吳巧 張俊忠

【內(nèi)容摘要】APOS理論是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程研究的理論，對(duì)于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義。一元二次方程的概念是九年級(jí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，為了幫助學(xué)生理解掌握這個(gè)概念，應(yīng)用APOS理論進(jìn)行了“一元二次方程概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)，并進(jìn)一步闡述理論與實(shí)際的結(jié)合。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 一元二次方程概念 教學(xué)設(shè)計(jì)

一、APOS理論概述

APOS理論提出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷“活動(dòng)（Action）”、“過程（Process）”、“對(duì)象（Object）”、“圖式（Scheme）”4個(gè)階段，取這四個(gè)階段英文單詞的首字母，定名為APOS理論。該理論認(rèn)為在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中通過引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過思維的活動(dòng)、過程和對(duì)象等階段后，個(gè)體一般能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組合成圖式從而理清問題情境并順利解決問題。

活動(dòng)階段的目的是為了在具體的情境中反省出相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，進(jìn)而奠定學(xué)生認(rèn)知新概念的基礎(chǔ)，而不是引起學(xué)生的認(rèn)知沖突。當(dāng)活動(dòng)階段激發(fā)了學(xué)生對(duì)于新概念的認(rèn)知欲望，但無法提供直接的數(shù)學(xué)概念，需要在過程階段對(duì)其在活動(dòng)階段所產(chǎn)生的初步印象進(jìn)行進(jìn)一步的活動(dòng)，在發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究問題的實(shí)質(zhì)。在對(duì)象階段，需要對(duì)前兩個(gè)階段所抽象出的概念進(jìn)行形式化和符號(hào)化，使其變得更加精準(zhǔn)和簡潔。圖式階段是將概念作為一個(gè)具體的對(duì)象，能夠區(qū)分其與其他相近概念之間的區(qū)別，并應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活，解決一般的數(shù)學(xué)問題或是生活問題，在學(xué)生頭腦中形成清晰的概念圖式。

二、“一元二次方程概念”教學(xué)四階段的設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)階段

活動(dòng)1：用多媒體出示一塊長100厘米，寬未知，面積為5000平方厘米的長方形鐵皮，請(qǐng)學(xué)生列式子①求出這塊鐵皮的寬。

活動(dòng)2：仍是那一塊鐵皮，在它的四角各切去一個(gè)正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒，如果要制作的方盒的底面積為3600平方厘米，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？通過動(dòng)畫演示折起和打開的過程，引導(dǎo)學(xué)生列出式子②。

活動(dòng)3：要設(shè)計(jì)一座高2m的人體雕像，使它的上部與下部的高度比，等于下部與全部的高度比，求雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米？通過多媒體演示，將文字轉(zhuǎn)化為圖形，引導(dǎo)學(xué)生列出式子③。

2.過程階段

活動(dòng)4：觀察以上3個(gè)式子有什么區(qū)別，又有什么共同點(diǎn)？教師可引導(dǎo)學(xué)生判斷第①個(gè)式子是否是我們已經(jīng)學(xué)過的方程，幫助學(xué)生回憶起一元一次方程的概念，喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)。在尋找異同點(diǎn)時(shí)，類比一元一次方程的概念，主要探討：有幾個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為多少、是否為方程這三方面的異同點(diǎn)。

通過討論：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)第①個(gè)式子是一元、最高次數(shù)為、有等號(hào)是方程，也就是他們所熟悉的一元一次方程。而第②和③個(gè)式子都是一元、最高次數(shù)為2、有等號(hào)是方程。通過類比一元一次方程的概念，學(xué)生可以初步感知這兩個(gè)式子是一元二次方程，并掌握一元二次方程的三個(gè)基本屬性。

3.對(duì)象階段

活動(dòng)5：怎樣用數(shù)學(xué)語言來描述一元二次方程？這一問題對(duì)于學(xué)生來說較為抽象，也是教學(xué)中的難點(diǎn)。在教學(xué)過程中可以通過小組討論類比一元一次方程的描述，結(jié)合上面具體的兩個(gè)方程，給出一元二次方程的定義。

小組1：有的小組直接根據(jù)式子②與③將具體的數(shù)字換成字母代替，寫成（a-bx）（c-dx）=m或者a-bx=cx2，在這個(gè)過程中，能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒有掌握一元二次方程的實(shí)質(zhì)，無法通過本質(zhì)屬性來表示概念。

小組2：類比一元一次方程ax+b=0，有的小組會(huì)討論得出一元二次方程的一般式為ax2+bx=0，在這個(gè)過程中，有的學(xué)生會(huì)提出方程②與③不符合這個(gè)形式，除了含有ax2+bx這個(gè)式子，它們后面還加減上了一個(gè)常數(shù)，所以學(xué)生認(rèn)為這個(gè)式子不是正確的一般式。

