【摘 要】以學(xué)生為中心的教學(xué)范式的轉(zhuǎn)換，需要教師滿足學(xué)生感到自己是“發(fā)現(xiàn)者”“研究者”和“探索者”的心理需求。教師應(yīng)以學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的“問題”和“困難”為前提，設(shè)計既可以滿足學(xué)生以上心理需要，又幫助學(xué)生積累隱性知識的數(shù)學(xué)實驗課。好的實驗課既要讓學(xué)生有所“發(fā)現(xiàn)”，也要讓學(xué)生不斷“研究”，更要讓學(xué)生充分“探索”，從而使設(shè)計體現(xiàn)出生態(tài)性，讓隱性知識的教學(xué)變得可操作、可把握。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗課；倍拼；空間觀念；探索

自2001年新課程改革以來，學(xué)校教學(xué)的范式已經(jīng)從以往以教師為中心的教學(xué)模式，逐步轉(zhuǎn)換成以學(xué)生為中心的模式。教師在課堂教學(xué)中的角色更多的是引領(lǐng)者、促進者和協(xié)助者，課堂學(xué)習(xí)的主體聚焦在學(xué)生。蘇霍姆林斯基說過：人的內(nèi)心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。在兒童的世界中，這種需要特別強烈。但如果不向這種需要提供養(yǎng)料，即不積極接觸事實和現(xiàn)象，缺乏認識的樂趣，這種需求就會逐漸消失，求知興趣也與之一道熄滅。[1]如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，體現(xiàn)以學(xué)生為中心，讓學(xué)生感受和成為學(xué)習(xí)的主人，需要數(shù)學(xué)教師有針對性地做好課程設(shè)計。數(shù)學(xué)實驗課因其活動“具有具身認知特點”“材料往往是生成性資源”“任務(wù)引人入勝”等特點，可以更好地滿足學(xué)生以上心理需求，又有利于幫助學(xué)生發(fā)展那些難以清晰表達的，如數(shù)學(xué)信念、經(jīng)驗、思維、直覺、靈感等“隱性知識”。

本文以幾節(jié)數(shù)學(xué)實驗課為例，試對數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計提出思考。

一、設(shè)計讓學(xué)生有所“發(fā)現(xiàn)”的實驗課

【案例一】

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，總有一些共性的“難點”“瓶頸”難以突破，比如學(xué)習(xí)“三角形面積”時，需要學(xué)生能將三角形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形，用已學(xué)過的面積計算方法來解決三角形的面積問題。如果沒有教師的引導(dǎo)與介入，學(xué)生很難自覺想到用兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形（倍拼）的方法。倍拼的方法并非在學(xué)習(xí)三角形時才出現(xiàn)，學(xué)生之所以遷移的能力不足，與他們?nèi)鄙佟氨镀础钡幕净顒咏?jīng)驗有很大關(guān)系。是否有可能設(shè)計一節(jié)數(shù)學(xué)實驗課，讓學(xué)生自然而然地發(fā)現(xiàn)“倍拼”是幫助解決圖形問題的重要方法，從而幫助學(xué)生積累這種經(jīng)驗，促進學(xué)生有關(guān)圖形知識的內(nèi)化與遷移。

帶著這樣的思考，我們設(shè)計了“釘子板上圍圖形”[2]一課。整節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)大致如下。

（1）介紹學(xué)習(xí)工具：釘子板與橡皮筋。釘子板上最靠近的4個“釘”中間的部分，我們稱之為“1格”，用橡皮筋在釘子板上可以圍出各種圖形。它們圍出的格子數(shù)可以不一樣。

