宋 港，張 利，馬 蕾，洪 巖，王繼虎，白 楊，齊曉軍

（上海衛(wèi)星裝備研究所,上海 200240）

0 引言

航天器在軌運(yùn)行過程中存在眾多擾動(dòng)源，其中由飛輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)引起的動(dòng)不平衡造成的寬帶諧波擾動(dòng)是影響有效載荷成像質(zhì)量的主要擾動(dòng)源之一[1]。為減小飛輪振動(dòng)的傳遞，需進(jìn)行隔振。隔振設(shè)計(jì)中，隔振效能是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要參考指標(biāo)。傳統(tǒng)的隔振效能評(píng)價(jià)采用隔振器頂部到底部的振動(dòng)傳遞率作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，當(dāng)傳遞率＜1時(shí)，認(rèn)為隔振有效。這種評(píng)價(jià)方法基于如下假設(shè)：被隔振體是具有無限質(zhì)量的絕對(duì)剛體；不計(jì)隔振器的彈簧和阻尼的質(zhì)量。而在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)中，飛輪通過隔振支架安裝在蜂窩板上，飛輪工作時(shí)產(chǎn)生的高頻振動(dòng)使得蜂窩板的彈性模態(tài)很容易被激發(fā)，此時(shí)飛輪與蜂窩板基礎(chǔ)間構(gòu)成了復(fù)雜彈性耦合系統(tǒng)，用振動(dòng)傳遞率來評(píng)價(jià)隔振效能就會(huì)出現(xiàn)不準(zhǔn)確的結(jié)果。

隔振系統(tǒng)的功率流理論于 20世紀(jì) 80年代由Goyder和White[2]首次提出。振動(dòng)功率流方法克服了以單一傳遞率作為評(píng)價(jià)隔振效能指標(biāo)的局限，從能量傳遞的角度來闡釋振動(dòng)傳輸問題，分析系統(tǒng)的能量傳遞和分布，為研究復(fù)雜彈性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題提供了有效途徑。振動(dòng)功率流是一個(gè)綜合性能指標(biāo)，兼顧了力和速度以及它們的相位關(guān)系，包含信息豐富，可替代傳統(tǒng)隔振指標(biāo)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制性能的評(píng)價(jià)。因此，近年來振動(dòng)功率流理論已被廣泛應(yīng)用于柔性結(jié)構(gòu)的隔振設(shè)計(jì)中[3-7]。

本文將振動(dòng)功率流理論應(yīng)用于星上飛輪隔振支架的隔振效能研究，考慮隔振器的駐波效應(yīng)以及基礎(chǔ)的非剛性因素對(duì)功率流傳遞特性的影響，運(yùn)用子系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣法建立柔性基礎(chǔ)上飛輪隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)出系統(tǒng)的功率流傳遞函數(shù)表達(dá)式。以功率流傳遞率作為評(píng)價(jià)隔振效能的指標(biāo)，通過數(shù)值仿真計(jì)算分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)隔振效能的影響，為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 飛輪隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

飛輪隔振系統(tǒng)一般由飛輪、隔振支架和飛輪安裝板（蜂窩板）組成。為便于理論建模，將飛輪和隔振支架組合體看成具有規(guī)則幾何形狀的剛體，其所有內(nèi)部激勵(lì)力的作用點(diǎn)都在組合體質(zhì)心上；將隔振器簡化為具有連續(xù)分布質(zhì)量的圓筒形彈性桿；飛輪安裝板用四邊簡支矩形薄板模擬。飛輪隔振系統(tǒng)簡化模型如圖1所示。

圖1 飛輪隔振系統(tǒng)簡化模型 Fig.1 The simplified model of the flywheel vibration isolation system

