/寧連華 蔡甜甜

20世紀(jì)80年代初，全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會（NCTM）掀起一場以“問題解決”為核心的數(shù)學(xué)教育改革運動。到20世紀(jì)80年代末，隨著對“問題解決”的不斷反思，“問題提出”教學(xué)研究開始走進課堂，成為數(shù)學(xué)教育界普遍關(guān)注的研究話題。［1］近年來，隨著新課程改革向縱深推進，學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問題”能力的培養(yǎng)越發(fā)受到關(guān)注，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在課程目標(biāo)中就明確指出，“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。［2］

然而，目前在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力方面仍未取得重大突破。鑒于此，有必要在已有研究基礎(chǔ)上對學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的內(nèi)涵、方式等進行理性分析與反思，以期讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題成為教學(xué)的常態(tài)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與創(chuàng)新思維能力。

一、發(fā)現(xiàn)和提出問題的要義分析

1.發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的內(nèi)涵。

20世紀(jì)90年代以來，教師和研究者從“問題意識”的視角對數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問題提出”進行了研究，關(guān)注對學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)。所謂“發(fā)現(xiàn)問題”，是指經(jīng)過多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面看來沒有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量與空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系和矛盾提煉出來。所謂“提出問題”，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系或矛盾用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號集中地以“問題”的形態(tài)表述出來。［3］

發(fā)現(xiàn)問題與提出問題常被同時提及，但其實二者之間仍有細微的差別。數(shù)學(xué)教學(xué)中的發(fā)現(xiàn)問題，側(cè)重用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，指在現(xiàn)實情境中觀察、分析，思考是否存在值得研究的有關(guān)對象數(shù)量關(guān)系和空間形式的問題，更強調(diào)“問題意識”；而提出問題則側(cè)重用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，指在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語言將問題清晰地表達出來，明確的問題表述是分析、解決問題的必要條件。簡言之，發(fā)現(xiàn)問題為提出問題奠定了基礎(chǔ)，提出問題是對發(fā)現(xiàn)問題的完善。

2.學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要性。

創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。［4］高校教師常反映大學(xué)生的模仿能力強，而創(chuàng)新思維能力弱，這也從側(cè)面反映了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力方面仍有所欠缺。不少學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練，解題能力較強，但是卻不會發(fā)現(xiàn)問題，也不善于提出問題。其實，數(shù)學(xué)的發(fā)展是“發(fā)現(xiàn)和提出問題”與“分析和解決問題”不斷交替的過程，解決問題固然重要，發(fā)現(xiàn)和提出問題的作用亦不可忽視。如果只有解決問題，缺少發(fā)現(xiàn)問題的環(huán)節(jié)，思維元就不能形成“群”狀結(jié)構(gòu)。［5］

從思維的創(chuàng)造性價值角度看，“發(fā)現(xiàn)、提出問題”和“分析、解決問題”，與合情推理和演繹推理也有幾分相似。合情推理與演繹推理是推理的兩大常見形式，兩者相輔相成，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程。數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中指出：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜這個定理的內(nèi)容……數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的?！保?］在論證一個命題前需要由合情推理來提出猜想，正如在解決一個問題前需要先發(fā)現(xiàn)和提出問題。分析和解決問題的過程中常需用到演繹推理，而合情推理則是發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要來源。合情推理在創(chuàng)新方面有演繹推理難以替代的重要作用，同樣地，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和能力的重要環(huán)節(jié)。

二、發(fā)現(xiàn)和提出問題的常用方式

在有些學(xué)者看來，“發(fā)現(xiàn)和提出問題”甚至比“分析和解決問題”更為重要，愛因斯坦就曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更有意義?！闭\然，沒有數(shù)學(xué)問題的提出就不會有數(shù)學(xué)問題的解決，也就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以考慮通過類比、變式、反思等方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題。

1.類比。

類比是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的思想方法，也是提出猜想、進行數(shù)學(xué)研究的重要途徑。很多數(shù)學(xué)內(nèi)容之間都存在著相似的屬性，可通過類比的方法來提出猜想。不同維度間可以進行類比，如立體幾何的學(xué)習(xí)可以類比平面幾何，從低維向高維進行推廣；“式”與“數(shù)”之間也可進行類比，如對分式的研究可以類比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)來進行。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對象與已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容之間是否存在相似性、能否進行類比，預(yù)測將從哪些方面研究新的數(shù)學(xué)對象，在此過程中往往就能發(fā)現(xiàn)和提出新的問題。

