蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家A.A.斯托利亞爾提出了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)觀。［1］我國著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師張乃達(dá)先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)上是一種思維活動(dòng)，沒有了積極的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也就失去了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，因此，學(xué)生是否展開了積極的思維活動(dòng)應(yīng)該是評(píng)價(jià)課的成敗的根本標(biāo)準(zhǔn)?！彼貏e強(qiáng)調(diào)：“沒有問題就沒有思維。數(shù)學(xué)思維就是以數(shù)學(xué)問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式，達(dá)到對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的一般性認(rèn)識(shí)的思維過程?！保?］因此，我們可以有這樣的結(jié)論：問題不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，而且也是數(shù)學(xué)教學(xué)的載體；發(fā)現(xiàn)問題、解決問題不僅是數(shù)學(xué)研究的基本過程，而且是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本過程。

現(xiàn)在的問題是：如何理解基于學(xué)生提出問題的數(shù)學(xué)教學(xué)？

一、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題”的認(rèn)識(shí)

一般地看，數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題通常有兩類，一類是為解決現(xiàn)實(shí)世界、社會(huì)生活中的需要而提出的問題，一類是為解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾沖突或?yàn)榻鉀Q研究數(shù)學(xué)問題的過程中所出現(xiàn)的困難、疑難而提出的問題。前者要在實(shí)際問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象、概括等思維操作而形成，后者是從原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過邏輯和直覺的手段而獲得。不管問題來自哪一個(gè)渠道，數(shù)學(xué)問題總是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物。

數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問題”應(yīng)該是可以由學(xué)生自己提出的，或者說是能夠由學(xué)生自己提出的。對(duì)此，可從兩方面說明。

一方面，問題應(yīng)該是由情境中自然產(chǎn)生，或由數(shù)學(xué)的邏輯，或由認(rèn)知的傾向自然生成，也就是說，一節(jié)課中的諸多“問題”應(yīng)該是有邏輯關(guān)聯(lián)或認(rèn)知聯(lián)系的“問題鏈”。提出問題、解決問題的過程是數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)建構(gòu)，或者說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維過程，這個(gè)思維過程是具有很強(qiáng)的聯(lián)系性和延續(xù)性的。例如，在教學(xué)“數(shù)集的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”時(shí)，先介紹教材引言中意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在其著作《大術(shù)》一書中給出的這樣一個(gè)著名的問題：把10分成兩個(gè)部分，使這兩部分之積為40。學(xué)生根據(jù)初中知識(shí)認(rèn)為：方程x2-10x+40=0沒有解。于是提出問題：

問題1：方程x2-10x+40=0真的沒有解嗎？“方程沒有解”的意義是什么呢？

對(duì)此，我們提出“一連串”的問題：

方程2x=3，對(duì)于一個(gè)只知道整數(shù)的小學(xué)生來說一定是沒有解的，它真的沒有解嗎？

方程x+1=0，對(duì)于一個(gè)只知道非負(fù)數(shù)的小學(xué)生來說一定是沒有解的，它真的沒有解嗎？

方程x2=2，對(duì)于一個(gè)只知道有理數(shù)的初中一年級(jí)的學(xué)生而言一定是沒有解的，它真的沒有解嗎？

這使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：方程是否有解取決于數(shù)的范圍，在原來數(shù)集范圍內(nèi)無解的方程可以在擴(kuò)充后的數(shù)集中有解。于是自然就提出了：

問題2：對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得例如x（10-x）=40之類的方程在新的數(shù)集中有解，有這個(gè)必要嗎？

回到數(shù)學(xué)文化背景之下：1572年出版的意大利工程師邦貝利（Rafael Bombelli）的著作《代數(shù)學(xué)》一書中，邦貝利運(yùn)用卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）的三次方程的求根公式（史稱“卡爾達(dá)諾公式”）求方程x3=15x+4的解時(shí)，求得了它的兩個(gè)根而第3個(gè)根寫成了這樣的形式：邦貝利發(fā)現(xiàn)，這個(gè)三次方程顯然有一個(gè)解x=4，這說明應(yīng)該有

問題3：怎樣對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充呢？

回顧數(shù)學(xué)學(xué)科中“數(shù)的擴(kuò)充”過程，要求學(xué)生通過從有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的過程，探索“數(shù)集擴(kuò)充”的基本原則。在此基礎(chǔ)上提出：

