陳嘉璐

摘要： 樣本估計總體是高中數(shù)學統(tǒng)計學中的研究分析相關(guān)數(shù)據(jù)的有效手段和方法，由于人們的時間和精力是都有限的，無法采取到所有的數(shù)據(jù)，因此可以采用典型樣本數(shù)據(jù)獲得總體信息的方法來獲取有效信息。樣本估計總體基于隨機分布的數(shù)學概念，即在樣本容量足夠大的前提下，數(shù)據(jù)具有隨機性，換句話說，只要數(shù)據(jù)足夠多，那么選取大數(shù)據(jù)中的其中一小部分，這一小部分中的數(shù)據(jù)也能夠反映大數(shù)據(jù)的信息，因此樣本常用來估計總體。文章基于高中生視角，以全面化客觀化的角度分析思考問題，對高中數(shù)學統(tǒng)計學樣本估計總體作一個總結(jié)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學；樣本估計總體；高中生視角；學習體會

基于樣本容量足夠大的前提，數(shù)據(jù)的分布均有隨機性與平均性，因此樣本可以估算總體數(shù)據(jù)，但也是需要方法和技巧的，不能無憑無據(jù)地估算總體數(shù)據(jù)，只能運用數(shù)學思維科學計算來估算。在估算時候需要嚴謹與細心，具體條件具體分析，樣本估算整體有多種方法，因此要根據(jù)實際情況選擇有效方法。

一、樣本頻率估計整體

只要數(shù)據(jù)足夠多，那么數(shù)據(jù)的排列會變得沒有順序，因此樣本中的頻率適用于估算整體的頻率，而樣本頻率的判斷方式有許多種，一般用圖表將樣本頻率直觀清晰地表示，如頻率分布表、頻率直方圖、總體密度曲線、莖葉圖三個角度等等，根本實際需要作出符合要求的圖形從而獲得有代表性的數(shù)據(jù)。樣本頻率估算整體的圖形選擇有很多種，因此要根據(jù)題目所給信息具體選用圖形，以下將這些圖形曲線一一闡述：

1.頻率分布表與頻率直方圖的應(yīng)用 頻率分布表與直方圖需要重點把握頻數(shù)和頻率，頻數(shù)是指在某個范圍內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，頻率某一數(shù)據(jù)在某個范圍出現(xiàn)頻率計算方法是頻數(shù)除以數(shù)據(jù)的總數(shù)（即樣本容量）。例如在一個樣本中，數(shù)據(jù)分別為1，3，3，4，5，6，6，6，6，7，選取6作為參考數(shù)據(jù)，那么6的頻數(shù)為4，樣本容量為10，那么6的頻率為頻數(shù)4除以樣本容量10結(jié)果為百分之四十，如果選取7為參考數(shù)據(jù)，7的頻數(shù)為1，樣本容量為10，那么7的頻率為1除以10等于百分之十。頻率分布表與直觀圖主要對具體某個數(shù)據(jù)進行分析研究，因此在強調(diào)數(shù)據(jù)的題型，較多的運用這種方法估算數(shù)據(jù)，通過這種方式，高中生能夠直觀并清晰地從樣本了解到整體。

2.總體密度曲線反映數(shù)據(jù)趨勢 基于樣本容量無限增大，分組間的組距不斷減小，就能夠得到一種總體密度曲線，這反映了總體的變化趨勢，通過這條曲線，就能夠清晰的得知各種數(shù)據(jù)占總體的百分比。需要注意的是，總體密度曲線的獲得需要數(shù)值區(qū)間與頻數(shù)，通過區(qū)間的中點將其一點點連接，就能夠得到一條光滑的曲線，在這種樣本中的曲線能夠有效估算整體數(shù)據(jù)，最后得到有效地結(jié)論。這種樣本估算總體的方式不適用于個別數(shù)據(jù)或是分組的求解，而是適用于整體數(shù)據(jù)的分布情況，通過整體數(shù)據(jù)反映出數(shù)據(jù)的趨勢。

