鄧衛(wèi)華，楊新峰，李艷輝，張玉梅

（航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094）

0 引言

試驗(yàn)推力是振動(dòng)試驗(yàn)設(shè)備的核心指標(biāo)之一，足夠的推力是振動(dòng)試驗(yàn)順利開展的基本條件，因此試驗(yàn)前對(duì)振動(dòng)推力進(jìn)行估算是必要的。文獻(xiàn)[1]使用有限元建模分析的方法對(duì)某航天器振動(dòng)試驗(yàn)推力進(jìn)行估算，試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果表明該方法對(duì)航天器正弦振動(dòng)試驗(yàn)的估算誤差為10%，能較好滿足工程需要，但對(duì)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的估算偏差較大。足夠的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)能為推力估算提供幫助，但當(dāng)新型號(hào)的航天器構(gòu)型、質(zhì)量等差異較大時(shí)，無法采用相似性類比的純經(jīng)驗(yàn)方法，因此需要尋求更科學(xué)、準(zhǔn)確的估算方法。

準(zhǔn)確計(jì)算航天器隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)推力的主要困難在于結(jié)構(gòu)在寬頻隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下通常會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)載荷，其值理論上是由從低頻到高頻的全頻段所有振動(dòng)貢獻(xiàn)的綜合。針對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)推力計(jì)算的研究一般都把推力計(jì)算轉(zhuǎn)化為隨機(jī)振動(dòng)載荷識(shí)別問題。早在1954年，Miles就針對(duì)單自由度系統(tǒng)給出了白噪聲激勵(lì)下隨機(jī)振動(dòng)載荷近似等效為靜態(tài)載荷的關(guān)系式，即著名的Miles公式[2]。但這種方法對(duì)于多模態(tài)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)是不適用的，于是有人在此基礎(chǔ)上提出了模態(tài)質(zhì)量參與法[3]，考慮到多自由度系統(tǒng)各模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)受載的貢獻(xiàn)不同，在原公式中引入模態(tài)有效質(zhì)量比作為權(quán)重系數(shù)。該方法概念清晰，簡(jiǎn)單易用，但在航天器上應(yīng)用時(shí)需先解決2個(gè)問題：參與模態(tài)截止頻率和非白噪聲譜隨機(jī)振動(dòng)條件影響。前者決定了結(jié)構(gòu)模態(tài)參與數(shù)量引起的誤差，有研究基于應(yīng)變等效的原則發(fā)現(xiàn)了應(yīng)變的均方根值在頻率遠(yuǎn)小于2000 Hz處就開始收斂，更有研究表明截止頻率可取為400 Hz[4]。后者決定了試驗(yàn)輸入量級(jí)引入的誤差，但相關(guān)研究較少，往往被忽略不計(jì)。因此就航天器隨機(jī)振動(dòng)推力計(jì)算而言，采用當(dāng)前的模態(tài)參與法仍會(huì)有較大誤差。

本文基于模態(tài)參與的思想，針對(duì)截止頻率和非均勻譜隨機(jī)振動(dòng)條件這2個(gè)主要誤差因素，結(jié)合航天器隨機(jī)振動(dòng)的特征，對(duì)模態(tài)參與法進(jìn)行改進(jìn)和算法簡(jiǎn)化，并通過型號(hào)試驗(yàn)驗(yàn)證其可行性。

1 航天器隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)基本特征

1.1 振動(dòng)試驗(yàn)推力的構(gòu)成

航天器振動(dòng)試驗(yàn)一般在電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行，振動(dòng)臺(tái)提供的推力Ft實(shí)際上需要支撐航天器、振動(dòng)臺(tái)運(yùn)動(dòng)組件（見圖1）以及連接兩者的夾具（見圖2）3部分質(zhì)量（mitem/mtable/mfix）的振動(dòng)（Aitem/Atable/Afix），即

圖1 電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)臺(tái)體結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Sketch of the shaker structure

圖2 航天器常用振動(dòng)試驗(yàn)夾具Fig.2 The spacecraft vibration test fixture

根據(jù)電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)工作原理可知，其提供的推力Ft由激勵(lì)電磁場(chǎng)強(qiáng)度B、驅(qū)動(dòng)電圈電流I及其在磁場(chǎng)中的有效長(zhǎng)度L決定[5]，即

對(duì)于某特定的振動(dòng)臺(tái)，B、L可視為常量，因此可由驅(qū)動(dòng)電流I推算出振動(dòng)推力Ft。工程上也常以監(jiān)測(cè)驅(qū)動(dòng)電流的變化來獲得當(dāng)時(shí)的振動(dòng)臺(tái)推力。

