周宏偉+張夢驍+高峰云+曾日桓+劉洋怡

摘 要：空氣相對濕度是體現(xiàn)氣候變化的一項重要指標(biāo)，研究城市相對濕度指數(shù)可以反映城市的氣候變化狀況。本文利用ARMA模型對北京市2012～2015年空氣相對濕度的數(shù)據(jù)進行分析，建立相應(yīng)的ARMA模型，再對建立的模型進行殘差檢驗，并利用該模型對未來五個月進行預(yù)測，查看未來的空氣相對濕度變化趨勢，體現(xiàn)模型優(yōu)劣，可以更好的進行氣候變化研究。

關(guān)鍵詞：相對濕度預(yù)測；時間序列分析；ARMA模型；Box-Jenkins方法

一、 引言

隨著全球氣候變化加劇，對于氣候變化、空氣質(zhì)量等的研究不斷得到深入，對于不同空氣質(zhì)量指標(biāo)衡量因素十分不同，相對濕度的高低在許多程度上直接反映了環(huán)境的好壞，相對濕度過高或者過低，對人自身和四周的環(huán)境都會產(chǎn)生不好的影響，而相對濕度作為一項能夠客觀真實反映氣候變化情況的重要指標(biāo)，有必要進行深入研究。

簡單的AR模型與ARMA模型在短期預(yù)測上具有較高精度，且在理論上已趨于成熟，便于進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析，更常用于擬合平穩(wěn)時間序列。本文以北京市為例，建立ARMA模型對空氣相對濕度數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

二、 數(shù)據(jù)來源

http：//www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/ 中華人民共和國國家統(tǒng)計局——中國統(tǒng)計年鑒。

三、 ARMA模型理論介紹與模型建立

1. ARMA模型理論介紹

自回歸移動平均模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是ARMA模型的全稱，該種方法是一種十分重要的方法，對于時間序列數(shù)據(jù)研究來說，由自回歸模型（簡稱AR模型）與滑動平均模型（簡稱MA模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成，它是目前應(yīng)用最為廣泛的來擬合平穩(wěn)序列的模型，通過計算機程序的編寫來進行模型識別，它可以細(xì)分為自回歸（AR）模型、滑動平均（MA）模型和自回歸移動平均（ARMA）模型三大類。

（1） AR模型 AR模型也稱為p階自回歸模型，具有如下結(jié)構(gòu)：

xt=φ0+φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+εt

上式中，p為自回歸模型階數(shù)，φi為待定系數(shù)，εt為模型誤差。當(dāng)φ0=0時，該自回歸模型又稱為中心化AR模型。非中心化AR序列也可以通過變換轉(zhuǎn)化為中心化AR序列。

（2） MA模型 MA模型稱為移動平均模型，具有如下結(jié)構(gòu)：

xt=μ+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

上式中，q為模型階數(shù)，θi為待定系數(shù)，εt為模型誤差。當(dāng)μ=0時，模型稱為中心化MA模型。

（3） ARMA模型 ARMA模型稱為自回歸移動平均模型，具有如下結(jié)構(gòu)：

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-…θqεt-q

默認(rèn)條件與AR模型、MA模型相同。當(dāng)q=0時，ARMA模型退化成AR模型，當(dāng)p=0時，ARMA模型就退化成MA模型。

2. 數(shù)據(jù)處理與模型建立

根據(jù)2012～2015年的中國統(tǒng)計年鑒得到北京市近四年相對濕度數(shù)據(jù)，建立ARMA模型如下。

首先繪制2012～2015年北京市相對濕度數(shù)據(jù)時序圖，如圖1所示：

圖1 相對濕度時序圖

由圖1可以認(rèn)為該時間序列可能是平穩(wěn)的，因此，需要通過對數(shù)據(jù)進行純隨機性檢驗，檢驗結(jié)果如下：

檢驗結(jié)果表明在6階和12階延遲下的P值很小，遠(yuǎn)小于5%，所以我們可以有超過95%的把握認(rèn)為2012～2015年北京市空氣相對濕度時間序列不是白噪聲序列，所以可以對其進行統(tǒng)計規(guī)律分析，建立ARMA模型來進行數(shù)據(jù)分析。