3.莖葉圖保留原始數(shù)據(jù)，并讓數(shù)據(jù)直觀有效 莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)的缺失，卻難以直觀地判斷樣本的頻率，也無法直觀得出數(shù)據(jù)的頻率，但它的好處在于方便記錄，可隨時添加。莖葉圖不僅適用于兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，三位數(shù)四位數(shù)也可以適用，通過高位數(shù)與低位數(shù)的不同排布，人們可以通過對所有的數(shù)據(jù)進行全面與直觀的了解，這多用于統(tǒng)計種各數(shù)據(jù)或是直觀了解所有數(shù)據(jù)的題型中。在很多種情況下，莖葉圖的應(yīng)用是判斷樣本整體信息的最好方式，但估算總體偏差較之前者慧更大。

二、樣本數(shù)據(jù)特征估算總體

樣本數(shù)據(jù)特征估算總體是另一種方法，也是基于總體容量足夠大，數(shù)據(jù)的分布具有隨機性和無序性的大前提，樣本數(shù)據(jù)特征能夠有效反映總體數(shù)據(jù)，在很多情況下都比樣本頻率與頻數(shù)分布要準確地多。高中數(shù)學統(tǒng)計學通過樣本數(shù)據(jù)特征估算總體的特征有很多，選取三個主要方面進行分析闡述：

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用

當需要反應(yīng)總體的特征時，通過以樣本的數(shù)據(jù)特征來估算總體特征，如眾數(shù)，中位數(shù)，與平均數(shù)，眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中頻數(shù)最多的數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布以及隨機數(shù)分布的規(guī)律，眾數(shù)是密度曲線的分水嶺或是臨界點，越靠近眾數(shù)的數(shù)據(jù)頻率分布越高，越遠離眾數(shù)的數(shù)據(jù)頻率越低，因此眾數(shù)常作為衡量的標準（但也沒有絕對）。中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中最中間的數(shù)，通常在穩(wěn)定的數(shù)據(jù)分布中與眾數(shù)接近（同樣無絕對），這里需要注意的是，當所有的數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，可以選取最中間的數(shù)，當所有數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，則要將最中間的兩個數(shù)據(jù)相加再除以二，得出的值才為中位數(shù)。平均數(shù)是整體數(shù)據(jù)相加除以數(shù)據(jù)個數(shù)得到的數(shù)值，一般來說，平均數(shù)是最能夠反映整體數(shù)據(jù)的信息的，但無法反映數(shù)據(jù)的趨勢與變化規(guī)律。在用樣本數(shù)據(jù)來判斷分析總體數(shù)據(jù)時，要眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)三個數(shù)值結(jié)合判斷，不能夠光從單個數(shù)值出發(fā)計算，否則得到的信息同樣是不準確的。

2.標準差、方差的應(yīng)用

標準差與方差反映了數(shù)據(jù)分布的離散性和趨中性，通過將樣本中所有的數(shù)據(jù)加權(quán)平均得到，標準差是方差的平方，將所有數(shù)據(jù)加權(quán)平均的意義在于使答案恒為正數(shù)。標準差與方差適用于反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，當標準差與方差過大時，反映了數(shù)據(jù)無法均勻排布，隨機性較大，當標準差與方差過小時，反映了數(shù)據(jù)均勻排布，區(qū)中性較大，因此通過標準差與方差的應(yīng)用，人們能夠得知數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性與整體變化趨勢，因此適用于整體數(shù)據(jù)的有效信息求解。

綜上所述，樣本估算整體是高中數(shù)學統(tǒng)計學里為了減少時間與人力成本而使用的通過以偏求全的一種高效獲得信息的方式，然而真正掌握這樣的方法并不容易，首先要知道各種圖表與數(shù)據(jù)的意義和被賦予的數(shù)學概念，還要清晰的知道具體求解的是什么，是整體數(shù)據(jù)的趨勢還是具體的值，通過一系列的分析，正確的計算后，就能夠獲得相關(guān)有效信息。

參考文獻：

[1]孫建平，呂效國，陸利平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習策略的統(tǒng)計分析[J].高師理科學刊.2011-09-30

（作者單位：江西育華學校高三（3）班 330027）