孫 滌

一、邵康節(jié)的“加一倍法”

北宋的易學(xué)大家邵雍在易卦整體結(jié)構(gòu)的探究上達(dá)到了超越前賢的高度，他制定的“伏羲六十四卦圓方圖”是一座巔峰。其為易卦排序所遵循的方法，歷來人稱“加一倍法”，然而對(duì)內(nèi)中的機(jī)理和邏輯，尚無一致和妥帖的解說。比邵雍略晚的大儒程顥算是慧眼獨(dú)具，曾評(píng)述道：“堯夫之?dāng)?shù)，只是加一倍法。以此知《太玄》都不濟(jì)事。”他認(rèn)為“加一倍法”要比揚(yáng)雄的太玄數(shù)更高卓。邵雍聽了程顥這番“識(shí)貨”的話，驚而撫其背曰：“大哥，你恁聰明！”*蔡元定亦云：“康節(jié)之學(xué)，雖作用不同，而其實(shí)則伏羲所畫之卦也，明道所謂加一倍法也?！?/p>

可是“加一倍法”更深層次的奧義，前代幾乎無人述及的，是邵雍把六十四個(gè)易卦“加了一倍”，拓展成(26)2=(64)2，計(jì)有4096種變化。因?yàn)闊o論陰爻還是陽爻，又有可變與不可變之分。在此有必要先弄清楚，邵雍之“加一倍法”的真實(shí)含義不是簡(jiǎn)單地乘二加倍，而是二乘方。

欲準(zhǔn)確把握“加一倍法”的真意，尤其要在應(yīng)用上避免偏誤，還得從解讀“大衍筮法”入手。由大衍筮法筮得的是四個(gè)隨機(jī)數(shù)：6、8、7、9，其中6和8代表陰爻(6為可變之陰爻，8為不可變陰爻)，9和7代表陽爻(9為可變之陽爻，7為不可變陽爻)。這就是說，同為陰爻，有6和8兩種可能，同為陽爻也有9和7兩種可能。如此，每一個(gè)卦的六條爻，又包含著26=64種變化。六十四個(gè)易卦總共有4096種變化。以三爻的坤卦為例，可以是666(全是可變陰爻)，也可以是888(全為不可變陰爻)，也可以是668、686、866、688、868、886，一共有23=8種變化。坤上坤下的六爻坤卦是兩個(gè)地卦的疊加，故有8×8=(23)2=64種變化。

在此之前，先來回顧一下人類思想史上的一個(gè)著名片段，為其佐證。引進(jìn)新的解析工具和更新認(rèn)知的觀念方法，對(duì)于易學(xué)的現(xiàn)代探索，有著非同尋常的意義。

二、“加一倍法”與二進(jìn)制算法

萊布尼茨在1703年4月1日讀到了在中國傳教的耶穌會(huì)士、法國人白晉*白晉(Joachim Bouvet)，1656年生于法國勒芒市，1686年被法皇路易十四選派為首批六名來華耶穌會(huì)士之一，于1688年抵達(dá)北京。作為親善大使，白晉直接溝通路易十四和康熙兩位君主，并深受器重，在《易經(jīng)》探究上同康熙的切磋尤其頻繁。他通過與萊布尼茨的通信往返切磋，對(duì)二進(jìn)制的開創(chuàng)有著(間接的)歷史性貢獻(xiàn)。雍正八年(1730)卒于北京。從北京寄給他的邵雍所制“伏羲六十四卦圓方圖”，頓時(shí)明白，“加一倍法”與他專研的二進(jìn)制算法是高度契合的。白晉是當(dāng)時(shí)屈指可數(shù)的漢學(xué)大師，他向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統(tǒng)。萊布尼茨認(rèn)為陰、陽基本上就是他終身在探究的二進(jìn)制的漢文明版本，并嘗試用二進(jìn)制算法替八卦(三爻)和六十四個(gè)易卦作數(shù)字“身份認(rèn)定”，從而排出了卦序的編號(hào)。