問題4：怎樣對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，能夠使得卡爾達(dá)諾方程有解呢（也即負(fù)數(shù)可以開平方）？（以下略）

上述問題1問題4，是有著邏輯關(guān)聯(lián)、逐層遞進(jìn)的，是遵循數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)思維的基本規(guī)律的前提下的邏輯必然。因此，它們“應(yīng)該”能夠由學(xué)生“自己”提出來。

另一方面，教學(xué)過程中提供給學(xué)生進(jìn)行研究的素材（原型、背景等），以及引領(lǐng)學(xué)生持續(xù)研究的問題的難度、深度、廣度都應(yīng)該是與學(xué)生的認(rèn)知能力相適應(yīng)的，是處于最近發(fā)展區(qū)的，是經(jīng)過充分的準(zhǔn)備，以便于學(xué)生產(chǎn)生心理需求和沖動(dòng)（建構(gòu)新知識(shí)的必要性）和建立必要的心理原型。比如，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念的起始課上，教師直接提出問題“什么是函數(shù)”，這對(duì)于學(xué)生而言根本就不是問題，學(xué)生會(huì)感到非常茫然。這就需要我們?yōu)閷W(xué)生提供背景性的材料，通過將難以直接測量的量轉(zhuǎn)化為可以直接測量的量的現(xiàn)實(shí)原型，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)到構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型的必要性的同時(shí)，感受到變化過程中的兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的必備特征，從而就能夠“自己”提出這個(gè)問題。

當(dāng)然，還有一類數(shù)學(xué)教學(xué)中的“細(xì)節(jié)”方面的問題，就是學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的疑惑、難題，甚至錯(cuò)誤。盡管是“細(xì)節(jié)”，但對(duì)課堂的進(jìn)程也是非常重要的，不僅如此，它們對(duì)學(xué)生思維能力、思維品質(zhì)等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著更為重要的價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)問題是怎樣產(chǎn)生的

從數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)發(fā)展的視角審視，有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題通常有以下產(chǎn)生的方式。

現(xiàn)實(shí)的需求：土地丈量，產(chǎn)生研究圖形及其性質(zhì)、度量等問題。

理論研究的需要：解方程的需要，分別產(chǎn)生了需要引入“新數(shù)”的問題，從而引入了負(fù)數(shù)、虛數(shù)；研究用正方形的邊長表示其對(duì)角線長的問題，產(chǎn)生了與已有的“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)觀的沖突，形成了重大的數(shù)學(xué)危機(jī)。

數(shù)學(xué)研究的“規(guī)范”：研究數(shù)學(xué)對(duì)象就要研究其運(yùn)算。例如，引進(jìn)了“向量”的概念后，自然就會(huì)提出問題：向量的運(yùn)算如何定義？

數(shù)學(xué)文化的影響：三大作圖問題只可能產(chǎn)生于古希臘文化之中，在古代的東方文化中，是不可能產(chǎn)生這樣的問題的。因?yàn)樵谥貙?shí)用的東方文化中，根本沒有如此強(qiáng)烈的抽象意識(shí)和演繹的要求，更沒有公理化的思想，而這一切正是“尺規(guī)作圖不能問題”產(chǎn)生的文化基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)審美：這是數(shù)學(xué)家共同的價(jià)值觀，總是追求至“美”。數(shù)學(xué)家希望從不同的事物中看到共同點(diǎn)，從紛亂中看到秩序，從復(fù)雜的事物中看到簡單，從對(duì)立中看到和諧，從多樣化中看到統(tǒng)一。而追求和諧、統(tǒng)一和簡單的本質(zhì)就是追求美，這是數(shù)學(xué)家的價(jià)值觀使然，是由他們的審美直覺決定的。

邏輯或直覺分析：通過推理（邏輯推理或合情推理）的方式，演繹出新的數(shù)學(xué)問題。例如，愛因斯坦的“探索性演繹法”充分體現(xiàn)了邏輯與直覺在探索思維過程中的重要作用。