根據(jù)ARMA（p，q）模型在上表中體現(xiàn)的的ACF與PACF理論能夠發(fā)現(xiàn)，由圖2的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖可知，可以認(rèn)為該時間序列自相關(guān)拖尾，偏自相關(guān)圖則可以認(rèn)為1階或3階截尾，選擇自相關(guān)模型時，可選擇p=1或3。

建立AR（1）與AR（3）模型，對這兩個模型進行參數(shù)估計：

通過上述兩種參數(shù)估計方法擬合的模型分別為：

（1） AR（1）xt=0.6348xt-1+52.0392+εt

（2） AR（3）xt=0.5905xt-1+0.2653xt-2-0.3951xt-3+52.4373+εt

根據(jù)AIC準(zhǔn)則，由于AR（1）模型的AIC值為453.3，AR（3）模型的AIC值為450.12，所以AR（3）模型更加符合該時間序列模型。

四、 模型檢驗與預(yù)測分析

1. 模型檢驗

對于得到的AR（3）模型，通過參數(shù)估計方法得到具體模型，根據(jù)AIC準(zhǔn)則驗證模型優(yōu)劣：

對于得到的AR（3）模型，進行殘差檢驗如圖3所示：

圖3-（2）說明殘差之間不相關(guān)，圖3-（3）說明其p值在0.7～1之間，明顯大于橫線處0，05的值，通過Box-Jenkins方法得出其準(zhǔn)確p值為0.7635，p值大于0.05，即接受原假設(shè)，可以認(rèn)為殘差是白噪聲序列，擬合的AR（3）模型通過檢驗。

2. 模型預(yù)測

通過AR（3）模型對未來五個月的相對濕度進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖4所示：

由預(yù)測值可以發(fā)現(xiàn)在未來的五個月之內(nèi)，北京市月平均空氣相對濕度將會有一個顯著的降低，在1～2月間相對濕度的降低非常明顯，同時，我們發(fā)現(xiàn)這一降低的規(guī)律也十分符合之前數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，說明預(yù)測的數(shù)據(jù)能較好的反映北京市空氣相對濕度的變化情況，但是誤差的比例相應(yīng)增加，也在同時降低了預(yù)測的準(zhǔn)確度。

五、 結(jié)論與不足之處

本文以北京市2012～2015年月平均空氣相對濕度數(shù)據(jù)為研究對象，通過模型建立、模型檢驗和模型數(shù)據(jù)預(yù)測，確立以AR（3）模型為北京市月平均相對濕度的預(yù)測模型，最后得到的模型結(jié)果如下所示：

xt=0.5905xt-1+0.2653xt-2-0.3951xt-3+52.4373+εt

通過預(yù)測發(fā)現(xiàn)，未來五個月北京市月平均相對濕度呈現(xiàn)下降趨勢，但是在第五個月之后，由預(yù)測圖形顯示，北京市空氣相對濕度會有略微增長，但是這種增長并不明顯，仍然需要通過對之后的更多數(shù)據(jù)進行分析研究，繼續(xù)修正模型，再來進行模型預(yù)測，才能得出更好的預(yù)測結(jié)果。

對于時間序列分析過程可分為：數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理、模型識別（包括階數(shù)估計與參數(shù)估計）、模型檢驗與模型預(yù)測三個部分，通過R軟件能較好的擬合模型并預(yù)測未來值。

綜上，ARMA模型較好的解決了北京市月平均相對濕度的問題，同時發(fā)現(xiàn)ARMA模型預(yù)測在實際中可以廣泛的利用，為更好的研究氣候情況提供了十分方便的工具。

但是本文仍然存在許多不足之處，由于ARMA模型對于短期預(yù)測才能有較好的結(jié)果，從表中的預(yù)測誤差也可以發(fā)現(xiàn)，進行預(yù)測的時間長度越長，其對應(yīng)的預(yù)測誤差也會相應(yīng)的增大，導(dǎo)致預(yù)測的結(jié)果也會更加不準(zhǔn)確。

參考文獻：

[1]王燕.應(yīng)用時間序列分析.中國人民大學(xué)出版社.2015（12）.

[2]李姝敏；張勛塵.基于ARMA模型的蘭州市人口短期預(yù)測研究.《中國市場》，2015.

[3]劉薇.時間序列分析在吉林省GDP預(yù)測中的應(yīng)用.《東北師范大學(xué)碩士論文》，2008.

[4]ARMA模型.

作者簡介：

周宏偉，張夢驍，高峰云，曾日桓，劉洋怡，中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院。endprint