飛輪隔振系統(tǒng)可分為3個(gè)子系統(tǒng)：飛輪與支架組合體子系統(tǒng)A；隔振器子系統(tǒng)B；基礎(chǔ)子系統(tǒng)C。整個(gè)系統(tǒng)關(guān)于平面yOz對(duì)稱，因此可以將系統(tǒng)的三維復(fù)雜空間模型簡化為平面問題處理。為便于分析，假設(shè)有3個(gè)同頻率的簡諧激勵(lì)力（力矩）作用于飛輪與支架組合體的質(zhì)心：y向的橫向簡諧激勵(lì)力，z向的縱向簡諧激勵(lì)力和繞x軸的傾倒力矩。用FAt、FAb分別表示子系統(tǒng)A的輸入端力與輸出端力，F(xiàn)Bt、FBb分別表示子系統(tǒng)B的輸入端力與輸出端力，與其相應(yīng)的輸入與輸出端響應(yīng)速度分別用VAt、VAb、VBt、VBb表示。子系統(tǒng)C受到的力記為FC，相應(yīng)的響應(yīng)速度記為VC。

1.1 飛輪與支架組合體子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

飛輪與支架組合體子系統(tǒng)受力分析如圖2所示。

圖2 飛輪與支架組合體受力分析 Fig.2 Force analysis of the flywheel and bracket assembly

根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論，可建立方程：

式中：mA為飛輪與支架組合體質(zhì)量；JA為組合體繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為簡諧激振力頻率；y1、y2分別為子系統(tǒng)底部受力點(diǎn)到質(zhì)心的橫向距離；z1、z2分別為子系統(tǒng)底部受力點(diǎn)到質(zhì)心的垂向距離；其他各參數(shù)參見圖2標(biāo)注。將式(1)寫成矩陣形式：

式中T1、T2為轉(zhuǎn)換矩陣。

同樣，根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

將式(3)寫成矩陣形式：

綜合式(2)、式(4)可得子系統(tǒng)A的動(dòng)力學(xué)方程

1.2 隔振器子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

實(shí)際工程中用到的隔振器為具有質(zhì)量的連續(xù)分布體，當(dāng)激勵(lì)頻率接近隔振器固有頻率時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振。此時(shí)高頻聲將以彈性波的形式在隔振器中傳播進(jìn)而產(chǎn)生駐波效應(yīng)，使得隔振器的隔振性能降低20 dB之多[8]?；谏鲜隹紤]，為真實(shí)反映隔振器特性，將航天領(lǐng)域常用的橫槽型彈簧隔振器簡化為圓筒形彈性桿模型，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析與建模，如圖3所示。

圖3 隔振器受力分析 Fig.3 Force analysis of the vibration isolator

記第n個(gè)隔振器上、下端受到的力和速度分別為：

運(yùn)用模態(tài)分析法，可以得到第n個(gè)隔振器的速度導(dǎo)納矩陣為

假設(shè)子系統(tǒng) B由兩組隔振器構(gòu)成，則隔振器子系統(tǒng)B的動(dòng)力學(xué)方程為

1.3 基礎(chǔ)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

將飛輪安裝板用四邊簡支矩形薄板來模擬，其受力分析如圖4所示。

圖4 飛輪安裝板受力分析圖Fig.4 Force analysis of the flywheel mounting plate

由薄板彎曲振動(dòng)理論，列出板的振動(dòng)微分方程

由模態(tài)理論可推得四邊簡支板在穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)方程為

式中Cij(i,j=1,2)的具體表達(dá)式參見文獻(xiàn)[10]。

2 系統(tǒng)功率流傳遞譜推導(dǎo)

各子系統(tǒng)間的傳遞力和相應(yīng)的速度關(guān)系為：

由式(11)結(jié)合式(5)、(7)和(10)，可以得到各子系統(tǒng)交界處的速度和力：。其中：。

由振動(dòng)功率流理論，可得輸入各子系統(tǒng)的功率流PA、PB、PC分別為：。其中上標(biāo)H表示矢量或矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

