江蘇無錫市格致中學

陳 鋒 (郵編：214125)

江蘇無錫市東絳實驗學校

薛 鶯 (郵編：214125)

1 背景

動點運動的最值問題是近幾年中考的熱點和難點之一，這類中考試題多如牛毛，如果只是一味地見題做題，不對試題的本質(zhì)進行研究和歸納整理，進而形成通性通法，則容易形成題海戰(zhàn)術(shù)，不利于發(fā)展學生的數(shù)學思維.筆者在研究近幾年的中考真題和模擬卷中，發(fā)現(xiàn)這類試題形式看似千變?nèi)f化.但解題的本質(zhì)是一樣的，他們有著相同的本源，即“題根”，本文就是通過探究一個圓的最值問題的求解，來說明這個“題根”的精彩應用與拓展.

2 題根

2.1 問題

圖1

(蘇課版九年級上冊教科書補充習題)如圖1，P是⊙O外的一定點，試探求點P與圓上點的最小距離與最大距離.

2.2 解析

這個問題的本源是兩點之間的距離，其中，一個點是圓外的一個定點，另一個點是圓上的動點.從變與不變的哲學辯證關(guān)系入手，我們發(fā)現(xiàn)，這里有兩個定點，分別是點P點O，無論這個動點在圓上如何運動，這兩個點的位置始終是不變的，再從特殊與一般的辯證關(guān)系出發(fā)，我們能自然生成作直線PO，如圖2，直線PO與⊙O交于M、N兩點，那么M、N兩點是否就是我們所需要找的特殊點？我們需要進一步思考.

圖2

如圖2，在⊙O上任取一點A，連接OA、AP，易得：AO+AP≥OP(當O、A、P三點共線時，取等號)，所以AP≥OP-OA，所以AP的最小值=OP—OA=OP—OM=PM，即如果點P與⊙O上的所有點都連接起來，那么，PM的長是所有這些線段長度中的最小值.

因為OP+OA≥AP(當O、A、P三點共線時，取等號)，所以AP的最大值=OP+OA=OP+ON=PN，即如果點P與⊙O上的所有點都連接起來，那么PN的長是所有這些線段長度中的最大值.

綜上所述，如圖2所示，P是⊙O外的一定點，直線PO與⊙O交于兩點M、N，其中PM的長度是點P與圓上各點間的最小距離，PN的長度是點P與圓上各點間的最大距離.

3 演繹

可以發(fā)現(xiàn)，求這類線段長的最值問題，要將題根的解法運用進去，這條線段的兩個端點，必然一個是定點，另一個在一個定圓上運動，基于對題根的理解，我們明確解題的方向：尋找是否有線段的另外一個端點在圓上運動.

3.1 應用1——圖中有圓見動點，利用條件直接運用題根

圖3

例1(2014年三明市中考題)如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D、P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是______.

圖4

點評對于同類求線段最值的問題，如果線段的兩個端點，一個點是圓外的定點，另一個點是圓上的一個動點，那么，我們可以直接運用題根進行分析和解答.

3.2 應用2——圖中無圓思構(gòu)造，創(chuàng)建隱圓間接運用題根

例2(2016年無錫市區(qū)中考二模)如圖4，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為( )

圖5

解析點A為定點，所以關(guān)鍵在于確定點H的運動軌跡，由CH⊥AD，得∠CHB=90°，可知點H是在以BC為直徑的圓上運動.如圖5， 以BC為直徑作⊙O，由題意可得，點H的運動軌跡是⊙O在△ABC內(nèi)部的部分.

圖6

圖7

例3(2013年武漢市中考題)如圖6，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是__________.

圖8

例4(2014年南京市中考模擬題)如圖8，在平面直角坐標系xOy中，已知正三角形ABC的邊長為2，點A從點O開始沿x軸的正方向移動，點B在∠xOy的平分線上移動，則點C到原點O的最大距離是______.

圖9

解析運用動靜互化的辯證方法，我們可以把△ABC看作是靜止的，那么，相對而言，則O點為動點，因為∠AOB=45°，其中點A、B為定點，點O為動點，如圖9所示，

由隱形圓的知識，我們可以構(gòu)造一個⊙S，其中，圓心S與點C在AB的異側(cè)，∠ASB=90°，

圖10

點評例題2、 3、4，都還是一定點，一動點的情況.通過挖掘隱含條件，我們可以發(fā)現(xiàn)動點其實還是在一個圓上運動，這種在題目和圖形中沒有直接出現(xiàn)的圓，我們通常把它稱為隱形圓或隱圓，挖掘出隱形圓，從而將問題轉(zhuǎn)化為題根進行求解.因為題中并沒有直接出現(xiàn)動點在圓上這一條件，所以我們要明晰對“隱圓”的識別：如圖10，在△ABC中，定線段AB的長度與∠ACB的大小均為定值，且點C是動點，則點C在△ABC的外接圓⊙O的如圖所示的一段弧上運動(點A、B除外).如果沒有特別限制，我們要考慮如圖10的兩種情況.