圖1

萊布尼茨專研和制定二進(jìn)制算術(shù)的努力始于1670年代，他的相關(guān)論文則正式發(fā)表于1703年，而且終其一生都在不斷推進(jìn)和改善。1697至1707年間，萊布尼茨和白晉通過書信往返，在《易經(jīng)》探索上有長(zhǎng)期的交流，其中至少有十五封書信現(xiàn)保存在德國圖林根的圖書館和漢諾威的萊氏文獻(xiàn)館。萊布尼茨懷著高度興趣研讀了白晉郵寄給他的易經(jīng)《先天圖》(即由邵雍率先披露、托名伏羲的《伏羲六十四卦次序圖》和《伏羲六十四卦方位圖》)，并迅即給出了八個(gè)三爻卦和所有六十四個(gè)易卦的二進(jìn)制編號(hào)(見圖1)*圖1為萊布尼茲所見到的邵雍“伏羲先天圓圖”和“伏羲先天方圖”，系由耶穌會(huì)士白晉隨信寄給他的原圖。該信1701年11月4日寫于北京，估計(jì)在1702年秋間送達(dá)德國漢諾威，但直到1703年4月1日方才為萊布尼茨讀到。萊氏閱后大喜過望，因?yàn)橐棕越Y(jié)構(gòu)明顯展現(xiàn)出其蘊(yùn)涵的數(shù)理與自己專研了二十余年的二進(jìn)制算法如出一轍。萊布尼茨于次日立即回復(fù)，詳細(xì)記錄了白晉有關(guān)這兩個(gè)系統(tǒng)具有同一性的發(fā)見以及自己的一些思考。隨后，萊氏于5月5日寄出他受到此圖啟發(fā)后修改完成的里程碑意義的論文，同年發(fā)表于法蘭西皇家學(xué)院學(xué)刊。該論文的初稿曾于兩年前投稿法蘭西皇家學(xué)院，由于缺乏應(yīng)用實(shí)例和歷史依據(jù)，被質(zhì)疑其可用性而遭到擱置。白晉提供的易經(jīng)圖及應(yīng)用佐證，幫助萊氏完成并成功發(fā)表了論文。。

在白晉提供的邵雍伏羲先天圖的啟發(fā)下，萊布尼茲從易卦的卦象得出了二進(jìn)制編號(hào)，不禁為之驚喜。他在給白晉的回信中寫道：“我發(fā)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)是二十年前。到今天我才發(fā)現(xiàn)……中國人在四千年前，已經(jīng)了解到0與1的二元數(shù)學(xué)了?！倍l(fā)表于1703年的那篇?jiǎng)潟r(shí)代論文的完整題目為《二進(jìn)制算術(shù)的解釋——只用0和1符號(hào)，兼及它的一些應(yīng)用，以及對(duì)中國古代伏羲圖像的破解》。足見萊布尼茨關(guān)于二進(jìn)制的思考，與邵雍的象數(shù)和圖的確是息息相通的。

那么，萊布尼茲是怎樣用他首創(chuàng)的二進(jìn)制算法來得到易卦的排序的？同“加一倍法”一般無二，萊氏以陽爻為1，陰爻為0，自上而下逐爻加倍來算出的。最簡(jiǎn)單的,如坤卦的000000，排序?yàn)?(0×20+0×21+0×22+0×23+0×24+0×25=0)；乾卦111111的排序則是63(1×20+1×21+1×22+1×23+1×24+1×25=63)。 然而，既濟(jì)的010101，六條爻自上而下為0、1、0、1、0、1，排序又是多少呢？是0×20+1×21+0×22+1×23+0×24+1×25=42。如此可以很容易驗(yàn)證，圖1里萊布尼茨給出的屯卦的010001和蒙卦的100010的排序分別是34和17，而否卦的111000和泰卦的000111排序則分別為7和56(結(jié)果見圖2)。

圖2

從坤卦0、剝卦1直到姤卦31逆時(shí)針排成圓圖的右半圈，然后從復(fù)卦32、頤卦33直至乾卦63，順時(shí)針排成圓形的左半圈。邵雍的伏羲先天圓圖實(shí)為“兩儀相逆”排列的結(jié)果*見圖1中萊布尼茨手寫的頁碼。27、28是倒著寫的，表明萊氏已深諳“兩儀相逆”之理。。非常有意思的是，經(jīng)過圓心的連線聯(lián)接的兩卦成為一對(duì)，其排序之和必為63。這樣構(gòu)成的32對(duì)卦里，只有8對(duì)(坤乾、小過中孚、坎離、大過頤，以及否泰、漸歸妹、未濟(jì)既濟(jì)、蠱隨)，在《周易》里原來就構(gòu)成對(duì)卦，其余的24對(duì)都不是。這又是為什么呢？