2.變式。

變式訓(xùn)練是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見活動，也是發(fā)現(xiàn)和提出問題的途徑之一。解決一個問題之后，嘗試改變問題的條件或結(jié)論，對結(jié)論進行一般化的推廣，或者反過來思考命題的逆命題是否成立等，這樣的變式都將提出新的問題。美國學(xué)者布朗與沃爾特提出了基于給定的數(shù)學(xué)問題而提出問題的“what-if-not”策略，即考慮：如果不是這樣的話，那又可能是什么？也被稱為“否定假設(shè)法”。［7］這也是進行變式的一種思路。教師指導(dǎo)學(xué)生在已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問題基礎(chǔ)上，提出變化的或拓展的數(shù)學(xué)問題，是在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的一種可行方式。

3.反思。

教材所呈現(xiàn)的例題、習(xí)題多數(shù)都是典型問題，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生對解題過程進行積極的反思。正所謂溫故知新，反思有時也是創(chuàng)新的來源。數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，可以帶著學(xué)生進行解題反思，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納、拓展與發(fā)現(xiàn)，在反思中學(xué)會創(chuàng)新，從多角度對已解決的問題進行發(fā)散思考，這也是發(fā)現(xiàn)新問題的一種方式。問題解決后的回顧與反思，不僅可以提高解決問題的能力，還可為后續(xù)發(fā)現(xiàn)和提出問題做準(zhǔn)備。

三、思考與建議

基于上述對發(fā)現(xiàn)和提出問題的內(nèi)涵、重要性及常用方式的分析，結(jié)合當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的現(xiàn)狀，就教學(xué)實踐中存在的問題提出一些思考與建議。

1.將發(fā)現(xiàn)和提出問題的主動權(quán)還給學(xué)生。

不少數(shù)學(xué)教師都嘗試通過開展探究性活動、合作學(xué)習(xí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題。例如，數(shù)學(xué)教師常會創(chuàng)設(shè)情境，并以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生提出問題，以此引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程中，教師適當(dāng)進行啟發(fā)性提示，為學(xué)生搭建腳手架，這是值得提倡的。然而，如果教師的提問指向性太明顯，或者提示得過細，就會限制學(xué)生的思維，或許從表面上看學(xué)生也按照教師的要求“提出”了問題，但這并不是真正的學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題應(yīng)有的形態(tài)。也有的教師雖然鼓勵學(xué)生自主地從情境中發(fā)現(xiàn)、提出想要研究的問題，也給了學(xué)生充分表達自己想法的空間，但卻未給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)姆答仯]有認(rèn)真思考學(xué)生提出的問題，仍然按照教學(xué)設(shè)計中預(yù)設(shè)的問題展開教學(xué)。這種情況下，所謂的學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題只是流于形式，恐怕難以取得預(yù)期的教學(xué)效果。

為切實提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識，數(shù)學(xué)教師應(yīng)留給學(xué)生充分的時間、空間去思考，鼓勵學(xué)生提出自己感興趣、想研究的問題，并且充分利用學(xué)生提出的問題資源，引導(dǎo)學(xué)生積極探索，發(fā)揮學(xué)生主體性，將發(fā)現(xiàn)和提出問題的主動權(quán)還給學(xué)生。

2.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出高質(zhì)量的好問題。

希爾伯特曾說“數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的靈魂”。問題的提出是獲取新數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)和提出問題作為創(chuàng)新的第一步具有重要價值，這是不爭的事實。然而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生有時會提出非數(shù)學(xué)的、無價值的不太理想的問題，甚至是不構(gòu)成問題的表述。試想若提出的問題本身就不恰當(dāng)，在不合理題設(shè)的基礎(chǔ)上進行的問題解決、得到的結(jié)論，也就都失去了意義。因此，學(xué)生不僅要能發(fā)現(xiàn)和提出問題，更要能發(fā)現(xiàn)和提出高質(zhì)量的好問題，問題的明確性、現(xiàn)實性、數(shù)學(xué)性等都是值得關(guān)注的重要指標(biāo)。學(xué)生所提出的問題應(yīng)有一定思維含量與研究價值，但又不能太過深奧。太容易了，沒有探究的基礎(chǔ)；太困難了，探究就無法進行。［8］