認(rèn)知沖突或觀念沖突：如上文所述，如果不是三次方程根的問題引發(fā)的問題沖突，僅僅是某一元二次方程不存在實(shí)數(shù)根，是不會(huì)引發(fā)問題意識(shí)的，也不會(huì)產(chǎn)生需要引進(jìn)新數(shù)的需求的。正如《虛數(shù)的故事》的作者保羅·J·納欣所言：“任何一元二次方程都沒有使任何數(shù)學(xué)產(chǎn)生需要進(jìn)行數(shù)集擴(kuò)充的沖動(dòng)，他們都是直接給出‘這個(gè)方程沒有根’就算了?！碧摂?shù)的產(chǎn)生源于被稱為“不可約方程”的三次方程。

數(shù)學(xué)家提出問題的方式對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何在課堂上提出問題，特別是如何讓學(xué)生主動(dòng)而自然地提出問題，特別是有價(jià)值的問題是非常重要的。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中“學(xué)生提出問題”的價(jià)值

數(shù)學(xué)家把提出問題和解決問題作為數(shù)學(xué)研究的基本過程，那么，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該組織成提出問題和解決問題的過程，把數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用都看成是提出問題和解決問題的活動(dòng)，從而形成“提出問題——解決問題——提出新問題……”的教學(xué)結(jié)構(gòu)。

在上述教學(xué)結(jié)構(gòu)中，每個(gè)過程不是獨(dú)立的、割裂的，而是綜合的、交叉的，相互之間你中有我，我中有你：提出問題的過程中可能局部地需要解決一些問題，否則提不出有價(jià)值的問題，而解決問題的過程中也需要不斷地提出一些子問題或輔助性的問題，將問題重新歸結(jié)或轉(zhuǎn)化。從這個(gè)意義上看，解決問題的過程與提出問題是密切相關(guān)的，解決問題的能力（用數(shù)學(xué)的思維分析問題的能力）歸根到底還是提出問題的能力：提出一個(gè)類似的問題、一個(gè)相關(guān)的問題、一個(gè)等價(jià)性問題、一個(gè)輔助性問題、一個(gè)特殊性問題……

“提出問題”也就是發(fā)現(xiàn)問題。如果是從現(xiàn)實(shí)背景中提出問題，那么，其心理過程（思維過程）就是抽象、概括等，用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)；如果是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，那么其心理過程就是歸納、類比、分析等推理性思維，是對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的推廣、延拓、引申，或是對(duì)數(shù)學(xué)推理所形成的“邏輯矛盾”的反思和消解。當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)中還有可能因?yàn)殄e(cuò)誤地運(yùn)用受限制的命題，或思維過程的不嚴(yán)謹(jǐn)，也會(huì)產(chǎn)生結(jié)論的“沖突”，也就會(huì)形成教學(xué)中的“意外”性的問題，這類問題的發(fā)現(xiàn)則需要進(jìn)行溯源、比對(duì)性驗(yàn)證等思維活動(dòng)。

基于以上分析，我們可以看到，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中學(xué)生參與提出問題是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值的基本要求和有效路徑。因?yàn)閷W(xué)生參與了數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)過程中的“提出問題”的過程，學(xué)生也就經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家的探索過程，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)的歷史過程。這不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)生成過程，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過程，更是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念的發(fā)展過程，因此，學(xué)生提問題是最好的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、滲透數(shù)學(xué)思想、發(fā)展數(shù)學(xué)觀念的形式。用不同的思維方式、經(jīng)歷各種提出問題的心理過程，可以不斷地完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升其學(xué)科素養(yǎng)和核心能力。

四、學(xué)生提出問題的教學(xué)條件

怎樣培養(yǎng)學(xué)生提問題的能力？怎樣讓學(xué)生能夠主動(dòng)地參與提問題、提出有價(jià)值的問題？

從思維過程看，發(fā)現(xiàn)問題與提出問題表現(xiàn)為“意識(shí)到并表述出問題”，因此，提出問題特別是提出新問題的能力是一種高級(jí)思維能力（當(dāng)然，問題有不同層次，這里所指為有較高數(shù)學(xué)價(jià)值的問題），從某種意義上說，這是創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。緣于此，培養(yǎng)提出問題的能力是一項(xiàng)難度很大的工作。