3 數(shù)值仿真與計(jì)算

飛輪與支架組合體質(zhì)量mA=12.7 kg，組合體繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JA=0.508 kg·m2；隔振器外徑D=0.066 m，內(nèi)徑d=0.046 m，高h(yuǎn)=0.08 m，彈性模量EB=6.5 MPa，慣性矩IB=7.12×10-7m4，損耗因子ηB=0.1；飛輪安裝板密度為ρC=2700 kg/m3，楊氏彈性模量EC=71 GPa，剪切彈性模量GC=24 GPa，阻尼損耗因子δC=0.01，安裝板尺寸2 m×1.5 m×0.015 m。計(jì)算實(shí)例中，彈性基礎(chǔ)板截取前32階模態(tài)，所截取的模態(tài)數(shù)目覆蓋了需要考察的頻率范圍，可以獲得足夠的精度。假設(shè)飛輪工作時(shí)由轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡帶來的擾動(dòng)力為y向的橫向力、z向的縱向力和繞x軸方向的傾倒力矩作用，且y、z方向的力均為幅值為1的簡諧激勵(lì)力。輸入各子系統(tǒng)的時(shí)間平均功率流單位均為dB，基準(zhǔn)功率流取為Pref=10-12W。

3.1 輸入各子系統(tǒng)的功率流特性

飛輪隔振系統(tǒng)輸入各子系統(tǒng)功率流傳遞譜如圖5所示。從圖中可以看出，輸入子系統(tǒng)A的功率流曲線PinA與輸入子系統(tǒng)B的功率流曲線PinB相重合，這是因?yàn)樽酉到y(tǒng) A為剛體，能量經(jīng)過剛體傳遞后沒有損失。PinA在15.2、23.6、24.9 Hz處出現(xiàn)3個(gè)峰值，分別對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)A的橫向、縱向和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)剛體模態(tài)。PinA在507.1 Hz處也出現(xiàn)了峰值，這是因?yàn)橥饧?lì)頻率達(dá)到了隔振器的縱波共振頻率使得隔振器產(chǎn)生駐波效應(yīng)所致。

系統(tǒng)在低頻域的隔振效果不明顯，PinA和輸入到基礎(chǔ)子系統(tǒng) C的功率流曲線基本重合在一起。隨著激勵(lì)頻率的增加，PinC的下降趨勢(shì)逐漸加快，但高頻段激起基礎(chǔ)的彈性模態(tài)使得PinC出現(xiàn)了多個(gè)峰值，這些因素都影響了整個(gè)飛輪隔振系統(tǒng)的高頻隔振能力，而采用傳統(tǒng)的振動(dòng)傳遞率來評(píng)價(jià)隔振效果時(shí)會(huì)忽略這些因素的影響，使得評(píng)價(jià)結(jié)果不準(zhǔn)確。

圖5 各子系統(tǒng)功率流傳遞譜曲線Fig.5 The power flow transmitted to each subsystem

單向激勵(lì)下傳遞到基礎(chǔ)的功率流情況如圖6所示。從圖中可以看出，在30 Hz之前的低頻段，縱向力和傾倒力矩都對(duì)傳遞到基礎(chǔ)的功率流起主導(dǎo)作用，兩者作用相當(dāng)，橫向力傳遞到基礎(chǔ)的功率流略小于前兩者。在中高頻域，傾倒力矩激勵(lì)對(duì)傳遞到基礎(chǔ)的功率流影響大于縱向力激勵(lì)和橫向力激勵(lì)的影響。因此在隔振設(shè)計(jì)中不能忽略傾倒力矩激勵(lì)的作用。

圖6 單向激勵(lì)下傳遞至基礎(chǔ)的功率流Fig.6 The power flow transmitted into the foundation with single excitation

混合激勵(lì)下傳遞到基礎(chǔ)的各功率流分量如圖7所示。從圖中可以看出：由傳遞到基礎(chǔ)的縱向力和相應(yīng)的縱向速度響應(yīng)引起的縱向功率流所占比例最大；其次為由傳遞到基礎(chǔ)的力矩和相應(yīng)的角速度響應(yīng)引起的旋轉(zhuǎn)功率流；由傳遞到基礎(chǔ)的橫向力和相應(yīng)的橫向速度響應(yīng)引起的橫向功率流所占比例最小。由于傳遞到基礎(chǔ)的縱向力直接引起基礎(chǔ)的橫向振動(dòng)，此時(shí)基礎(chǔ)的振動(dòng)以彎曲波形式傳播，這也說明了彎曲波在彈性基礎(chǔ)的能量傳播中占主導(dǎo)地位。