再來看萊布尼茨對(duì)八個(gè)純卦(三爻)的排序：地0—山1—水2—風(fēng)3—雷4—火5—澤6—天7，與邵雍在伏羲先天方圖里的排序(漢文數(shù)目字)正相逆。但是，兩種排序的相對(duì)位置則是相同的。若萊氏以陰爻為1、陽爻為0的話，排出的八卦序就幾乎跟邵雍完全一樣，將是地7—山6—水5—風(fēng)4—雷3—火2—澤1—天0。生活在歐陸文明的人，單一起源的宇宙觀，猶太基督教的單一神主宰的范式是非常強(qiáng)有力的。萊布尼茨因而只能作另一選擇，即以陽爻為1，為至上的單一神所代表的宇宙最高的秩序和善；而以陰爻為0，表示混亂、渙散、虛無、不完善、甚至邪惡，總之，沒有結(jié)構(gòu)可言。況且，天排在7，與西方固有的價(jià)值信仰并無出入，7在他們是個(gè)“圣數(shù)”，上帝造了六天的世界之后，第七天(星期天)是個(gè)休息日。

在萊氏排序里，山卦的排序?yàn)?。那么山1又是如何計(jì)算出來的呢？山卦的二進(jìn)制代碼是100，按規(guī)范的二進(jìn)制算法，其排序應(yīng)當(dāng)是0×20+0×21+1×22=4。萊布尼茨作出的“妥協(xié)”，是倒過來計(jì)算的，即自上而下逆向地“加一倍法”。也就是，以上爻位為初位，乘數(shù)為20=1，而以初爻位為最高的第三位，乘數(shù)為22=4計(jì)算出來的，結(jié)果序號(hào)才可能是1×20+0×21+0×22=1。問題是，倒過來看還是山卦嗎？它不就成了序號(hào)為1的雷卦001？同理，邵雍與萊氏排序中的雷4，按照規(guī)范的二進(jìn)制算法，排序理當(dāng)為雷1；而風(fēng)3和澤6則分別應(yīng)當(dāng)是風(fēng)6和澤3。換言之，八卦里面倒有一半排序發(fā)生了問題(見圖3)*該圖摘引自萊布尼茨于1703年發(fā)表于法國皇家學(xué)會(huì)學(xué)刊的二進(jìn)制算法的論文，該論文在科學(xué)史上具有里程碑的意義。其中萊氏替被他稱作二進(jìn)制算法源頭的中國遠(yuǎn)古圣賢伏羲氏智慧的八卦，排了卦序?？梢钥吹?，萊氏所作的“妥協(xié)”，是他把卦象豎了起來，這在伏羲先天圖里是未曾有過的。結(jié)果，排為1的卦象究竟是山卦還是雷卦，于是含混起來(排序?yàn)?、4、6的卦象也是如此)。這個(gè)妥協(xié)帶來的含混產(chǎn)生了一系列后果，引致各種誤導(dǎo)。譬如，對(duì)太極圖里八卦的方位解讀問題。這里討論的自下而上與自上而下的差別，在八卦方位的環(huán)圖中，則是卦象究竟應(yīng)該從外向環(huán)心看，還是從里朝環(huán)周看？對(duì)于萊氏豎著的卦象，問題卻變?yōu)樨韵髴?yīng)該是從右到左，還是從左到右來看？。

圖3

這個(gè)問題蔓延到全部的六十四個(gè)易卦。譬如，否卦111000的排序應(yīng)當(dāng)是7(萊布尼茨的)，還是56(二進(jìn)制數(shù)值法的)？與否卦成對(duì)的泰卦，排序究竟是7還是56？再以《周易》里的屯卦3—蒙卦4為例分析，萊氏及邵雍的排序，是屯卦34—蒙卦17，而在正規(guī)的二進(jìn)制數(shù)值排序里，理應(yīng)為屯卦17—蒙卦34！

這個(gè)困擾的肇因，絕不僅僅是簡(jiǎn)單的算法技術(shù)問題，而是思考觀察的分析框架所致，背后有著文化和觀念的深厚積淀。萊布尼茨受此困擾，放棄了繼續(xù)深入挖掘。但是誰又想得到，這個(gè)問題竟得拖延三百余年，到今天才來解答呢？筆者將在另處，以“易學(xué)的現(xiàn)代詮釋”、“易卦結(jié)構(gòu)與二進(jìn)制的關(guān)系”等為題，展開深入辨析。

