上海交通大學附屬中學嘉定分校

徐 輝 (郵編：201801)

筆者曾執(zhí)導過一節(jié)公開課，題目是《圓錐曲線定義的應用》.在這節(jié)課中采用了“給出問題-思考解決問題-提出相關問題并探究”的教學方式，以圓錐曲線的定義為載體，通過聯(lián)想與類比的方法，培養(yǎng)學生主動提出問題并進行進一步探究的能力，取得了比較好的教學效果.如下是部分教學片段實錄：

片段一從定義出發(fā)，引導學生從知識角度進行類比與拓展，提出相關新的問題.

圖1

師：(提出問題1)如圖1所示，F(xiàn)1、F2是以2a為實軸長的雙曲線的兩個焦點，過F1作長為m的弦AB交雙曲線的左支于A、B兩點，求A、B兩點到另一個焦點F2的距離之和|AF2|+|BF2|.

生1：根據(jù)雙曲線的定義可得：

|AF2|+|BF2|=(2a+|AF1|)+(2a+|BF1|)=4a+m.

師：生1回答的非常好.他根據(jù)雙曲線的定義，利用雙曲線上的點到兩焦點的距離存在確定的關系這一性質(zhì)，把雙曲線上點A、B到焦點F2的距離轉(zhuǎn)化為到另一個焦點F1的距離來處理，從而使問題獲得解決.現(xiàn)在請大家思考，如果將這個問題中的雙曲線換為其它的圓錐曲線，你能提出一個什么樣的問題？

生2：我將雙曲線換為橢圓，可以得到這樣的問題：設F1、F2是以2a為長軸長的橢圓的兩個焦點，過F1作長為m(m>0)的弦AB交橢圓于A、B兩點，求A、B兩點到另一個焦點F2的距離之和|AF2|+|BF2|.結(jié)果是|AF2|+|BF2|=(2a-|AF1|)+(2a-|BF1|)=4a-m.

師：非常好.有沒有同學把這個問題的背景換為拋物線的？能得到一個什么樣的問題？(沉思)

圖2

生3：過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作長為m的弦AB,求AB中點到準線的距離.

師：你是怎么考慮這個問題的？

生3：我是這樣考慮的，由于拋物線只有一個焦點，所以無法提出一個與前面橢圓及雙曲線類似的到另一個焦點的問題，但是拋物線還有一個重要的要素是準線，因此就想到了過A、B向準線作垂線AA1與BB1，如圖2，作好以后，根據(jù)拋物線定義，我發(fā)現(xiàn)|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,而AB長為定值，故|AA1|與|BB1|的和為定值，從而梯形ABB1A1的中位線|MM1|為定值.

師：太漂亮了.雖然拋物線只有一個焦點，但是生3還是在剛才前兩個問題的基礎上，通過自己的努力，得到了一個與前面好象不同但又神似的新的問題.我覺得他的探索非常有意義，請大家看這樣的問題：

圖3

練習如圖3，圓O半徑為6，點P是圓上的一個動點，直線l是以點P為切點的圓的切線，兩定點A(-5，0)、B(5，0).一動拋物線經(jīng)過A、B兩點且以直線l為準線，則拋物線的焦點F的軌跡是如下哪一種曲線的一部分( )

A．圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

生4：答案是B.反用剛才生3的結(jié)論即可得.

師：請你詳細敘述一下.

生4：由題意，|OP|是定值6，從而A與B到直線l距離之和為定值12，由拋物線的定義可知，|AF|與|BF|的和為定值12，即|FA|+|FB|=12>|AB|.從而選B.

師：回答的非常完美.從以上幾個問題，我們可以看出，在我們解題的過程，適當?shù)貙栴}的背景作一點改變，可能就會得到一個新的問題，從提出新問題到對新問題的研究，也正是我們增長知識、掌握方法、提高能力的一個重要的過程.

圖4

片段二從定義出發(fā)，引導學生從方法角度進行類比與拓展，提出相關新的問題

師：(提出問題2)如圖4，在直線l:x-y+2=0上任意取一點M，經(jīng)過M點且以點F1(-1，0)、F2(1,0)為焦點作橢圓，求所作的所有橢圓中長軸2a最短的橢圓的方程.