已有研究從不同角度探索了促進高質(zhì)量問題提出的策略，如探索問題情境的機會以及解決類似問題的經(jīng)驗?zāi)軒椭鷮W(xué)生提出高質(zhì)量的問題，運用證明、逆向思考、特殊化、一般化和推廣等“基本數(shù)學(xué)過程”由已知問題提出新的問題等。［9］此外，教師對學(xué)生提出問題的態(tài)度與處理方式，也會影響學(xué)生提問的水平。數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時對學(xué)生問題進行分析、篩選，給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)姆答?，幫助學(xué)生理解何為高質(zhì)量的好問題，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。

3.積極創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境。

問題源于情境，歷史上諸多教育家都提倡過問題情境教學(xué)。最早可追溯到蘇格拉底的問題教學(xué)法或談話法；杜威也曾提倡過問題教學(xué)，其核心就是問題情境；布魯納提出的發(fā)現(xiàn)法也主張創(chuàng)設(shè)問題情境。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，就是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性數(shù)學(xué)信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪思維，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚醒強烈的問題意識，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題。［10］創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫秤兄趯W(xué)生理解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要策略。

創(chuàng)設(shè)問題情境，不僅要有利于學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)和提出問題，也要關(guān)注情境的現(xiàn)實性與數(shù)學(xué)性。教師在創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實際生活相關(guān)的問題情境時，必須注意情境的真實性，不能出現(xiàn)常識性錯誤，不可違背事實。從實際情境中提出數(shù)學(xué)問題時，常需進行恰當(dāng)?shù)暮喕c假設(shè)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷這一提出問題的重要環(huán)節(jié)，而不是將已經(jīng)簡化得不符合現(xiàn)實的情境直接展現(xiàn)給學(xué)生，否則反而會影響學(xué)生探究的積極性。

4.營造和諧氛圍，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑提問。

縱觀中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，會發(fā)現(xiàn)小學(xué)生常常很積極地回答教師提出的問題，并且很渴望有機會表達自己的想法。而隨著年齡增長，中學(xué)生尤其是高中生，似乎不太愿意在課堂上舉手發(fā)言，主動發(fā)現(xiàn)和提出問題的頻率也有所降低。學(xué)生不愿提問、提不出問題，其實與教師的教學(xué)方式和課堂氛圍有很大關(guān)系。美國心理學(xué)家羅杰斯曾指出，一個人的創(chuàng)造力只有在感覺到“心理安全”和“心理自由”的條件下，才能獲得最優(yōu)表現(xiàn)和發(fā)展。所以，教師應(yīng)該營造和諧安全的課堂氛圍，給予學(xué)生自由的思考空間，讓學(xué)生在融洽的師生關(guān)系中，敢于、樂于表達自己的想法，提出感興趣的問題，創(chuàng)造性地發(fā)揮潛能。

有些學(xué)生會認(rèn)為提出問題是教師的事，教師提的、書上給的就一定是好問題，這些錯誤觀念都會阻礙學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題。為破除“唯書”“唯師”的思維定勢，教師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生思考、質(zhì)疑，多給學(xué)生提問的機會。即使有時學(xué)生提出的問題可能不太理想，但學(xué)生提問的行為還是值得鼓勵的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更有價值的問題，而不是直接回避或否定學(xué)生的問題，否則會打擊學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的積極性與自信心。

5.教師自身提出和解決問題的能力也有待提高。

“要給學(xué)生一杯水，教師得有一桶水?！睘榱伺囵B(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，教師也應(yīng)注重提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、問題意識與創(chuàng)新思維能力，這樣才能給予學(xué)生更有效的幫助。模仿是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種重要方式，這同樣也適用于對創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。教師可以向?qū)W生示范發(fā)現(xiàn)和提出問題的思維過程，讓學(xué)生在模仿中反思與創(chuàng)新，逐漸學(xué)會如何發(fā)現(xiàn)并提出問題。教師提高自身提出和解決問題的能力，也有助于更準(zhǔn)確地判斷學(xué)生的困難所在，更科學(xué)合理地應(yīng)對學(xué)生提出的問題。

從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題始終是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。本文對如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題進行了理性思考，希望數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實踐中更加重視培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，進行更有效的數(shù)學(xué)教學(xué)。