式也就能夠自主表征了。比如，有學(xué)生用圖形表征乘法分配律——“（△+☆）×○=△×○+☆×○”，有學(xué)生用文字表征——“兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)等于分別用這兩個(gè)數(shù)乘一個(gè)數(shù)，再求和”，有學(xué)生用符號表征——“（a+b）c=ac+bc”等。在回溯中，學(xué)生真正走進(jìn)規(guī)則內(nèi)部，感悟到規(guī)則真諦。

回溯規(guī)則源頭，規(guī)則就不再是冰冷、生硬的，而是自然、充滿溫情的。當(dāng)學(xué)生走進(jìn)規(guī)則源頭，就能形成一種對規(guī)則進(jìn)行再創(chuàng)造的欲望、動(dòng)力，就能用自己的方式去表征規(guī)則。盡管這種表征是膚淺的，甚至是幼稚的，但卻是學(xué)生對規(guī)則的個(gè)性化解讀。

2. 嚴(yán)密構(gòu)建，指向規(guī)則的生成

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，規(guī)則呈現(xiàn)通常有兩種方式：一種是先例證后規(guī)則，即先呈現(xiàn)個(gè)例，然后歸納規(guī)則;另一種是先規(guī)則后例證，即先呈現(xiàn)規(guī)則，然后進(jìn)行例證，或先呈現(xiàn)大規(guī)則，然后演繹小規(guī)則。無論是哪一種規(guī)則教學(xué)，教師都必須引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)密構(gòu)建。在規(guī)則建構(gòu)中，學(xué)生要進(jìn)行上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)。要讓學(xué)生深度體驗(yàn)規(guī)則形成過程，滲透思想方法，導(dǎo)引數(shù)學(xué)規(guī)則應(yīng)用，在生成與應(yīng)用中架設(shè)互通橋梁。

教學(xué)《奇數(shù)和偶數(shù)》（蘇教版五下），當(dāng)學(xué)生理解了奇數(shù)就是單數(shù)、偶數(shù)就是雙數(shù)后，筆者要求學(xué)生用字母表示奇數(shù)和偶數(shù)。一開始，學(xué)生不知從何處下手，更有學(xué)生索性既用自然數(shù)n表示偶數(shù)，又用自然數(shù)n表示奇數(shù)，顯然學(xué)生沒有掌握用字母表示奇數(shù)和偶數(shù)的規(guī)則。筆者提示學(xué)生，用字母表示奇數(shù)就是用字母概括奇數(shù)和偶數(shù)的特征。學(xué)生思考，奇數(shù)和偶數(shù)的特征是什么呢？他們從奇偶數(shù)意義展開思考，即偶數(shù)是2的倍數(shù)，奇數(shù)不是2的倍數(shù)。但這樣的思考仍然是抽象的。為此，筆者讓學(xué)生用“一一列舉法”構(gòu)建了兩個(gè)數(shù)字方陣，第一個(gè)方陣是自然數(shù)方陣，第二個(gè)方陣是偶數(shù)方陣，引導(dǎo)學(xué)生比較。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，偶數(shù)方陣中每個(gè)位置上的數(shù)恰好是自然數(shù)方陣中相對應(yīng)位置數(shù)的2倍。由此，學(xué)生在兩個(gè)方陣之間建構(gòu)起“一一映射”的對應(yīng)關(guān)系，也深刻理解了偶數(shù)意義。有學(xué)生感悟到，自然數(shù)是a，偶數(shù)就是2a，自然數(shù)是n，偶數(shù)就是2n。當(dāng)學(xué)生深刻理解了用字母、符號表征偶數(shù)的規(guī)則后，奇數(shù)符號表征也就水到渠成了。

規(guī)則教學(xué)不是教師的灌輸，而是教師的啟發(fā)，是教師引導(dǎo)學(xué)生自主、嚴(yán)密建構(gòu)。在上述教學(xué)中，從集合視角、映射視角，學(xué)生能深度理解用字母、符號表征奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)則。

3. 多向聯(lián)結(jié)，指向規(guī)則的融合

規(guī)則不是單一、靜態(tài)的，而是相互關(guān)聯(lián)、動(dòng)態(tài)的。教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)則聯(lián)結(jié)，讓上位規(guī)則統(tǒng)攝下位規(guī)則，建構(gòu)高階規(guī)則。比如，“數(shù)”的學(xué)習(xí)就能啟示“式”的學(xué)習(xí)，它們之間的規(guī)則具有相似性;又如，整數(shù)數(shù)位順序、進(jìn)率規(guī)則與小數(shù)數(shù)位順序、進(jìn)率規(guī)則就是相統(tǒng)一的，教學(xué)中就要將規(guī)則融合起來，形成數(shù)位順序規(guī)則。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則邏輯意義，探尋規(guī)則聯(lián)系，讓新規(guī)則同化舊規(guī)則。

教學(xué)《兩、三位數(shù)加減法筆算》，學(xué)生建構(gòu)了“從個(gè)位加起，滿十進(jìn)一、退一當(dāng)十”等規(guī)則。在后續(xù)學(xué)習(xí)“小數(shù)加減法”計(jì)算時(shí)，教師要將小數(shù)加減法和整數(shù)加減法的規(guī)則進(jìn)行貫通，在學(xué)習(xí)“同分母分?jǐn)?shù)相加減”“異分母分?jǐn)?shù)相加減”等的計(jì)算法則時(shí)，同樣要將前面的規(guī)則進(jìn)行融合，形成一個(gè)包攝力更大、內(nèi)涵更深的隱性的規(guī)則，即“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加或相減”。有了這樣的規(guī)則融合，就能深化學(xué)生對算理的理解，為算法建構(gòu)提供依據(jù)。

規(guī)則融合有兩個(gè)條件，一是新規(guī)則高于或平行于原規(guī)則;二是原規(guī)則中有相關(guān)內(nèi)容可供新規(guī)則融合、概括、歸納。引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)則進(jìn)行融合，連成片、結(jié)成網(wǎng)，將規(guī)則整合成“規(guī)則共同體”。如此，實(shí)現(xiàn)規(guī)則表征相互轉(zhuǎn)換，形成規(guī)則結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)。

規(guī)則反映著事物規(guī)律，反映著數(shù)學(xué)規(guī)律。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，規(guī)則有宏觀規(guī)則、中觀規(guī)則和微觀規(guī)則。依循規(guī)則，才能讓規(guī)則教學(xué)更科學(xué)、更藝術(shù)。這是一個(gè)不斷數(shù)學(xué)化的過程，也是一個(gè)充滿思辨的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生收獲的不僅是知識，更是一種研究數(shù)學(xué)的能力、一種建構(gòu)創(chuàng)造的素養(yǎng)。