三、大衍筮法辨析

大衍筮法又稱揲蓍法、蓍占，或直接稱作周易占法，是載入《周易》原文的唯一筮法。歷朝歷代的易學(xué)家們口授心傳的依據(jù)，是《易傳·系辭》里的一段原文(《大衍之?dāng)?shù)五十》章及原注)*《易傳·系辭上》“大衍之?dāng)?shù)五十”章：“大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時(shí)，歸奇于扐以象閏，五歲再閏故再扐而后掛。天數(shù)五，地?cái)?shù)五，五位相得而各有合。天數(shù)二十有五，地?cái)?shù)三十。凡天地之?dāng)?shù)五十有五，此所以成變化而行鬼神也。乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當(dāng)期之日。二篇之策萬有一千五百二十，當(dāng)萬物之?dāng)?shù)也。是故四營而成易，十有八變而成卦，八卦而小成，引而伸之，觸類而長(zhǎng)之，天下之能事畢矣?！?。

筮占之“筮”，從竹從巫，“竹”代表草木，“巫”代表占卜。筮是用植物進(jìn)行的預(yù)測(cè)，卜則是用動(dòng)物做的預(yù)測(cè)。蓍占以蓍草為工具來指導(dǎo)“風(fēng)險(xiǎn)決策”，而卜則以龜甲、獸骨作為工具?！墩f文》有曰“筮，易卦用蓍也”，反映了西周時(shí)代就很流行的蓍筮文化。蓍占在早期是與龜卜并重的?！吨芤住反笱荏叻ǖ玫街匾?，得以廣泛流傳和使用，與孔子及其門人作《易傳》并推崇蓍占有很大的關(guān)系，龜卜的方法漸漸失傳了。

圖4

筮占所用的道具是蓍草，一種長(zhǎng)于西伯利亞和中國北方的多年生直立篙類植物。河南淮陽的伏羲太昊陵有蓍草園，但蓍草只生于那個(gè)園地的說法，并不確實(shí)。筮占是用50莖經(jīng)過香薰的、長(zhǎng)約尺許的干蓍草來進(jìn)行的占卜，因其方法基于“大衍之?dāng)?shù)”，又被稱為“大衍筮法”。本質(zhì)上，筮占是借“植物靈性”來“溝通天意”的(圖4)。

大衍筮法是八卦系統(tǒng)的四象筮法，得到的6、7、8、9四個(gè)數(shù)，6為可變之陰爻，9為可變之陽爻；7為不可變之陽爻，8為不可變之陰爻。這里的“可變”有待變之意，陰陽轉(zhuǎn)換——6待變?yōu)?，9待變?yōu)?。

就其實(shí)質(zhì)而言，大衍筮法的過程是一個(gè)“隨機(jī)發(fā)生器”。問題在于，得到6、7、8、9這四個(gè)隨機(jī)數(shù)的概率分別是多少呢？下文的分析推導(dǎo)得出結(jié)論：同為陰爻，得到可變陰爻6的概率是1/16，得到不可變陰爻8的概率則為7/16；同為陽爻，得到可變陽爻9和不可變陽爻7的概率，分別是3/16和5/16*邵雍曰：“大衍之?dāng)?shù)，其算法之原乎？是以算數(shù)之起，不過乎方圓曲直也。乘數(shù)，生數(shù)也。除數(shù)，消數(shù)也。算法雖多，不出乎此矣?！?邵雍著，黃畿注，衛(wèi)紹生校理：《皇極經(jīng)世書》卷七上《觀物外篇上·河圖天地全數(shù)第一》，鄭州：中州古籍出版社，1993年，第311頁)沈括《夢(mèng)溪筆談》卷七《象數(shù)一》：“《洪范》‘五行’數(shù)，自一至五。先儒謂之此‘五行生數(shù)’，各益以土數(shù)，以為‘成數(shù)’。以謂五行非土不成，故水生一而成六，火生二而成七，木生三而成八，金生四而成九，土生五而成十，合之為五十有五。唯《黃帝素問》：‘土生數(shù)五，成數(shù)亦五?！w水、火、木、金皆待土而成，土更無所待，故止一五而已。畫而為圖，其理可見。為之圖者，設(shè)木于東，設(shè)金于西，火居南，水居北，土居中央。四方自為生數(shù)，各并中央之土，以為成數(shù)。土自居其位，更無所并，自然止有五數(shù)，蓋土不須更待土而成也。合五行之?dāng)?shù)為五十，則大衍之?dāng)?shù)也。此亦有理。揲蓍之法：四十九蓍，聚之則一，而四十九隱于一中；散之則四十九，而一隱于四十九中。一者，道也。謂之無，則一在；謂之有，則不可取。四十九者，用也。靜則歸于一，動(dòng)則惟睹其用，一在其間而不可取。此所謂‘大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十有九’。”(沈括撰，胡道靜校注：《新校正夢(mèng)溪筆談》，北京：中華書局，1957年，第78頁)。