另外，工程實(shí)踐也表明航天器振動(dòng)試驗(yàn)推力根據(jù)振動(dòng)方向的不同而有很大差異，一般可分為縱向振動(dòng)與水平振動(dòng)2種狀態(tài)（見圖3）或按3個(gè)軸向分別計(jì)算。

圖3 航天器振動(dòng)試驗(yàn)狀態(tài)示意Fig.3 The spacecraft vibration test

1.2 航天器隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)條件

試驗(yàn)推力的本質(zhì)是要使航天器振動(dòng)環(huán)境滿足試驗(yàn)條件，因此Aitem/Atable/Afix都應(yīng)與試驗(yàn)條件有關(guān)。航天器的試驗(yàn)條件譜線通常在全頻段是不均勻的，而且需要在試驗(yàn)過程中根據(jù)航天器結(jié)構(gòu)承受的振動(dòng)載荷對(duì)原始試驗(yàn)條件進(jìn)行下凹和響應(yīng)限幅調(diào)整。試驗(yàn)推力的計(jì)算與試驗(yàn)條件相對(duì)應(yīng)。圖4給出了航天器典型隨機(jī)振動(dòng)的驗(yàn)收級(jí)條件曲線，縱向和橫向振動(dòng)的試驗(yàn)量級(jí)總均方根值分別為5.65grms和4.97grms。

圖4 航天器典型隨機(jī)振動(dòng)驗(yàn)收級(jí)條件曲線Fig.4 The typical spacecraft random vibration test condition curves

1.3 航天器振動(dòng)試驗(yàn)動(dòng)態(tài)特性

工程實(shí)踐表明，相同的試驗(yàn)條件下，質(zhì)量較小的航天器隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)所需推力有時(shí)比質(zhì)量較大航天器的更大。這與航天器各自獨(dú)特而復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性有關(guān)。因此計(jì)算航天器隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)推力（關(guān)鍵是Aitem/Atable/Afix）必須考慮航天器自身的動(dòng)態(tài)特性。這種特性與試驗(yàn)狀態(tài)有關(guān)，不同方向也有明顯差異。結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性通常用頻率特性（或頻率響應(yīng)函數(shù)）H(f)來表示，對(duì)于單自由度阻尼系統(tǒng)[6]，

其中：f為激勵(lì)頻率；fn為系統(tǒng)固有頻率；ξ為模態(tài)阻尼比。

對(duì)于類航天器等復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，振動(dòng)動(dòng)態(tài)特性是多模態(tài)綜合的結(jié)果，如何盡量準(zhǔn)確地獲得隨機(jī)振動(dòng)動(dòng)態(tài)特性是決定試驗(yàn)推力計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。

2 模態(tài)參與法的改進(jìn)與簡(jiǎn)化

2.1 模態(tài)參與法

模態(tài)參與法計(jì)算航天器隨機(jī)振動(dòng)載荷A的公式為

其中：Qi、fni、Meffi分別表示航天器第i階模態(tài)的放大因子、固有頻率、模態(tài)有效質(zhì)量比；Sni表示隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)條件譜在頻率fni處的功率譜密度值。

模態(tài)參與法的計(jì)算過程為[7]：

1）用有限元法計(jì)算結(jié)構(gòu)在截止頻率內(nèi)的各階模態(tài)，以及對(duì)應(yīng)的模態(tài)有效質(zhì)量比Meffi；

2）從規(guī)定的試驗(yàn)條件加速度功率譜密度曲線中查出各階固有頻率對(duì)應(yīng)的Sni；

3）確定各模態(tài)的放大因子，Qi=1/(2ξ)；

4）將以上數(shù)值代入公式(4)進(jìn)行計(jì)算。

2.2 截止頻率選取

綜合分析多顆 500～1000 kg小衛(wèi)星的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在其結(jié)構(gòu)底部的應(yīng)變測(cè)量值均方根，無論縱向或橫向，一般在200 Hz以內(nèi)就能達(dá)到全頻段（20～2000 Hz）總均方根值的 95%以上；300 Hz處能達(dá)到99%（如圖5所示）。這比NASA提出的截止頻率[4]更低，從工程經(jīng)驗(yàn)上可以認(rèn)為截止頻率一般不超過整星主要固有頻率的2倍。

圖5 某航天器結(jié)構(gòu)底部隨機(jī)振動(dòng)應(yīng)變測(cè)量功率譜密度曲線Fig.5 Strain PSD curves in random vibration test at the bottom of spacecraft structure

