尹雯靜

摘 要：多項(xiàng)式的因式分解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一項(xiàng)基本的技能。在分式運(yùn)算、解方程和各種恒等變換中都常用到因式分解。但多項(xiàng)式因式分解的方法靈活多變，在分解時(shí)需要各種技巧。本文對(duì)一元多項(xiàng)式的因式分解進(jìn)行了初步探索，闡述了一元多項(xiàng)式分解的兩種方法。

關(guān)鍵詞：一元多項(xiàng)式；因式分解；分組分解；待定系數(shù)

在實(shí)際學(xué)習(xí)的過(guò)程中，總會(huì)遇到多項(xiàng)式因式分解的問題，但由于多項(xiàng)式的因式分解沒有刻板的程序可以依循，往往使人感覺難度較大，不好掌握。本文主要是給出因式分解的兩種比較容易和實(shí)用的方法。

1分組分解法

分組分解法是因式分解中常用的一種方法，運(yùn)用此類方法分解的多項(xiàng)式各項(xiàng)之間的聯(lián)系比較明顯，有些項(xiàng)之間存在公因式，因此可以進(jìn)行提取公因式等步驟。而此類解法常與拆項(xiàng)添項(xiàng)法合并使用，通過(guò)拆項(xiàng)或添項(xiàng)建立起各項(xiàng)之間的聯(lián)系。

第一步：觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，可以適當(dāng)利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)的方法將多項(xiàng)式分成若干組；第二步：將分組情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使每組中各項(xiàng)可以提取公因式，且各組之間也有公因式存在；第三步：通過(guò)多次提取公因式，將多項(xiàng)式表示為幾個(gè)部分的乘積，完成分解。

例題1：在有理數(shù)集內(nèi)分解[x3+6x2+11x+6]的因式。

解：首先我們可以通過(guò)拆項(xiàng)將多項(xiàng)式分為有公因式的兩組：

原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+（2x+6）]

[=xx2+6x+9+2x+3=x（x+3）2+2（x+3）]

[=（x+3）xx+3+2] （1）

式有兩項(xiàng)構(gòu)成，但是方括號(hào)內(nèi)的部分顯然沒有分解完成，而且項(xiàng)與項(xiàng)之間不含公因式，也不能直接利用公式和分組分解，故需打開括號(hào)重新組合。為了方便說(shuō)明我們將中括號(hào)中的多項(xiàng)式單獨(dú)提出來(lái)進(jìn)行分解。

[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=（x+1）（x+2）]

故[x3+6x2+11x+6=（x+1）（x+2）（x+3）]。

例題2：在有理數(shù)集內(nèi)分解[x5+x-1]。

解：首先通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，本題中[x5]與[x]的次數(shù)相差較大，我們可以考慮通過(guò)添加一些中間項(xiàng)，使它們產(chǎn)生聯(lián)系。需要注意的是為了保持原式的不變，添加的項(xiàng)最后一定要減去。

原式[=x5+x+1=x5+x2-x2+x+1]

[=x2x3+1-（x2-x+1）]

[=x2x+1（x2-x+1）-（x2-x+1）]

[=（x2-x+1）（x3+x2-1）]。

2待定系數(shù)法

待定系數(shù)法相對(duì)于其他因式分解的方法更易掌握且適用范圍較廣，但其中利用到了綜合除法的知識(shí)且最后需要求出各系數(shù)的值，計(jì)算較為繁雜。

第一步：利用綜合除法試除常數(shù)項(xiàng)的因式，判定原式分解后所成的因式的乘積形式。

第二步：列出方程組，確定待定系數(shù)的值。

第三步：將各個(gè)待定系數(shù)的值代入相應(yīng)的位置，完成分解。

例題3：在有理數(shù)集上分解因式[x4-x3+6x2-x+15]。

解：先用綜合除法。可能的試除數(shù)是±1，±3，±5，±15，試除結(jié)果都被排除，因此原式在Q上沒有一次因式。假定原式含有x的二次因式，設(shè)：

[x4-x3+6x2-x+15=x2+mx+kx2+nx+l]

[=x4+m+nx3+k+mn+lx2+ml+nkx+kl]

比較等式兩端的系數(shù)，得[m+n=-1 （1）k+mn+l=6（2）ml+nk=-1 （3）kl=15 （4）]

（4）式中的k，l同是常數(shù)項(xiàng)15的因數(shù)，因此k和l的值可能是：

[k=3l=5k=5l=3k=-3l=-5k=-5l=-3]

將[k=3l=5]代入（3）得5m+3n=-1 （5）

將（1）（5）聯(lián)立得[m=1n=-2]且k=3，l=5，m=1，n=-2滿足（2）式。

因此m=1，n=-2，k=3，l=5是方程組的解。

所以[x4-x3+6x2-x+15=x2+x+3x2-2x+5]。

3利用因式定理和綜合除法

此方法主要是利用因式定理（f（x）有因式x-a的充分必要條件是f（a）=0）來(lái)尋找整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）的一次因式。當(dāng)a是有理數(shù)時(shí)，可用綜合除法來(lái)確定，這種方法的理論性較強(qiáng)，其主要依據(jù)是：若整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）=[anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0]有因式x[-pq]（p，q互質(zhì)且均為整數(shù)），則p，q一定分別是[an]和[a0]的約數(shù)。

第一步：寫出f（x）的首項(xiàng)系數(shù)[an]和常數(shù)項(xiàng)[a0]的所有因數(shù)；第二步：以[an]的因數(shù)為分母，[a0]的因數(shù)為分子，寫出所有可能的既約分?jǐn)?shù)，作為試除數(shù)；第三步：利用綜合除法試除，確定f（x）的根；第四步：寫出f（x）的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

例題4：分解整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）[=3x3-2x2+9x-6]的因式。

解：可能的試除數(shù)是±1，±2，±3，±6，±1/3，±2/3。

因?yàn)閒（x）的奇次項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)，偶次項(xiàng)系數(shù)都是負(fù)數(shù)，故只選正的試除數(shù)即可，即：1，2，3，6，1/3，2/3。

f（1）=3-2+9-6≠0，則1排除，用2試除：

f（2）=28≠0，則2排除，同樣3，6，1/3都排除，用2/3試除：

所以f（x）[=（x-23）3x2+9=（3x-2）（x2+3）]。

參考文獻(xiàn)：

[1]牛繼武.因式分解及其應(yīng)用[M].天津科學(xué)出版社，1988，1.

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