大衍筮法產(chǎn)生的隨機(jī)結(jié)果，不加細(xì)辨的話，很容易誤以為得到這四個(gè)數(shù)的幾率是相等的，均為1/4?；蛘咦⒁獾搅舜笱荏叻ㄉ梢回承杞?jīng)過“三變”，三個(gè)階段的組合之后，得到6、7、8、9四個(gè)數(shù)的概率分別為1/8、3/8、3/8、1/8。雖說這幾種替代大衍筮法的簡(jiǎn)化辦法，得到陰爻和陽爻(可變+不可變的)的概率，都還是各半(1/2)，然而其間微妙的變化，可以導(dǎo)致非常懸殊的結(jié)果。

厘清大衍筮法獲得6、7、8、9四個(gè)數(shù)的(隨機(jī))準(zhǔn)確概率，非常之有必要。畢竟，在《易傳》里得到奠基的卦辭、象辭、爻辭，以及各家的詮釋，所依據(jù)的都是大衍筮法的蓍占結(jié)果*諸多占卦預(yù)測(cè)的方法里，大衍筮法始終占據(jù)著主導(dǎo)地位?！蹲髠鳌?、《國語》中記載的二十多則先秦筮案均為大衍筮案。后世以預(yù)測(cè)精確著稱的管輅、郭璞等高人所用的無不是大衍筮法，北宋的陳摶和邵雍用的也都是大衍筮法。近代如易學(xué)大家尚秉和先生的《筮案輯存》，數(shù)十則案例無一不是大衍筮案。。不嚴(yán)格按照大衍筮法生成爻和卦的概率，會(huì)對(duì)易卦的詮釋造成很大的偏誤。其他的概率，包括變通簡(jiǎn)化方法得到的，如果不作相應(yīng)的調(diào)整，很可能導(dǎo)致謬以千里的解卦結(jié)論和估測(cè)判斷。

歷來對(duì)大衍筮法產(chǎn)生的隨機(jī)結(jié)果有種種偏誤的理解，并不奇怪。大衍筮法的過程莊嚴(yán)繁瑣，不只令現(xiàn)代人感到茫然，古人也一定覺得很撓頭。朱熹不愧為不世出的大學(xué)者，他經(jīng)過執(zhí)著精細(xì)的研析，暗示出了6、7、8、9四個(gè)數(shù)，即可變之陰爻、不可變之陽爻、不可變之陰爻、可變之陽爻的得到概率是不平衡的，即所謂“可變之爻常少而不可變之爻常多”的道理*朱熹曰：“六爻皆不變，占本卦彖辭?！?朱熹撰，蘇勇校注：《周易本義》附錄二《易學(xué)啟蒙·考變占》，北京：北京大學(xué)出版社，1992年，第234頁)他又認(rèn)為，“有天地自然之易，有伏羲之易，有文王周公之易，有孔子之易。自伏羲以上，皆無文字，只有圖畫，最宜深玩，可見作《易》本原精微之意。文王以下，方有文字，即今之《周易》。然讀者亦宜各就本文消息，不可便以孔子之說為文王之說也”(朱熹撰，蘇勇校注：《周易本義》附錄一《周易本義附圖·卦變圖》，第204頁)。而弄明白“伏羲卦象”要比讀懂《周易》通行文本更為重要。他說：“必欲知圣人作《易》之本，則當(dāng)考伏羲之畫；若只欲知今《易》書文義，則但求之文王之經(jīng)、孔子之傳足矣。兩者初不相妨，而亦不可以相雜。”。

