于紅燕

【摘要】數(shù)學概念的學習在數(shù)學學習中至關重要，數(shù)學概念獲得的兩種方式各有其優(yōu)缺點.美國數(shù)學家杜賓斯基等人結合概念獲得方式的優(yōu)點和數(shù)學概念形成的思維過程，提出了基于APOS的數(shù)學概念教學理論.本文探討APOS理論四個階段的具體操作，并結合實踐提出數(shù)學概念教學的若干操作性建議和一點思考.

【關鍵詞】概念教學；APOS理論；教學設計

一、關于概念教學

大量教學實踐表明，學生在解決數(shù)學問題時容易出錯或沒有思路，其主要原因在于學生對數(shù)學概念理解不夠深入，而高中數(shù)學內容里大量的公式、定理、推論、結論等都是以數(shù)學概念為基礎的.因此，教師要特別重視高中數(shù)學教學的核心——概念教學.

數(shù)學概念反映著事物本質屬性的思維形式，是一類內在的、固有的屬性，而不是表面的屬性.學生學習數(shù)學概念意味著學習掌握一類事物共同的本質屬性，即能夠辨別概念的本質屬性和非本質的屬性，能夠概括出其定義，能夠給出概念的肯定和否定例證，能由抽象到具體.從心理學上說，概念的獲得有兩種基本形式，即概念的形成和概念的同化，其中概念的形成在我們生活中使用較廣，對思維過程尤為重要.

美國數(shù)學家杜賓斯基等人，提出數(shù)學概念學習的APOS理論，這一理論既注重學生的直接經(jīng)驗，又注重學生的心理建構，對數(shù)學概念的教學設計有著積極作用.

二、對APOS理論四階段的理解

（一）活動階段

學生通過自己操作體驗建立直觀感受和抽象概念之間的聯(lián)系，教師利用學生熟悉的生活實例創(chuàng)設情境，讓學生通過觀察、討論、實驗、分析得出實例之間的共同特征，從教學活動中思考問題，經(jīng)歷從生活中抽象數(shù)學概念，認識到“數(shù)學來自于生活”.

（二）過程階段

學生在頭腦中對之前活動進行反思，獲得概念的認識，認識事物的屬性特征，對認知到的事物的屬性特征進行反思、提煉、內化，得出概念的名稱和符號的書寫，使學生在頭腦中形成初步嚴謹?shù)臄?shù)學概念.

（三）對象階段

學生得到抽象的概念后，教師要從概念的辨析、正例、反例及概念的不同形式出發(fā)設計問題，教師引導學生充分理解概念的實質、內涵和外延，使概念更加精確化，成為一個具體的對象，這樣學生對概念有了理性的認識.

（四）圖式階段

通過活動階段、過程階段、對象階段，學生對概念有了深刻的認識，教師通過設置例題、習題，讓學生從具體解題中體會、挖掘這一概念與其他概念的深層次關系，進一步體會概念的實質，從內在的特征認識概念，使學生在頭腦中形成概念的清晰的圖式.

三、反思與探討

（一）創(chuàng)新數(shù)學活動，為概念學習提供活動經(jīng)驗

在概念教學中，許多教師一般按照教科書的編排，直接告訴學生數(shù)學概念，直接授予學生形式化、符號化的定義，很少考慮學生的認知能力與學生的思維規(guī)律.不利于學生對概念的理解和掌握.APOS理論則強調在學習抽象概念前的活動經(jīng)驗的準備與積累，將教材編排的內容看成教學素材，是教學的依據(jù)，創(chuàng)造性地使用教材，對教材進行合理的加工處理，結合學生的思維特點設計恰當?shù)臄?shù)學活動，創(chuàng)設一定的活動情境，讓學生積極探索、自主思考，在數(shù)學活動中感悟，在體驗和感悟中建構概念，為深刻地理解概念積累活動經(jīng)驗.

（二）留有充足時間，為概念的抽象提供時間保證

APOS理論強調概念的學習是一個螺旋式上升的過程，從活動階段到過程階段，需要學生提煉出活動中的問題，在大腦中反思和抽象，這個過程在短時間內很難完成.因此，在概念教學時，教師不能只是趕進度，催促學生抽象概念或者直接說出概念，而讓教學活動流于形式.與此相反，教師要給學生留足活動時間，讓學生反思，回味活動過程，多次嘗試抽象數(shù)學概念，教師通過問題啟發(fā)引導學生，幫助學生實現(xiàn)從具體上升到抽象.

（三）兼顧正例反例，為圖式的形成做好鋪墊

圖式這個詞源于心理學，它是一種廣義的概念，是認知活動的基本構件，是經(jīng)過組織的知識，其形成是一個復雜的過程，是學生的一種動態(tài)的建構和再建構活動，通常學生最初形成的圖式是比較泛化的，需要安排一定的活動來促進圖式的形成.有研究表明，促進圖式形成的關鍵是選擇和安排好圖式的正例，而促進圖式改進的關鍵是選擇和安排好圖式的反例.由此，教師在概念教學時常常用正例和反例來加強學生對于數(shù)學概念的理解.

（四）認識學習過程，為概念教學確立相應策略

在APOS理論中，四個階段是循序漸進、螺旋式上升的過程.教師在概念教學中，按照“A—P—O—S”這個順序去研究學生學習的方式和規(guī)律，分析學生對概念心理建構的程度以及學生在學習過程中在哪個階段出現(xiàn)了困難，設計出相應的教學策略，從而使學生對數(shù)學概念的實質得到深刻認識.

（五）值得探討的問題

APOS理論提出了一個學習數(shù)學概念的連續(xù)的過程.教師在進行概念教學時，四個階段分得不是很開，是不是有時候未必完全按照APOS理論線性地單向進行？在活動階段到過程階段要留給學生充足的時間，高中數(shù)學教學課時有限，如何把握時間這個度？APOS理論是基于建構主義理論而提出的，那么是不是所有的數(shù)學概念都需要建構？

許多從事高中數(shù)學教學的教師都清楚，數(shù)學概念教學是數(shù)學教學中的難點，而APOS理論可以給予很好的指導.APOS理論結合數(shù)學學科本身特點、心理學、教育學理論，將數(shù)學概念的教學分為四個階段，使學生在參與數(shù)學活動的過程中產生內心的體驗和創(chuàng)造，達到認識數(shù)學概念思想和本質的目的.

【參考文獻】

[1]徐曉燕.基于APOS理論下的概念教學設計——以“平面直角坐標系”的教學為例[J].中國數(shù)學教育（初中版），2011（11）：21-22.

[2]羅新兵，王光生.中學數(shù)學教材研究與教學設計[M].西安：陜西師范大學出版社，2011（5）：120-121.