生5：我是這樣考慮的，由題意，點M具有兩重性，它既在直線l上又在橢圓上，故|MF1|+|MF2|=2a.要想求長軸2a最短的橢圓的方程,其實就是要求2a的最小值，于是此題就歸結(jié)于如何在直線l上找一點M使得|MF1|+|MF2|最小.

圖5

師：分析的非常精辟.你作出結(jié)果了嗎？

師：剛才這位同學用點對稱求直線上點到兩定點距離之和最小的方法完美地解決了這個問題.現(xiàn)在我們重新再來審視這個問題，你能得到一個類似的新的問題嗎？

生6：將問題的背景換為雙曲線，可以得到這樣的新問題：在直線l:x-y+2=0上任意取一點M，經(jīng)過點M且以點F1(-1，0)、F2(1,0)為焦點作雙曲線，求所作的所有雙曲線中實軸長2a最短的雙曲線的的方程.

師：這樣的問題可以嗎？

生7：不能這么問.

師：為什么？

生7：如果這么問，這樣的雙曲線不存在.如圖6，在雙曲線中2a=||MF1|-|MF2||，顯然||MF1|-|MF2||有最小值0，此時點M在y軸上，滿足條件的雙曲線顯然不存在.故這種問法要修正.

師：如何修正？

生7：修正為求最大值.

師：修正為求最大值真的可以了嗎？

圖6

生8：修改為求最大值也不可以.因為2a=||MF1|-|MF2||≤|F1F2|=2，當且僅當點M為直線l與x軸交點時成立，但此時點M在線段F1F2的外部，這怎么可能呢？

師：是啊，這怎么可能呢？那怎么辦？

圖7

生9：可以把F1、F2兩點的坐標變一下，變?yōu)樵谥本€l與x軸的交點之外，比如設焦點F1(-3，0)，F(xiàn)2(3，0).如圖7.

師：好，那請大家繼續(xù)研究.

圖8

生10：由于2a=||MF1|-|MF2||，問題轉(zhuǎn)化為在直線l上取一點M，使2a=||MF1|-|MF2||最大.如圖8，作F2關于直線l的對稱點Q，連QF1并延長交直線l于點M，此時，2a=‖MF1|-|MF2‖=‖MQ|-|MF1‖≤|QF1|，而|QF1|是可以求出來的，于是問題得到了解決.

師：那好，請大家完成這個問題的求解.

師：對于剛才這個問題的解決，同學們都非常機智.我再問個問題，這個題目只能修改點F1與F2嗎？

生(笑)：不是的，還可以修改直線的位置，只要將直線與x軸的交點置于F1與F2之間即可.

師：剛才看到有同學對問題2有這樣的兩種解法，請大家一起欣賞下：

師：閱讀完這兩種解法，對于你的研究，你是否有所感想？

生：可以用這兩種方法解決剛才關于雙曲線的問題.

師：這個問題請同學們課后作為作業(yè)完成.

我們以為，每一節(jié)數(shù)學課堂教學，都應該圍繞兩條主線展開，一條是圍繞如何發(fā)展學生的知識與方法技能等方面來展開，另一條是圍繞如何發(fā)展學生的思維品質(zhì)與情感體驗等方面來展開.而這兩個方面的開展都離不開學生主動思考、積極參與到課堂教學的整個過程中來，某種程度來說，學生的積極參與遠比僅靠教師的精妙講解效果要更好.

對于片段一，設計啟發(fā)讓學生提出的幾個思考題，每一個都是在上一個的基礎上進行進一步思考而得到，每一個新的知識點的生成都是前一個知識點的自然而然的延展.這不僅讓學生從已知到未知循序漸進發(fā)現(xiàn)知識，同時也使學生通過猜想、探究等活動拓展了學生的思維，潛移默化地提高了他們思維的品質(zhì).隨著問題的進一步深入又將學生對知識的探討與思維的訓練引上了更高的一個層次.好象所有知識的出現(xiàn)都是自然而然順理成章的，實際上又是以學生思維的一步步深化作為主線的，這樣就能很好地讓學生享受探究的成功體會到探究的樂趣，不斷刺激學生探究的欲望，同時也讓學生下一步的探究有一個適當?shù)幕A，而且每一步探究都能體會到前面的探究是有價值的，是有作用的，從而更一步培養(yǎng)他們探究的欲望與能力.學生在對問題的探究中思維始終處于主動、積極、盎然的狀態(tài)之中，這樣的學習狀態(tài)顯然有助于學生學習效率與學習收獲的提高，也有助于學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