在其名著《周易本義》卷首《筮儀》篇中，朱熹對(duì)大衍筮法的過程有相當(dāng)詳盡的描述和注解。他說，四個(gè)數(shù)的概率之所以不平衡，是因?yàn)榇笱荏叻ㄟ^程的端始，“取其一策，反于柜中”——“但用四十九蓍耳”，即大衍之?dāng)?shù)50，用的是49根蓍草的緣故*大衍筮法用49根蓍草，因此變化非常豐富奇譎。設(shè)若“取其二策，反于柜中”，即用的是48根蓍草的話，變化就要簡(jiǎn)單得多，在那種情況下得到6、7、8、9四個(gè)隨機(jī)數(shù)的概率才是1∶3∶3∶1。。

第一變，“掛一”之后，隨機(jī)分成兩刻的蓍草剩下48莖。從每一群蓍草里分別取走4莖的整倍數(shù)后，再剔除其余數(shù)——或1或2或3或4莖，剩下了44莖或40莖。在第二變“掛一”之后，分別成了43莖或39莖?！皻w奇”即剔除余數(shù)(3或7)后，從43莖剩下的是40莖或36莖，概率各半；從39莖則剩下36莖或32莖，概率也是相等的。然后是第三變，“掛一”之后則成了39莖、35莖或31莖?！皻w奇”即剔除余數(shù)(3或7)后，從39莖剩下36莖或32莖，從35莖剩下32莖或28莖，從31莖則剩下28莖或24莖，概率也是各占其半。以朱熹的話來講，是“奇耦各得四之二焉”(3=1+2或2+1；7=3+4或4+3，各在四種可能性里占了兩種)。

然而其中的奧妙，是第一變所得到的“奇耦”，是否也“各得四之二焉”呢？非也。其關(guān)鍵就在于“但用四十九蓍耳”。

三變之后所剩下的24莖、28莖、32莖、36莖蓍草的4的整倍數(shù)，就是6、7、8、9(扐數(shù))。得到6、7、8、9的概率，結(jié)果分別為1/16、5/16、7/16、3/16，其中得到7的概率是5/16=1/16+1/16+3/16；得到8的概率是7/16=1/16+3/16+3/16。

第一變?cè)诟怕噬系淖兓?，?dǎo)致了6、7、8、9隨機(jī)結(jié)果的比例是1∶5∶7∶3，而非4∶4∶4∶4。同樣的，2∶6∶6∶2也不準(zhǔn)確*設(shè)若“存體”的蓍草莖數(shù)不是1，而是2的話，那么產(chǎn)生6、7、8、9這四個(gè)隨機(jī)數(shù)的概率分布將為八分之1∶3∶3∶1。這個(gè)概率分布是自唐代以來民間所習(xí)用的“搖錢筮法”等簡(jiǎn)化方法產(chǎn)生的結(jié)果。作者把各個(gè)可能的“存體”數(shù)為初始值的大衍筮法的結(jié)果列表如下。假設(shè)：1.“存二”(50策蓍草里先取出2策不用)，得到四種爻的概率是多少？2.“存0”，即從50策蓍草先取出0策不用的話，又是怎樣的結(jié)果？3.“存三”，即從50策蓍草先取出3策不用的話，又是如何的呢？結(jié)果如下表所列：。這個(gè)道理，用概率分析的工具“決策樹”(三個(gè)階段)來描述，應(yīng)當(dāng)能一目了然(見附錄二)。

可變之陰爻不可變之陽爻不可變之陰爻可變之陽爻存體67890四分之01211十六分之15732八分之13313十六分之37514四分之1210

不過要做出一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)發(fā)生器來精確模擬“大衍筮法”的概率，卻有點(diǎn)復(fù)雜。由于世界上不存在正十六面體，無從設(shè)計(jì)出一個(gè)簡(jiǎn)單的“骰子”，來隨機(jī)地獲得概率為1/16、3/16、5/16和7/16的四個(gè)隨機(jī)結(jié)果。作為替代，筆者建議的辦法，是用兩枚錢幣(fair coin)進(jìn)行兩次拋擲，從而得到一條爻。其隨機(jī)概率可以列表如圖6。重復(fù)六遍，結(jié)果得到六條爻，便構(gòu)成一個(gè)六爻易卦(圖5)。