（2）呈現(xiàn)已學(xué)圖形：在釘子板上呈現(xiàn)圍好的長方形、正方形、梯形等圖形，請學(xué)生數(shù)一數(shù)，各占多少格。

（3）引導(dǎo)猜測與畫圖：如果在釘子板上圍“占2格”的圖形，可以圍出多少個？并把自己想到的畫在方格紙上。

（4）實驗操作與交流：圍占2格的圖形，先在釘子板上圍圖形，并把圍出的圖形畫下來，再和同伴說一說，這些圖形是占2格嗎？如何說明？

（5）實驗延伸與拓展：圍占3格的圖形，可以圍多少個？你是怎么想的？

在這一案例中，學(xué)生最初猜測“釘子板上圍占2格的圖形，可以圍多少個”的時候，多數(shù)學(xué)生認為可以圍2～3種，猜可以圍4種或4種以上的學(xué)生不足20%。學(xué)生最初圍出的圖形大致如圖1所示。

但在相互交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以根據(jù)格子的累加來“設(shè)計”圖形，1格+1格，只有長方形，1格+半格+半格，就可以有多種方式了，除了直角三角形、平行四邊形、梯形以外，還可以拼成不規(guī)則圖形（如圖2）； 如果是半格+半格+半格+半格，那么又可以拼成不同的圖形 （如圖3）。

接著，有學(xué)生圍出圖4，這也占2格嗎？怎么說明它也占2格？學(xué)生自然地采用了圖5的方式說明：原來，4格的一半也是2格（倍拼的方法如期而至）！

至此為止，課堂上，學(xué)生就像打開了潘多拉魔盒一樣興奮起來，“我發(fā)現(xiàn)：3格的一半是1格半，再加上半格也是2格?。ㄈ鐖D6）”“5格的一半是2格半，去掉半格也是2格?。ㄈ鐖D7）”甚至有學(xué)生提出：要是釘子板再長些，這樣也可以，這是8格的一半4格，去掉4格的一半是2格（如圖8）……

在這個過程中，圖形的割補、倍拼，學(xué)生都在體驗，圖形面積的可加性、面積的不變性學(xué)生都在感受，甚至“同底等高的三角形面積相同”學(xué)生也在操作、實驗中有了直觀的知覺經(jīng)驗。

我們對上過這節(jié)課的6個班級237名學(xué)生，在學(xué)習(xí)“三角形面積”一課之前，做了前測調(diào)查，結(jié)果顯示有146人能獨立想到“倍拼”這一方法，占總?cè)藬?shù)的61.6%。在學(xué)習(xí)了基本圖形面積以后，有80%以上的學(xué)生可以獨立解決稍復(fù)雜的“組合圖形面積”問題。雖沒有直接證據(jù)證明這是本節(jié)實驗課的“功勞”，但我們依舊相信，這節(jié)課幫助學(xué)生積累的活動經(jīng)驗，形成了我們看不見的“隱性知識”，正是這些隱性知識，助力學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。這節(jié)實驗課讓我們看到：只要操作的材料合適，問題合適，學(xué)生自己的“發(fā)現(xiàn)”，在學(xué)生的隱性知識學(xué)習(xí)中有強大的作用。

二、設(shè)計讓學(xué)生不斷“研究”的實驗課

【案例二】

“空間觀念”如何培養(yǎng)一直是一線教師教學(xué)時一個“模糊”的點。以人教版教材五下中的“觀察物體”為例。

教學(xué)該課時教師經(jīng)常感到，這是一節(jié)很“無用”的課，不是教學(xué)內(nèi)容的無用，而是教學(xué)本身經(jīng)常是“隔空打?！薄案粞ドΠW”，起不到真正的作用。稍復(fù)雜一點的圖形，對于“會”的學(xué)生來說，即使這節(jié)課不上，相關(guān)內(nèi)容學(xué)生也可以解決；對于“不會”的學(xué)生來說，即使上過了這節(jié)課，讓其自己思考，依舊無從下手。為什么會這樣？“觀察物體”為什么這么“難教”？

