江蘇省如皋中學(xué)高一(1) 班

孫心怡 (郵編：638400)

江蘇高考對數(shù)學(xué)能力的考查主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理這幾方面的能力.其中運算能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計或近似計算.

一道直線與橢圓的試題，老師給出了參考答案供我們學(xué)習(xí)，布置各小組從參考答案出發(fā)研究計算的方法.有沒有其他簡單的運算途徑？如何簡化？激發(fā)了我們小組思考、探究的熱情.多角度思考，層層深入，鉆研的過程，讓我們經(jīng)歷了一次又一次思維的洗禮.鞏固了知識，熟悉了方法，有煩惱更有收獲.對江蘇高考運算能力的考查要求有了切身的體會與理解.回味過程，其樂無窮，特此饗志趣相投者.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若△ABC是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程.

1 學(xué)習(xí)總結(jié) 把握本質(zhì) 力求變化

通覽參考答案，其實第(2)小題就是解方程組

①

②

采用代入消元的方法，由于①式是關(guān)于y0的二次方程，②式是關(guān)于y0的一次方程，所以參考答案從②式中解出y0，再代入①式.

上述兩個方程均比較復(fù)雜，因此在運算時要注意觀察式子的特點，尋找合理的運算方向，切不可亂化，從而掩蓋式子的特征.

2 不同路徑 出現(xiàn)增解 等價相助

通過對解題過程的反復(fù)確認，上述解題過程無誤，為什么會出現(xiàn)增解？如何取舍？為什么代入方程①就不會出現(xiàn)，代入方程②就出現(xiàn)麻煩，兩者的區(qū)別究竟在哪里？

小組成員一時陷入了沉思，或重新運算，或回憶做過的一些試題，或查找資料，都想首先發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)，大家都在挖空腦力地思考.

回憶慢慢襲來，老師曾經(jīng)說過，如果在推導(dǎo)的過程中出現(xiàn)了不等價的現(xiàn)象，就會出現(xiàn)增解，而這樣的問題從前向后去查找根本找不出，應(yīng)該從后向前來思考.一石激起千層浪，大家茅塞頓開，興奮得手舞足蹈.

要滿足題意，必須同時滿足

①

②

而代入①式就是解方程組

只要將第二個方程代入第一個方程就可以推導(dǎo)到前面的兩個方程，因此這兩個方程組之間是等價的.不會出現(xiàn)增解.

3 反思過程 尋求突破 簡化運算

上述運算較為繁瑣，方程組也較為復(fù)雜，有沒有更簡捷的運算途徑.條件還有其他的使用方法嗎？點B的坐標能求，一定要求嗎？帶著這些疑問小組內(nèi)進行了分工突破，再合作交流，分享智慧的成果.

突破一等腰直角三角形這個條件可不可以通過變形使用或等價使用，達到計算思路更明確，最終簡化運算的目的.

當k=0時，此時B(2,0)，AB的中垂線為y軸，在y軸上一定存在點C，使得△ABC是以點C為直角頂點的等腰直角三角形.

上述等價使用等腰三角形這一條件，使得運算的方向非常明確，運算程序可操作，組內(nèi)成員都能夠快速算出，非常貼近我們學(xué)生的實際.

突破二等腰三角形ABC中AC=BC，除了等價使用可以簡化外，在長度計算上是否也可以有簡化的方法？經(jīng)過討論研究發(fā)現(xiàn)長度除了使用兩點之間的距離外，還可使用弦長公式.

突破三等腰直角三角形有很強的平面幾何性質(zhì)，能否通過平面幾何的方法實現(xiàn)對解析幾何運算的簡化？

突破四參考答案的運算過程給人的感覺很煩，其原因在于B點的坐標雖然能求，但比較復(fù)雜，是否可以不求而設(shè)出來，通過其滿足的等量關(guān)系來限制呢？我們進行了嘗試，成功了.

代入橢圓方程可得

小組討論中大家既有分工又有合作，分工是速度與準確率的比拼，合作則是數(shù)學(xué)思維的碰撞，全情的投入讓小組討論更高效，每一個一閃而過的念頭都不會放過，要么嘗試、要么否定，都需要給出充分的能讓組員認可的理由.細細品味討論的過程，它讓所學(xué)知識靈動起來、靈活起來、交匯起來，其中有困惑，有驚喜，更有滿滿的收獲，讓我們對下一次的討論研究充滿期待.