那么，怎樣培養(yǎng)學(xué)生提問題的能力呢？

循序漸進(jìn)是一項(xiàng)基本要求，這里不再闡述，主要從一些基本條件的創(chuàng)設(shè)上談一點(diǎn)個(gè)人的看法，供參考。

1.形成問題情境，創(chuàng)造學(xué)生自己提問題的思維場。

提出問題需要背景性的、經(jīng)驗(yàn)性的感性認(rèn)知的支撐，而獲取這些經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知的方式正是提出問題的能力基礎(chǔ)。教學(xué)中，需要先提供較為豐富的經(jīng)驗(yàn)性材料以使學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，誘發(fā)其產(chǎn)生提問題的心理傾向，逐步地學(xué)會(huì)提問題的方式，形成并發(fā)展提問題的能力，從而增強(qiáng)提問題的意識(shí)。說到底，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提問題，就是要在教學(xué)過程中充分暴露發(fā)現(xiàn)問題，并由其引導(dǎo)再提出問題的思維過程。

例如，初中數(shù)學(xué)中“圓周角”的概念，如果沒有基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的支撐，學(xué)生是沒有提出這個(gè)問題的心理需求的，是想不到提出這個(gè)問題的，更不理解教師或教材怎么想到要考察角的頂點(diǎn)在圓周上、角的兩邊與圓周相交的角的。因此，教學(xué)中應(yīng)該先從圓心角及其性質(zhì)出發(fā)，根據(jù)數(shù)學(xué)的價(jià)值觀念和審美需求，提出第一個(gè)問題：在圓所在平面內(nèi)是不是還存在其他的點(diǎn)，其對(duì)同弧或等弧張定角？（發(fā)現(xiàn)變化之中的不變性、多樣中的統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)家們的價(jià)值觀所在）；再通過“幾何畫板”（或其他軟件）進(jìn)行探索（角所對(duì)弧不變，角的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中將角的大小測量并顯示出來），發(fā)現(xiàn)當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，角的大小不變，有了這些感性認(rèn)識(shí)，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生這樣的想法：真的是定值嗎？怎樣證實(shí)這個(gè)結(jié)論呢？如果證實(shí)了這個(gè)猜想，那么這樣的角就非?！疤貏e”了，需要給它們“起個(gè)名字”了。在這里，所提問題不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，是在學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累后的自然行為。

2.暴露數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的思維方法，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

比如，“反思”是提出問題的重要的思維形式，而且是能夠提出較為深刻的問題的重要途徑，不僅如此，它也是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成數(shù)學(xué)意識(shí)與觀念的有效手段。這是因?yàn)?，人們尤其是學(xué)生，總是習(xí)慣于運(yùn)用常識(shí)或直覺進(jìn)行判斷，并且對(duì)所作出的結(jié)論很少懷疑，這緣于他們的理性精神，或者說科學(xué)精神還不強(qiáng)，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)。引導(dǎo)反思，運(yùn)用反思發(fā)現(xiàn)問題正是增強(qiáng)學(xué)生的理性精神的基本路徑。例如，在講“直線與平面垂直”的概念時(shí)，教師通常用操場上的旗桿與地面、跳水運(yùn)動(dòng)員入水時(shí)身體的最佳形態(tài)與位置等，讓學(xué)生感受到“線面垂直”的意象，確實(shí)，學(xué)生們也大多能夠“正確”回答出“線面垂直”的答案，但對(duì)于“什么叫作線面垂直？”“怎樣才是線面垂直？”“為什么這樣就是線面垂直？”等問題，學(xué)生是不容易回答的。教師的任務(wù)就是追問學(xué)生這些問題，如果學(xué)生從教材上找到答案（定義），就要繼續(xù)追問：“為什么要直線垂直于平面內(nèi)的所有的直線？”引導(dǎo)學(xué)生類比平面內(nèi)的線線垂直的概念，“為什么要求相交直線所成的四個(gè)角中有一個(gè)角為90°”？

這個(gè)過程看似是教師在提問題，實(shí)質(zhì)是在培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)質(zhì)疑自己的或別人的觀點(diǎn)，讓質(zhì)疑成為習(xí)慣，反思成為自然。特別地，對(duì)自己的直覺，或根據(jù)常識(shí)做出的判斷，即對(duì)自己的思維進(jìn)行再思維的思維監(jiān)控機(jī)制，是學(xué)生思維品質(zhì)的提升與完善。這一切，都是為了提高學(xué)生自己提問題的能力。

在教學(xué)過程中，要在創(chuàng)造學(xué)生自己提問題的條件的同時(shí)，還要注重對(duì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的思想方法的滲透，逐步地提升提問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。