2.3 改進(jìn)的隨機(jī)振動(dòng)載荷計(jì)算方法

模態(tài)參與法只考慮了隨機(jī)振動(dòng)條件在固有頻率處對(duì)模態(tài)的影響，而忽略了非固有頻率處對(duì)模態(tài)的影響。改進(jìn)方法的隨機(jī)振動(dòng)載荷計(jì)算公式為

其中：S(f)為試驗(yàn)條件的功率譜密度函數(shù)；Hi(f)通過式(3)計(jì)算得到；f0、fe分別為計(jì)算的起始和截止頻率。

相對(duì)于模態(tài)參與法，改進(jìn)方法只需要將2.1節(jié)計(jì)算過程中第4）步的計(jì)算公式由式(4)換為式(5)即可。

2.4 改進(jìn)法的工程經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)化

在工程中，作為試驗(yàn)條件的S(f)是一個(gè)分段的非均勻數(shù)列。根據(jù)Hi(f)的曲線特征（如圖6所示），可以針對(duì)任意模態(tài)固有頻率fni，將Hi(f)劃分為 3個(gè)頻段（即共振段、共振前段和共振后段）進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

圖6 單自由度阻尼系統(tǒng)頻率特性曲線Fig.6 Frequency response characteristic curves of single DOF system

因此針對(duì)某個(gè)模態(tài)，其隨機(jī)振動(dòng)載荷貢獻(xiàn)的算法可表示為

其中Ap、An、Aa分別表示共振前段、共振段和共振后段的加速度載荷。

Ap描述的是f＜fn頻段。此時(shí)可以忽略模態(tài)阻尼的作用，由式(5)推得

并可取計(jì)算頻率范圍為f0～0.92fn。

An描述的是f≈fn頻段。該頻段的加速度載荷值很大程度上取決于放大因子Q和計(jì)算帶寬Δf。可依工程經(jīng)驗(yàn)取Δf=0.16fn，在阻尼比較小的情況下可采用三角面積方法得到An的計(jì)算公式，

Aa描述的是f＞fn頻段。此時(shí)也可以忽略模態(tài)阻尼的作用，得到

并可取計(jì)算頻率范圍為1.08fn～2fn或1.08fn～整星隨機(jī)振動(dòng)載荷截止頻率。

2.5 改進(jìn)法及其簡(jiǎn)化法的驗(yàn)證

首先針對(duì)單自由度系統(tǒng)，以100、200、300、400、500 Hz共5個(gè)不同主頻率，分別在0.04g2/Hz均勻輸入加速度譜（白噪聲）振動(dòng)條件為例，將采用改進(jìn)法及其簡(jiǎn)化法（即三頻段）計(jì)算得到的結(jié)果與采用模態(tài)參與法（即采用Miles公式）計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行比較（見表 1）。其中：三頻段計(jì)算公式中頻率最低取為1 Hz，最高為2000 Hz，放大因子Q=10；相對(duì)偏差是指各方法計(jì)算結(jié)果與模態(tài)參與法計(jì)算結(jié)果比較后的偏差。由表1可以看到：改進(jìn)法與模態(tài)參與法的計(jì)算結(jié)果吻合；簡(jiǎn)化法與模態(tài)參與法的計(jì)算結(jié)果接近，偏差小于5%?？梢姡眠@2種方法估算單自由度（或單一主模態(tài)結(jié)構(gòu)）系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)加速度載荷是有效的。

表1 改進(jìn)法及其簡(jiǎn)化法與模態(tài)參與法對(duì)單自由度系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparisons between the improvement method and the Miles method for single DOF system

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，以文獻(xiàn)[8]中的三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)為例，系統(tǒng)的3個(gè)質(zhì)量為m1=200 kg、m2=250 kg、m3=300 kg，3個(gè)彈簧剛度為k1=108 N/m、k2=2×108 N/m、k3=3×108 N/m。此系統(tǒng)受寬頻帶均勻基礎(chǔ)激勵(lì)，激勵(lì)加速度譜S=0.01g2/Hz，放大因子Q=10。進(jìn)行多模態(tài)分析，得到三階模態(tài)頻率分別為fn1=69.6 Hz、fn2=153.8 Hz、fn3=238.3 Hz，三階模態(tài)質(zhì)量比分別為Meff1=0.803、Meff2=0.149、Meff3=0.048，系統(tǒng)加速度載荷力為20 377 N。利用前述 3種方法進(jìn)行計(jì)算，得到加速度載荷分別為2.770g（改進(jìn)法）、2.686g（簡(jiǎn)化法）和2.778g（模態(tài)參與法），載荷力為加速度載荷與總質(zhì)量750 kg的乘積（結(jié)果如表2所示）。相對(duì)于文獻(xiàn)中結(jié)果，各方法的計(jì)算偏差均小于5%，其中改進(jìn)法的偏差最?。ㄐ∮?.1%）。這驗(yàn)證了改進(jìn)法及其簡(jiǎn)化的三頻段方法計(jì)算多模態(tài)結(jié)構(gòu)加速度載荷的可行性。