圖7 混合激勵(lì)下傳遞至基礎(chǔ)的功率流分量Fig.7 The power flow component transmitted into the foundation with combined excitation

3.2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)隔振性能的影響

為了更加直觀地衡量飛輪隔振系統(tǒng)的隔振效果，采用功率流傳遞率γ作為定量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。該評(píng)價(jià)指標(biāo)定義為輸入子系統(tǒng)A（飛輪與支架組合體）和輸入子系統(tǒng)C（基礎(chǔ)）的功率流對(duì)數(shù)之比，其形式為

當(dāng)γ＜0時(shí)，表明系統(tǒng)隔振作用有效。

圖8為飛輪與支架組合體質(zhì)量改變時(shí)，系統(tǒng)功率流傳遞率的變化情況。從圖中可以看出，增大組合體質(zhì)量使得系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)模態(tài)向低頻域偏移，功率流傳遞率曲線在中、高頻域無明顯變化。

圖8 飛輪與支架組合體的質(zhì)量對(duì)隔振性能影響Fig.8 The effect of the mass of flywheel and bracket assembly on vibration isolation performance

隔振器彈性模量、阻尼系數(shù)對(duì)功率流傳遞率的影響分別如圖 9、圖 10所示。減小隔振器彈性模量（相當(dāng)于減小隔振器剛度），系統(tǒng)功率流傳遞率相應(yīng)降低，隨之系統(tǒng)的剛體模態(tài)頻率向前偏移，對(duì)系統(tǒng)隔振有利，但同時(shí)也要考慮隔振器剛度對(duì)系統(tǒng)側(cè)向穩(wěn)定性的影響。隔振器阻尼系數(shù)的增大會(huì)使功率流傳遞曲線整體降低，但不改變功率流傳遞曲線的峰值頻率。

基礎(chǔ)厚度對(duì)隔振性能的影響如圖11所示。從圖中可以看出，增加基礎(chǔ)厚度相當(dāng)于增大基礎(chǔ)抗彎強(qiáng)度，使得基礎(chǔ)的固有頻率也相應(yīng)增加，基礎(chǔ)共振峰值點(diǎn)整體向高頻域偏移?？傮w來說，增加基礎(chǔ)厚度可以降低傳遞到基礎(chǔ)的功率流。圖12所示為基礎(chǔ)阻尼系數(shù)對(duì)隔振性能的影響，基礎(chǔ)阻尼系數(shù)越小，功率流傳遞率相應(yīng)減小，隔振效果越好，但共振頻率處的峰值會(huì)變大。為了降低系統(tǒng)通過共振區(qū)時(shí)的峰值，必須選擇適當(dāng)?shù)淖枘帷?/p>

圖9 隔振器剛度對(duì)隔振性能的影響Fig.9 The effect of isolator stiffness on vibration isolation performance

圖10 隔振器阻尼系數(shù)對(duì)隔振性能的影響Fig.10 The effect of isolator damping coefficient on vibration isolation performance

圖11 基礎(chǔ)厚度對(duì)隔振性能的影響Fig.11 The effect of the plate thickness on vibration isolation performance

圖12 基礎(chǔ)阻尼系數(shù)對(duì)隔振性能的影響Fig.12 The effect of the plate damping coefficient on vibration isolation performance

4 結(jié)論

1）飛輪隔振系統(tǒng)在低頻域的隔振效果一般，此時(shí)系統(tǒng)主要以飛輪與支架組合體的剛體運(yùn)動(dòng)模態(tài)為主。在中、高頻域，傳遞到基礎(chǔ)的功率流明顯降低，但由于受到隔振器駐波效應(yīng)及基礎(chǔ)的彈性模態(tài)等因素影響，使得在高頻域內(nèi)輸入基礎(chǔ)的功率流下降趨勢(shì)變緩，隔振效果受到一定的影響。