小組3：經(jīng)過前兩組學(xué)生的展示，思維程度較高的學(xué)生容易給出一元二次方程的一般式為ax2+bx+c=0。請(qǐng)學(xué)生將式子②與③化成這種一般式的形式，并根據(jù)這個(gè)一般式說出該式中含有幾個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是多少，是否是方程。在給出這個(gè)一般式時(shí)，大部分學(xué)生都會(huì)同意這個(gè)表達(dá)，并無對(duì)此表示是否有什么限定條件的思考。

活動(dòng)6：反思辨析，深化概念

（1）?? 提問：a可以為0嗎？

同學(xué)們能很快答出a不能為0，并給出解釋當(dāng)a為0時(shí)，該方程沒有二次的項(xiàng)。同時(shí)能夠牢記a不等于0這一條件限制。

（2）?? 提問：b、c可以為0 嗎？

通過對(duì)一元二次方程三個(gè)本質(zhì)屬性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)b和c可以為0，故ax2+bx=0，ax2+c=0為一元二次方程的特殊式。

（3）提問：=可以換為>或<或≠嗎？

同學(xué)們很快能分辨出不能，根據(jù)方程的定義是含有未知數(shù)的等式叫做方程，要是方程就必須是等式，因此=不可以替換為其他符號(hào)。在此時(shí)，教師可進(jìn)一步提出，將等號(hào)替換為其他符號(hào)所得到的式子為一元二次不等式。

活動(dòng)7：歸納總結(jié)

通過以上幾個(gè)活動(dòng)的探究，引導(dǎo)學(xué)生歸納：

（1）只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0的方程叫做一元二次方程。

（2）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理都能化成形式ax2+bx+c=0（a≠0）。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。

（四）圖式階段

活動(dòng)8：用一元二次方程的概念解決一般問題

（1）將方程5x（x-1）=4（x+2）化為一般形式。

（2）關(guān)于x的方程（2a-4）x2-2x+a=0，在什么條件下為一元二次方程？在什么條件下為一元一次方程？

（3）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知長方形門的高比寬高6尺8寸，門的對(duì)角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？

（4）請(qǐng)根據(jù)所給方程：（16-2x）（10-2x）=112，聯(lián)系實(shí)際，編寫一道應(yīng)用題。

三、進(jìn)一步思考

本節(jié)課的設(shè)計(jì)是應(yīng)用APOS 理論根據(jù)學(xué)生對(duì)“一元二次方程”的理解作出層層分析，設(shè)計(jì)了具體的教學(xué)流程。以“活動(dòng)-過程-對(duì)象-圖式”4個(gè)階段展開，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)。本教學(xué)設(shè)計(jì)的主線是一元二次方程的概念教學(xué)，牢牢抓住一元二次方程的三個(gè)本質(zhì)屬性：幾元，最高次數(shù)，是否方程。

首先通過活動(dòng)階段設(shè)計(jì)的3個(gè)活動(dòng)，把學(xué)生引入了學(xué)習(xí)一元二次方程的情景中，利用具體的問題喚醒學(xué)生探索新知識(shí)的“生長點(diǎn)”。在活動(dòng)階段中，活動(dòng)1是為了喚起學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，能夠根據(jù)具體的情境列出方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣?；顒?dòng)2借助同一塊鐵皮，對(duì)其限制一些條件，就變成了不一樣的問題，通過多媒體動(dòng)畫幫助學(xué)生理解題意，得到不一樣的等式?；顒?dòng)3換了一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，挖掘生活中的數(shù)學(xué)元素，重復(fù)活動(dòng)2的操作，學(xué)生從中可以得到反思，就會(huì)在頭腦中對(duì)活動(dòng)2和3進(jìn)行建構(gòu)和歸類。學(xué)習(xí)是一個(gè)連續(xù)的過程，由活動(dòng)1到活動(dòng)2是一個(gè)遞進(jìn)的過程，在已有知識(shí)上的建構(gòu)會(huì)比沒有鋪墊的建構(gòu)來得自然和科學(xué)。

過程階段對(duì)活動(dòng)階段的成果進(jìn)行進(jìn)一步的深化和利用，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)式子的本質(zhì)特征。通過教師拋出問題，學(xué)生去思考、類比、探究，幫助學(xué)生摒棄該概念的外延和非本質(zhì)特征，對(duì)概念有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。在活動(dòng)4中，幫助學(xué)生明晰在定義一元二次方程時(shí)要注意的三個(gè)本質(zhì)屬性：一元、最高次數(shù)為2、是方程。在明確這三個(gè)本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，在學(xué)生進(jìn)入對(duì)象階段時(shí)更容易通過反思和操作去構(gòu)建概念的形式化和符號(hào)化。若在過程階段無法體現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，學(xué)生在理解上就很難實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的順利過渡。比如對(duì)象階段活動(dòng)5中的小組1的表述，對(duì)本質(zhì)屬性的理解不透徹，從而只從已有的現(xiàn)實(shí)實(shí)例中去進(jìn)行抽象，明顯是無法得出概念準(zhǔn)確的一般描述。