表2 改進(jìn)法及其簡(jiǎn)化法與模態(tài)參與法對(duì)多自由度系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparisons between the improvement method and the Miles method for multi-DOFs system

3 工程應(yīng)用實(shí)例

某航天器總質(zhì)量mitem=1050 kg，縱向隨機(jī)振動(dòng)條件如圖 7所示，試驗(yàn)量級(jí)的總均方根值為7.36grms。按照公式(1)，推力由航天器、臺(tái)體活動(dòng)部件以及夾具3部分構(gòu)成（即Fitem/Ftable/Ffix）。由于是非白噪聲激勵(lì)，不能采用模態(tài)參與法計(jì)算Fitem，所以采用改進(jìn)法：首先分析得到縱向前二階固有頻率為fn1=72.5 Hz、fn2=81.3 Hz，前二階模態(tài)質(zhì)量比為Meff1=31.52%、Meff2=37.59%，其他模態(tài)質(zhì)量比很低，可以忽略；再利用三頻段簡(jiǎn)化方法得到等效加速度為2.720 1g，則單獨(dú)衛(wèi)星的縱向隨機(jī)振動(dòng)所需推力約為2 856.1 kgf。（本節(jié)為方便計(jì)算，采用kgf作為推力單位，1 kgf=9.807 N）?？v向振動(dòng)時(shí)，臺(tái)體和夾具可視為剛體運(yùn)動(dòng)，故輸入均方根加速度都為 7.36g；而臺(tái)體與夾具的質(zhì)量分別為mtable=149 kg、mfix=205 kg，則縱向臺(tái)體與夾具需要的推力為(149+205)×7.36=2 605.4 kgf。因此，航天器縱向振動(dòng)所需的總推力為5 461.5 kgf。試驗(yàn)中根據(jù)振動(dòng)臺(tái)驅(qū)動(dòng)電圈電流I獲得的推力為5 605.2 kgf，說明估算的推力與實(shí)際推力非常接近。

橫向隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，試驗(yàn)條件如圖8所示，試驗(yàn)量級(jí)的總均方根值為 6.53grms。該狀態(tài)下，衛(wèi)星與夾具作為一體按彈性體考慮。分析得到主要模態(tài)：一階頻率 22 Hz，模態(tài)質(zhì)量比 58.8%；二階頻率85 Hz，模態(tài)質(zhì)量比 19.5%；忽略其他模態(tài)。計(jì)算得到等效加速度為1.493 7g，衛(wèi)星與夾具一體的質(zhì)量為1250 kg，因此組合體橫向隨機(jī)振動(dòng)所需的推力約為1867 kgf。臺(tái)體活動(dòng)部分在橫向振動(dòng)時(shí)增加了水平滑臺(tái)等部件，總質(zhì)量增加到614 kg，臺(tái)體可按剛體運(yùn)動(dòng)，按輸入均方根加速度計(jì)算，臺(tái)體需要的推力為614×5.6=3438 kgf。因此，航天器橫向（y向）振動(dòng)所需的總推力為1867+3438=5305 kgf。試驗(yàn)中根據(jù)振動(dòng)臺(tái)驅(qū)動(dòng)電圈電流I獲得的推力為4989 kgf，也與計(jì)算結(jié)果接近。

圖7 某航天器縱向隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)條件曲線Fig.7 The vertical random vibration test condition curve for a spacecraft

圖8 某航天器橫向隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)條件Fig.8 The horizontal random vibration test condition curve for a spacecraft

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了對(duì)模態(tài)參與法的改進(jìn)方法，經(jīng)驗(yàn)證可以用來更準(zhǔn)確地計(jì)算非白噪聲激勵(lì)的隨機(jī)振動(dòng)載荷，其工程簡(jiǎn)化方法在實(shí)踐中體現(xiàn)了簡(jiǎn)單易用的特點(diǎn)。使用改進(jìn)方法可以在航天器隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)實(shí)施前就展開試驗(yàn)推力的估算，評(píng)估振動(dòng)試驗(yàn)設(shè)備能否滿足試驗(yàn)需要。在工程中，還可以在總結(jié)經(jīng)驗(yàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡(jiǎn)化使用三頻段法，快速獲得滿足工程需求的評(píng)估結(jié)果。

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