從心理學(xué)的視角看，與空間觀念有著密切聯(lián)系的概念有空間知覺、空間表象、空間想象和空間能力。“觀察物體”需要學(xué)生在頭腦中對原有的“表象”進行加工，融入一部分“空間想象”解決眼前的問題。通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，“觀察物體”讓學(xué)生感到困難的主要原因是：學(xué)生缺少空間知覺的支撐，難以形成空間表象，沒有表象自然無從想象，而“當(dāng)空間想象受阻時，提供操作材料動手實驗，是行之有效的教學(xué)對策”[3]。培養(yǎng)空間能力的一個重要條件就是讓學(xué)生看到、接觸到學(xué)習(xí)的對象。那么是否可以設(shè)計一節(jié)實驗課，以豐富學(xué)生的空間知覺為目標，從而促進學(xué)生空間能力的發(fā)展呢？

小學(xué)生形成、發(fā)展空間觀念主要依靠“視”與“觸”，亦即主要途徑、手段是觀察與操作[4]。因此我們設(shè)計了數(shù)學(xué)實驗課“圖形穿越”[5]，為學(xué)生提供我們自己設(shè)計的可以相互“黏”在一起的立方體（羅永軍，專利號：CN205461022V），以及可以當(dāng)作“墻”的卡紙作為教具，創(chuàng)設(shè)立方體可以“穿墻而過”的情境，引導(dǎo)學(xué)生在“抓盜賊”的任務(wù)驅(qū)動下，不斷地通過拼搭、觀察、思考、想象、操作與反思等活動，豐富學(xué)生對小立方體搭成立體圖形的“知覺”。同時，我們將立體圖形與其三視圖對應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生實際生活的房間中物體從不同方向“穿墻而過”留下的痕跡聯(lián)系起來，觸覺、運動覺與視覺的協(xié)同活動成為學(xué)生獲得空間表象的有力支撐；讓學(xué)生能夠在豐富的對小立方體的知覺前提下，形成立體圖形與其三視圖的表象。

實踐表明：這節(jié)課除了非常受學(xué)生的歡迎，讓學(xué)生欲罷不能以外，學(xué)生在課前與課后解決相應(yīng)問題的正確率有大幅度提高，理論和實踐都告訴我們，這樣的實驗課的確對促進學(xué)生的空間觀念發(fā)展有作用。

三、設(shè)計讓學(xué)生充分“探索”的實驗課

【案例三】

培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維是數(shù)學(xué)教育的重要目標之一，但學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)表達的統(tǒng)一性、簡潔性，數(shù)學(xué)題解法和答案的唯一性，往往又制約著學(xué)生“創(chuàng)新思維”的形成。對“探索”過程的經(jīng)歷，能夠激發(fā)學(xué)生正向的學(xué)習(xí)情感，能夠培養(yǎng)學(xué)生的積極數(shù)學(xué)精神，已經(jīng)是大家的共識。課堂上，教師也注意到了要讓學(xué)生經(jīng)歷“探索”的過程，但由于課堂時間、教學(xué)任務(wù)和教學(xué)內(nèi)容所限，課堂上的探究往往成了“走過場”式的假探究。是否可以適當(dāng)?shù)貙⒔虒W(xué)內(nèi)容設(shè)計成實驗課，真正讓學(xué)生經(jīng)歷“探索”答案的過程，以增加學(xué)生與“創(chuàng)造性思維”相關(guān)的隱性知識呢？

羅永軍老師設(shè)計的“擲骰子”[6]一課，就源于此初衷。

“骰子”有6個面，相對面點數(shù)的和為7，如果將一摞骰子擺起來，只看到最上面的骰子朝上一面的點數(shù)就可以知道這一摞骰子“看不見”的所有面的點數(shù)之和（若有a顆骰子，最上面一粒骰子朝上的點數(shù)為b，則“看不見”的點數(shù)之和為n=7a-b）。知道這個規(guī)律、解決相應(yīng)的問題遠不是這節(jié)課的目的，而這樣的規(guī)律，學(xué)生自己是不是可以發(fā)現(xiàn)？他們是怎么發(fā)現(xiàn)和解決問題的？