對于片斷二，是在學生研究完一個關于橢圓的最值問題的基礎上，啟發(fā)學生提出一個類似的雙曲線的最值的問題，學生在提出這個問題的過程，經(jīng)歷過“出錯-修正-再出錯-再修正”這樣反復探究的心理歷程，在這個過程之中，學生始終處于一種積極參與主動探究的狀態(tài)之中，從而能促使學生對知識有更深一步的理解并讓他們享受到積極的情感體驗，在“潤物細無聲”之中提高了他們思緒的品質(zhì)與探索的精神，并且，這樣的體驗也會是他們喜愛數(shù)學喜愛探索的一種極為重要的促進因素.當然，在探究的過程中，始終堅持對學生進行引導，并提供必要的幫助，探究的主體一定是學生，這個探究的過程一定要放給學生，教師不能越俎代庖.

前面兩個片段，均通過一個問題的解決，啟發(fā)學生通過變換背景或是變換條件或是變換結(jié)論，用類比的方法主動提出一個問題，然后對自己所提出的問題進行探究，并在探究的過程中根據(jù)實際情況的變化不斷調(diào)整自己所提出的問題，或者說是采用了“給出問題-思考解決問題-提出相關問題并探究”的教學方式.這樣設計希望能達成兩個目的：一是將幾種圓錐曲線的不同定義在思維上將之整合為一個整體，提高學生對于定義的應用意識；二是通過聯(lián)想與類比這一過程，發(fā)展學生主動提出問題并進行進一步探究的欲望與能力.這樣的處理方法，最關鍵的地方在于如何讓學生“有感而發(fā)”.就是如何讓學生對已有的問題(或是問題解決的方法或是結(jié)論)能有所“感想”，并通過“感想”產(chǎn)生聯(lián)想，通過聯(lián)想引發(fā)探究，通過探究啟迪思維.

在前面所提的“給出問題-思考解決問題-提出相關問題并探究”的教學方式中，核心的要素是讓學生提出問題，提出問題的過程就是學生思考的過程，就是學生不斷提高的過程.我在培養(yǎng)學生提出問題能力的探索中，有這樣的幾點體會：

(1)課堂教學中要讓學生敢于提出問題.

這就要教師要與學生建立良好和諧的師生關系，營造一個民主的教學氛圍.師生關系民主了，學生敢想、敢說、敢做了.自然有利于學生靜下心來想辦法、開動腦筋提問題.

(2)課堂教學中要讓學生能提出問題.

這就要求要有培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識，創(chuàng)設提出問題的情景，善于用引導、暗示、激發(fā)等方式有意鼓勵學生發(fā)現(xiàn)與提出新的問題并加以研究解決.

(3)課堂教學中要給學生一個提出問題的期望.

就是要讓學生感受到老師非常贊賞學生能提出新的問題.蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，因此，提出問題并加以探究是一個人與生俱來的心理追求，教師在教學過程中，要經(jīng)常給學生一個提出新問題的期望，鼓勵學生能主動地、積極地、有意識地去提出新的問題，這樣時間長了，學生便能將教師的期望內(nèi)化為自身的需要，從而形成他個人的提出問題并加以探索的優(yōu)良思維習性.

愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”在數(shù)學課堂教學中如何高效地培養(yǎng)學生提出問題的能力，還需要我們不斷的探索.

1 夏小剛,呂傳漢.美國數(shù)學教育中的提出問題研究綜述[J]. 比較教育研究,2006(2): 18-22

2 王發(fā)成,趙喜慶. 數(shù)學課堂應培養(yǎng)學生提出問題的能力[J].中學數(shù)學教學參考:上旬,2015(12):25

3 吳立建.數(shù)學課堂中應重視引導學生提出問題——《等腰三角形性質(zhì)復習課》教學實踐及反思[J].數(shù)學通報，2013(7):25-27