3.3 應用3——對題根應用的進一步推廣

圖11

我們不妨進一步思考，是否可以把題根進行推廣：如圖11，P是⊙O內(nèi)的一定點，試探求點P與圓上點的最小距離與最大距離.

圖12

圖13

由對題根的解法我們易得，如圖12所示，直線PO與⊙O交于兩點A、B，其中，線段PA的長度是點P與⊙O各點距離的最小值，線段PB的長度是點P與⊙O各點距離的最大值.

圖14

例5(2015江陰市初三第一學期期末)如圖13，已知△ABC的外心為O，BC=10，∠BAC=60°，分別以AB、AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE、CD交于點P.

(1)判斷DC與BE的關(guān)系；

(2)求OP的最小值.

圖15

圖16

圖17

例6(2012年浙江義烏中考題)在銳角△ABC中,AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.

(1)如圖15，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

(2)如圖16，連結(jié)AA1、CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

(3)如圖17，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

圖18

點評我們對題根進行推廣之后，題根中的定點，可以是平面內(nèi)的任何一點，題根適合的范圍進行了擴大，解題的主要重點放在動點的確定上，確定動點是否在一個圓上是解題的重點.這個圓可以是已知圓，也可以是隱圓，這對隱圓，我們結(jié)合隱圓的判定方式即可.

4 對題根應用的進一步思考

題根在解題時的運用，并不是依樣畫葫蘆的套用，還是要在理解題根的基礎上，再對問題展開分析，只有最后適合題根應用的時候，才能進行運用.

圖19

圖20

例7(2016年啟東市一模)如圖19，正方形ABCD中，AB=2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為__________.

圖21

點評思維是靈活的，解題時我們不能局限在一題、一法之中.解一題，得一法，通一片，固然是我們所期待的思維增長的境界，我們其實更希望有更多的“通一片”的產(chǎn)生，從而構(gòu)造出一個全面的思維觀.

5 思考收獲

數(shù)學新課程標準對原來的初中教學要求進行了重新修訂，對原有的教學知識點進行了刪減，而進一步強化了對學生能力的要求.使得各地的數(shù)學中考試題的設計已經(jīng)突破了書本知識結(jié)論直接運用的簡單模式，而是立足教材，對教材例題的典型題根進行不斷變化、挖掘和拓展，讓試題朝著考查學生的知識轉(zhuǎn)化和能力運用的角度發(fā)展，因此對典型題根的研究不僅成為了中考命題的一個熱點，也成為教師平時教學的一個方向.這就要求教師以題根這一隱性資源為突破，引導學生進行有效的觀察、實驗、猜想、歸納、類比等思維活動，不斷探尋題根的內(nèi)涵與外延，力求理順問題的來龍去脈.這對于激發(fā)學生探索精神、求異創(chuàng)新思維等都有積極的意義.同時，這對教師也提出了更高的要求，首先，平時在接觸了大量的數(shù)學題之后，如果數(shù)學教師能對題目中的條件進行分析，做好典型題根的分析和整理，明確題目題根的出處，了解出題者的考查意圖，去發(fā)現(xiàn)當去除掉題目的背景干擾后隱藏的解決問題的數(shù)學本質(zhì)，因此，加強對題根的學習和運用，對于數(shù)學解題，也將是一筆巨大的財富.其次，教學過程中教師注重對典型問題的發(fā)生、發(fā)散、發(fā)展過程的挖掘，明確問題的來龍去脈，尋求問題的解決方法，探究結(jié)論推廣的可能，是非常重要和必要的.

學習數(shù)學離不開解題，解題是掌握數(shù)學、學會數(shù)學的基本途徑，而從手頭的第一手資料題根出發(fā)，反思題根的解題的思路、解題的方法、解題的過程對培養(yǎng)學生數(shù)學的思維顯得尤為重要，這樣做對于對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，也是大有幫助的.只有這樣，才能使更多的充滿數(shù)學味道的鮮活問題為提升學生的數(shù)學素養(yǎng)服務.

1 陳鋒,薛鶯.對初三“圓的復習課”的幾點感悟[J] .中學數(shù)學(初中版)，2013(5):17-19

2 陳鋒,薛鶯.多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構(gòu)[J].中學數(shù)學(初中版)，2013(9):76-78

3 陳鋒,薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學有效教學[J].中學數(shù)學教學參考(初中版)，2013(4)