教學(xué)時，羅老師先請學(xué)生看了一段視頻，一名可以猜到答案的男生聲稱自己有“透視眼”，所以可以“看到”大家看不見的面上的點數(shù)。這當(dāng)然引起了學(xué)生們的興趣。羅老師問：“這個透視眼是天生的還是可以練出來的？”“咱們也練練，看是不是可以練出來?！睆囊活w骰子開始“練”起。課堂上一個調(diào)皮的學(xué)生學(xué)著“拜菩薩”的樣子，嘴里喊著“3、3、3……”骰子一扔，不是3，沮喪地再來一次，“3、3、3……”哇，居然真是3，看他喊“我練成了！”的樣子，真讓人忍俊不禁。當(dāng)他看到同伴通過反復(fù)觀察，發(fā)現(xiàn)只要朝上的一面是1，看不見的就是6……這樣的規(guī)律，從而“練成”看一顆骰子的透視眼時，驚訝地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原來比“菩薩”好用多了，進而在與同伴交流的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一顆骰子的“透視眼”是“只要用7減去對面的點子數(shù)會算，就練成了”的結(jié)論。

實踐中，我們還驚奇地發(fā)現(xiàn)：即便學(xué)生已經(jīng)知道“相對面的點數(shù)和是7”，到發(fā)現(xiàn)“有幾顆，看不見的點子數(shù)就是幾個7減去最上面的數(shù)”還是要經(jīng)歷一段“曲折”的探索過程，而不是像我們想的那樣“很快”就能遷移過來了。這節(jié)課教學(xué)內(nèi)容簡單，如果學(xué)生已經(jīng)知道這個規(guī)律，解決問題無非就是“套用公式”，但是對“什么是教學(xué)”的思考，以及教學(xué)法的轉(zhuǎn)變讓我們感受到：如果給學(xué)生足夠的時間，讓學(xué)生在感到足夠安全的基礎(chǔ)上探索，這樣的實驗課很有價值！

杜威認為：“一切教育活動的首要根基在于兒童本能的、沖動的態(tài)度和活動?！盵7]但如果“實驗”僅僅等同于“活動”，顯然缺少了數(shù)學(xué)教育的價值?；仡櫼陨蠋讉€教學(xué)案例，可以看到，我們設(shè)計的每一節(jié)數(shù)學(xué)實驗課，都是帶著對數(shù)學(xué)問題的思考，帶著對學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的問題與他們對困難的理解而設(shè)計。我們理解的數(shù)學(xué)實驗，數(shù)學(xué)是核心內(nèi)容，促進學(xué)生隱性知識的積累是目的，實驗是教學(xué)方式。雖然教學(xué)環(huán)境下的實驗，不那么精準，但它卻極具生態(tài)性，讓隱性知識的教學(xué)變得可操作、可把握。希望數(shù)學(xué)實驗課能夠帶領(lǐng)學(xué)生在“發(fā)現(xiàn)”“研究”“探索”中不斷成長。

參考文獻：

[1]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤，譯.北京：教育科學(xué)出版社，1984.

[2]李量，邢佳立.因“圍”精彩——數(shù)學(xué)實驗課《釘子板上圍圖形》教學(xué)片段實錄與點評[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2017（14）.

[3]曹培英.小學(xué)生空間觀念的形成與發(fā)展有什么特點[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2010（4）.

[4]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)[M].上海：上海教育出版社，2018.

[5]邢佳立.巧借“圖形穿越”發(fā)展空間觀念——《圖形穿越》教學(xué)片段實錄及分析[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（9）.

[6]羅永軍.透視骰子能透視出什么[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版）， 2016（10）.

[7]杜威.學(xué)校與社會·明日之學(xué)校[M].趙祥麟，等，譯.北京：人民教育出版社，2005.

（浙江省新思維教育科學(xué)研究院 310000）