第一次拋擲第二次拋擲揲數(shù)涵義概率頭、頭頭、頭6可變陰爻1/16頭、尾7不可變陽爻1/16尾、頭7不可變陽爻1/16尾、尾8不可變陰爻1/16

其余，即頭、尾頭、頭7不可變陽爻3/16頭、尾8不可變陰爻3/16尾、頭尾、頭8不可變陰爻3/16尾、尾尾、尾9可變陽爻3/16

圖5

由此得到的易卦，不但知道其為何卦，而且能很清晰地明白每一條爻是可變的還是不可變的。聯(lián)系《易經(jīng)》、《易傳》對(duì)易卦的詮釋，對(duì)所得之卦的解釋才有可能做到精準(zhǔn)。

四、由大衍筮法得到的易卦概率

那么，大衍筮法得到每個(gè)易卦的概率又是如何來計(jì)算的呢？以最簡(jiǎn)單的純陰坤卦和純陽乾卦為例來說明。坤卦的六條陰爻，每條爻可以是可變的6或不可變的8，所以共有64種(2的六次方)變化來構(gòu)成坤卦。六條爻皆為不可變(888888，數(shù)字從右至左代表初爻到上爻)的坤卦概率(7/16的六次方)，是六爻皆為可變(666666)的坤卦概率(1/16的六次方)的117649倍(7的六次方)。同理，同為六陽的乾卦，僅一條可變陽爻的乾卦977777(5/16的五次方×3/16)的概率是有四條可變陽爻的乾卦799997(5/16的二次方×3/16的四次方)的12.1倍。

大衍筮法生成每條爻是獨(dú)立生成的，三變成一爻、重復(fù)六遍成一卦，因此，每爻生成的概率相互獨(dú)立，與所在的爻位無關(guān)。例如，不可變陰爻8無論是在二爻位、五爻位，或任何爻位，概率都是7/16；可變陽爻9無論在哪個(gè)爻位，概率也都等于3/16。所以成卦的概率只決定于陰爻條數(shù)和陽爻條數(shù)(加起來為6)，及其可變性或不可變性。簡(jiǎn)單地說，取決于n個(gè)6或8，與(6-n)個(gè)9或7的組合。因而計(jì)算卦的概率用的也是組合，而非排列方法。

以坤卦來說，它的64種變化只有7種獨(dú)立的概率，分別是n條(n=0、1、2、3、4、5、或6)可變陰爻的概率(1/16)乘以(6-n)條不可變陰爻的概率(7/16)，加權(quán)后成卦的概率為0.015625。以乾卦而言，也只有7種獨(dú)立的概率，分別是m條(m=0、1、2、3、4、5、或6)可變陽爻的概率(3/16)乘以(6-m)6條不可變陽爻的概率(5/16)，加權(quán)后成卦的概率也是0.015625(見圖6)。

1.5625%即1/64，說明在邵雍的“加一倍法”，得到所有的64個(gè)易卦的概率依然相等，即等概的。而每卦的構(gòu)成盡管有64種變化，總共642=4096種變化，不過獨(dú)立概率的數(shù)目卻少得多。計(jì)算的結(jié)果表明，獨(dú)立概率總共才84個(gè)(詳見附錄二，完整的易卦概率表)。

“附錄二”的易卦概率表，是從陽爻的角度來對(duì)易卦分類，從而計(jì)算出各類卦的概率表。所有的64個(gè)卦，概率都是1/64，即1.56%。但是，1.56%的概率是如何分布為可變或不可變陽爻，可變或不可變陰爻的具體組合，則是大不相同的。

以三陽類的泰卦為例，它的三條陽爻可以有4種組合(0、1、2或3條可變陽爻結(jié)合相應(yīng)的3、2、1或0條不可變陽爻)，它的三條陰爻也有4種組合(0、1、2或3條可變陰爻結(jié)合相應(yīng)的3、2、1或0條不可變陰爻)。所以，構(gòu)成泰卦的64種變化僅有4×4=16個(gè)獨(dú)立概率。這16個(gè)獨(dú)立概率適用于所有20個(gè)三陽類卦，這就是說，構(gòu)成三陰類卦的1280種變化(64×20)里只有16個(gè)獨(dú)立的概率。譬如，688997的泰卦甲和868799的泰卦乙，概率是相等的，是(1×72×32×5)/166=0.000131428，故概率為0.01314%。這是因?yàn)?，兩者都是由一條可變陰爻+兩條不可變陰爻+兩條可變陽爻+一條不可變陽爻來構(gòu)成的。有同樣概率的泰卦共有9種變化。三陽卦類有20個(gè)，所以共有1280種變化(64×20)的三陽類卦，概率合起來是0.015625×20=31.25%(見圖7)。