由于在前兩個(gè)階段已經(jīng)對(duì)概念的本質(zhì)屬性有了歸納，在對(duì)象階段就要對(duì)這些本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象化和形式化，幫助學(xué)生將這幾個(gè)抽象的本質(zhì)經(jīng)過符號(hào)化的語言建構(gòu)成一個(gè)具體的對(duì)象，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行新的活動(dòng)。在活動(dòng)5中，通過學(xué)生自己討論，闡述自己心目中的一元二次方程的一般表達(dá)式應(yīng)該是怎樣的。通過3組學(xué)生的描述，可以通過學(xué)生的描述來看學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu)。對(duì)于小組1的學(xué)生，對(duì)概念本質(zhì)屬性的探索還存在問題，可以發(fā)現(xiàn)他們?cè)谶^程階段沒有掌握，沒能在類比一元一次方程概念的基礎(chǔ)上對(duì)一元二次方程概念進(jìn)行準(zhǔn)確概括。而對(duì)于小組2的同學(xué)，雖然對(duì)本質(zhì)屬性有了一定的認(rèn)識(shí)，但是在對(duì)概念建構(gòu)的過程中，沒有考慮到還有常數(shù)的情況，沒有認(rèn)識(shí)完全的一般形式，所以就得到了一元二次方程一般形式中的一個(gè)特殊式。對(duì)于小組3的同學(xué)，在經(jīng)過前兩組學(xué)生的發(fā)言之后，基本上能夠概括出一元二次方程的一般形式，并用一般形式來體現(xiàn)概念，但是也忽略了概念中的隱含限制a≠0。雖然三組學(xué)生對(duì)于概念的理解都不全面，但是能夠看出每組學(xué)生都在通過操作、活動(dòng)和反思，層層遞進(jìn)，逐步建構(gòu)自身對(duì)一元二次方程概念的理解。由于學(xué)生對(duì)概念建構(gòu)還存在不全面的情況，所以就有了反思辨析、深化概念的過程，也就是進(jìn)行活動(dòng)6的操作。通過提出3個(gè)問題，揭示一元二次方程概念中隱含的一些限制條件，比如說a≠0，學(xué)生能夠通過自我反思獲得這部分知識(shí)的構(gòu)建，再將這個(gè)限制融入已經(jīng)建構(gòu)的概念。通過另外兩個(gè)問題，請(qǐng)學(xué)生辨析b、c是否可以為0 ，是否一定要是等號(hào)，同時(shí)這個(gè)過程也是將本質(zhì)屬性進(jìn)一步符號(hào)化的過程，有的學(xué)生知道一元二次方程的本質(zhì)屬性要是一個(gè)方程，但對(duì)于如何表示可能缺乏抽象的表示，通過問題3就能幫助學(xué)生明白為什么一定是要等號(hào)而不是其他的符號(hào)。通過辨析b、c是否可以為0，可以幫助學(xué)生通過反思了解一般式與特殊式之間的關(guān)系，能夠幫助學(xué)生理解為什么要這樣形式化和一般化。在整個(gè)對(duì)象階段，通過一系列的活動(dòng)，學(xué)生在頭腦中基本構(gòu)建了一元二次方程的概念，再通過一個(gè)歸納總結(jié)的活動(dòng)，可以進(jìn)一步加深和明晰概念，也會(huì)使學(xué)生在頭腦中反思自己的概念，進(jìn)而完善概念，理解概念。

最后是圖式階段，設(shè)置了多個(gè)問題與應(yīng)用，有概念的應(yīng)用，概念的考察和理解，概念的條件限制等。通過概念的考察正向地讓學(xué)生去應(yīng)用概念，而對(duì)條件的限制是幫助學(xué)生能夠判定一個(gè)方程是否是一元二次方程，也是對(duì)概念理解的一個(gè)考察。當(dāng)一個(gè)學(xué)生能夠正反向地區(qū)分概念，就說明已經(jīng)獲得了概念的完整認(rèn)識(shí)。通過引入《九章算術(shù)》中的方程問題，在幫助學(xué)生掌握概念的過程中也滲透了數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。同時(shí)，一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要模型，在圖式階段的最后一題中，要求學(xué)生根據(jù)方程去編寫應(yīng)用題。雖然在前面幾個(gè)活動(dòng)中我們從具體的問題中，描述出了這樣一個(gè)模型，也對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行了建構(gòu)，但來自生活的模型總是要回歸生活，去刻畫我們的現(xiàn)實(shí)世界。當(dāng)學(xué)生能夠利用掌握的知識(shí)去刻畫現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，說明這個(gè)概念就形成了一個(gè)解決某一類問題的圖式，實(shí)現(xiàn)了完整的概念教學(xué)。

APOS 理論在這節(jié)課上的應(yīng)用，突出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自然過程，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維，使得學(xué)生在課堂上充滿了生機(jī)和活力?？梢?APOS 理論可以作為數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)范式，能夠有效提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]喬連全.APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J]. 全球教育展望，2001（3）.

（作者單位：1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生;2.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院教師）