2）在低頻域，縱向力激勵(lì)和傾倒力矩激勵(lì)都對(duì)傳遞到基礎(chǔ)的功率流起主導(dǎo)作用，兩者作用相當(dāng)；在中、高頻域，傾倒力矩激勵(lì)對(duì)傳遞到基礎(chǔ)的功率流影響大于縱向力激勵(lì)和橫向力激勵(lì)的。傳遞到基礎(chǔ)的功率流各分量中，以傳遞到基礎(chǔ)的縱向力和相應(yīng)的縱向速度響應(yīng)所引起的縱向功率流最大。

3）減小隔振器剛度或增加隔振器阻尼，均可以減小系統(tǒng)的功率流傳遞率，對(duì)系統(tǒng)隔振有利。增加基礎(chǔ)厚度可以使基礎(chǔ)的彈性共振模態(tài)推遲發(fā)生，同時(shí)也降低了系統(tǒng)的功率流傳遞率；增大基礎(chǔ)阻尼使得功率流傳遞率峰值減小，但在峰值以外功率流變大，對(duì)系統(tǒng)隔振不利。

（References）

[1]董瑤海.航天器微振動(dòng)——理論與實(shí)踐[M].北京:中國宇航出版社,2015: 30-39

[2]GOYDER H G,WHITE R G.Vibration power flow from machines into built-up structures: Part I Introduction and approximate analyses of beam and plate-like foundations[J].Journal of Sound and Vibration,1980,68(1): 59-75

[3]CHOI W J,XIONG Y P,SHENOI RA.Power flow analysis for a floating sandwich raft isolation system using a higher-order theory[J].Journal of Sound and Vibration,2009,319(1): 228-246

[4]承穎瑤,陳龍祥,蔡國平.柔性被動(dòng)隔振系統(tǒng)的功率流傳遞特性研究[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2009,7(4):368-374 CHENG Y Y,CHEN L X,CAI G P.Power transmission characteristics of flexible passive isolating system[J].Journal of Dynamics and Control,2009,7(4): 368-374

[5]牛軍川,宋孔杰.多激勵(lì)多支承全柔性隔振系統(tǒng)的傳遞特性分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2011,47(7): 59-64 NIU J C,SONG K J.Transimission characteristics of fully flexible isolation systems subjected to multi-excitations and supported by multi-mounts[J].Journal of Mechanical Engineering,2011,47(7): 59-64

[6]樓京俊,李超博,夏江敏,等.柔性隔振系統(tǒng)功率流傳遞特性研究[J].船舶工程,2016,38(7): 31-34 LOU J J,LI C B,XIA J M,et al.Research on power flow transmission characteristics of flexible isolation system[J].Ship Engineering,2016,38(7): 31-34

[7]肖和業(yè),盛美萍,任杰安.梁板耦合建模中連接負(fù)載對(duì)系統(tǒng)功率流特性影響研究[J].工程力學(xué),2012,29(7): 6-11 XIAO H Y,SHENG M P,REN J A.Study of effects of connecting load on character of power flow among coupled system in beam-plate coupled system modeling[J].Engineering Mechanics,2012,29(7): 6-11

[8]熊冶平,宋孔杰.柔性隔振系統(tǒng)中駐波效應(yīng)的研究[J].山東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1995,25(2): 108-113 XIONG Y P,SONG K J.Research of the wave effects in flexible isolation system[J].Journal of Shandong University of Technology,1995,25(2): 108-113

[9]孫玲玲,宋孔杰.復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)多維耦合振動(dòng)傳遞矩陣分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2005,41(4): 38-43 SUN L L,SONG K J.Transmission matrix method for multi-dimensional vibration analysis of complex mechanical systems[J]. Journal of Mechanical Engineering,2005,41(4): 38-43

[10]GARDONIO P,ELLIOTT S J, PINNINGTON R J.Active isolation of structural vibration on a multi-degree-of-freedom system: Part I The dynamic of the system[J].Journal of Sound and Vibration,1997,207(1): 61-93