圖6

圖7

我們也可以從另外一個(gè)角度切入，來計(jì)算和運(yùn)用附錄三的概率表。既然每個(gè)易卦都是兩個(gè)三爻純卦的疊加，另一個(gè)方法脈絡(luò)更單純、更易于理解，就是計(jì)算8個(gè)純卦的概率，然后相乘而成為64卦(詳見圖8)。

圖8

八卦可分四類：A零陽卦——地；B三陽卦——天；C一陽卦——雷、水、山；D二陽卦——澤、火、風(fēng)。各卦的概率均為12.5%，也就是1/8。一陽、二陽類各有三個(gè)，所以一陽類、二陽類的概率，各為37.5%。四類的概率加總當(dāng)然是100%。

據(jù)此不難明白，筮占獲得一個(gè)易卦(所謂“起卦”)，可以有64種變化，其中獨(dú)立的概率僅20個(gè)。用上文里舉過的例子，泰卦甲688997和泰卦乙868799來驗(yàn)證。地天泰卦，甲的上體地卦688，乙的上體地卦868，都是三條陰爻，一條可變兩條不可變，概率同為0.011962891；甲的下體天卦997，乙的下體天卦799，三條陽爻里也都是兩條可變一條不可變，概率同樣都是0.010986328。兩者的乘積為0.000131428，同上面計(jì)算的結(jié)果是一樣的。也就是說，泰卦甲和泰卦乙的概率都是0.01314%。

邵雍的“加一倍法”有4096種變化，即六十四個(gè)易卦，每卦各有64種變化。計(jì)算分析的結(jié)果表明，其獨(dú)立的概率才84個(gè)。從附錄三的概率表，我們很容易加總起來得出；在圖8里也可以計(jì)算得到。八卦(三爻)的變化“加一倍”即二次方是64種，其獨(dú)立的概率僅20種。那么兩個(gè)八卦疊加之后，獨(dú)立概率又是幾何？也是84種。讀者不妨排出一個(gè)20×20的矩陣，400個(gè)乘積歸并之后，剩下的不同概率值(distinct values)，也正好是84個(gè)。

從實(shí)用的角度來講，不必太過精確。于是六十四個(gè)易卦，得到每卦的概率為1.56%。其中零陽卦1個(gè)、一陽卦6個(gè)、二陽卦15個(gè)、三陽卦20個(gè)、四陽卦15個(gè)、五陰卦6個(gè)、六陽卦1個(gè)。這七個(gè)類別的概率，分別為1.56%、9.36%、23.4%、31.36%、23.4%、9.36%、1.56%。

通過辨析大衍筮法，得以知道蓍占的結(jié)果，陰爻和陽儀——可變及不可變——的不同組合的準(zhǔn)確概率，從而了解占得一卦的各種變形的機(jī)會(huì)有多少，占得的卦又將作何變化，用易學(xué)術(shù)語來講，是得到“之卦”的機(jī)會(huì)又是多少。在此“起卦”正確的基礎(chǔ)上，才能夠解卦，問兇吉、知得失，才有可能順應(yīng)“道”或“天意”，從而順勢(shì)利導(dǎo)地趨利避害。

附錄一：三階段決策樹

注解：①“存體”(50莖蓍草里先取出1莖不用)；②“掛一”(再拿走1莖)后把“致用”的48莖蓍草分作兩群(“分二”)；③按“扐”(“揲四”即以4莖為一簇)，取走核定的余數(shù)(“歸奇”)。此第一變(I)，余下40莖的概率為四分之一，余下44莖的概率則為四分之三；④重復(fù)②、③成第二變(II)?！皰煲弧焙汀皻w奇”之后，分別剩下43莖或39莖。即剔除余數(shù)(3或7)后，從43莖剩下的是40莖或36莖，概率各半，從39莖剩下的是32莖或36莖，概率都是各半。再重復(fù)②③④成第三變(III)，則剩下24、36、28、32莖，概率分別為十六分之一、十六分之三、十六分之一(或三)、十六分之三(或一)。結(jié)果是，得到6、7、8、9(四的整除數(shù))的概率，歸并起來，分別為1/16、5/16、7/16和3/16。

附錄二：易卦成卦概率表(大衍筮法引入可變和不可變爻后)

[責(zé)任編輯揚(yáng)眉]