周曉琳

摘 要：“碎片化”，本意為完整的東西破成諸多零塊。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要防止教學(xué)碎片化，就是要對(duì)知識(shí)點(diǎn)完成編織、思維重新建構(gòu)、教與學(xué)進(jìn)行融合，由此實(shí)現(xiàn)“碎片”到“整體”轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；碎片；整體建構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）23-126-2

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者常聽(tīng)到同行抱怨：這道題講了無(wú)數(shù)遍，做了無(wú)數(shù)遍，還有這么多學(xué)生出錯(cuò)，這些學(xué)生太笨了。仔細(xì)研究老師們的抱怨、牢騷，我們不難發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著一個(gè)普遍的問(wèn)題：課堂上，學(xué)生一聽(tīng)就懂，但課后不會(huì)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，經(jīng)別人一點(diǎn)撥，卻又恍然大悟。歸根結(jié)底，是學(xué)生并沒(méi)有真正理解。而其背后，是初中數(shù)學(xué)“復(fù)習(xí)的碎片化”作祟是重要的因素。

一、透視教學(xué)“碎片化”

“碎片化”，本意為完整的東西破成諸多零塊。初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的“碎片化”現(xiàn)象比比皆是：一是教學(xué)內(nèi)容碎片化：教師在教學(xué)中過(guò)分強(qiáng)調(diào)疏通知識(shí)點(diǎn)，常常把教學(xué)內(nèi)容“揉碎”了，對(duì)一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解、訓(xùn)練，造成了復(fù)習(xí)內(nèi)容上的“楚河漢界”、“各自為政”以及低效“翻炒”現(xiàn)象。二是思維過(guò)程碎片化：不少老師怕課堂上“冷場(chǎng)”，問(wèn)題的解決過(guò)程常常用“一問(wèn)一答”的形式所替代。學(xué)生的思維是在教師鋪墊好的、設(shè)計(jì)好的問(wèn)題鏈軌道中輕松地滑過(guò)，學(xué)生為條件反射式的碎片化問(wèn)答。三是學(xué)習(xí)目標(biāo)碎片化：不少老師把三維學(xué)習(xí)目標(biāo)割裂開(kāi)來(lái)，只關(guān)注對(duì)知識(shí)點(diǎn)的梳理，而弱化對(duì)思維過(guò)程的體驗(yàn)，基本不談情感態(tài)度價(jià)值觀的融入。數(shù)學(xué)知識(shí)成了學(xué)生眼睛中的冷冰冰的、雜亂無(wú)章的碎片知識(shí)的堆積。

二、從一則學(xué)案的調(diào)整看如何從“碎片化”到“整體”構(gòu)建

筆者曾經(jīng)參加一次中考二模數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教研活動(dòng)，看到如下一則學(xué)案（部分教學(xué)過(guò)程）：

課題：拋物線(xiàn)之“拋物線(xiàn)上點(diǎn)的不變規(guī)律”研究（原教案）

（一）自主探究

1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是 。

問(wèn)題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），定點(diǎn)A（0，n），定直線(xiàn)l： y=-n，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，PA=PH，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為 （圖1）。

基本結(jié)論：拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)必存在“與一定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)距離相等”的特征。

2.定點(diǎn)、定直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系 。

（1）如圖2，P（m，n）是拋物線(xiàn)y=x2上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)（0，-14）且與x軸平行的直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H。y軸上有一點(diǎn)A（0，14）。

①猜想：對(duì)于任意m，n，PA與PH的大小關(guān)系是 ；

②證明：

（2）如圖3，P（m，n）是拋物線(xiàn)y=14x2上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與x軸平行的直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，y軸上有一點(diǎn)A（0，1）。

結(jié)論：對(duì)于任意m，n，PA與PH的大小關(guān)系是 ，并說(shuō)明理由。

反思：①拋物線(xiàn)y=ax2可看作與定點(diǎn)A（ ）和定直線(xiàn)l：y= 距離相等的點(diǎn)的集合。②根據(jù)研究二次函數(shù)y=ax2的經(jīng)驗(yàn)，你能說(shuō)出拋物線(xiàn)y=ax2+k可看作與定點(diǎn)A（ ）和定直線(xiàn)l：y= 距離相等的點(diǎn)的集合。

（二）規(guī)律運(yùn)用

1.如圖4，已知M（1，2），試探究在拋物線(xiàn)y=x24-1上是否存在點(diǎn)N，使得MN+NO取得最小值？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

2.如圖5，已知線(xiàn)段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)y=x24-1上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最小值。

3.如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為2a，2b，點(diǎn)A、D、G在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=mx2過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接FD并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M。

（1）用含a的代數(shù)式表示m；

（2）判斷以FM為直徑的圓與AB所在直線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（三）思考

1.本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？研究的過(guò)程、方法？（在學(xué)生自我總結(jié)對(duì)的基礎(chǔ)上，師生公共概括）

2.若需發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c是與定點(diǎn)A（ ）和定直線(xiàn)l：y= 距離相等的點(diǎn)的集合你覺(jué)得如何去探究？

筆者在聽(tīng)課過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生從探究到應(yīng)用，整個(gè)過(guò)程都比較流暢，但不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論運(yùn)用的“單一化”、“碎片化”。

“拋物線(xiàn)之‘拋物線(xiàn)上點(diǎn)的不變規(guī)律研究”之后，學(xué)生的收獲并不大。于是，我同課異構(gòu)，嘗試進(jìn)行了如下的修改：

課題：拋物線(xiàn)之“拋物線(xiàn)上點(diǎn)的不變規(guī)律”研究

（一）自主探究

1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是 問(wèn)題：如圖7，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），y軸上有一點(diǎn)A（0，14a），過(guò)點(diǎn)A（0，-14a）作與x軸平行直線(xiàn)l：y=-14a，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PB⊥l，垂足為H，PA=PH，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

基本結(jié)論：拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)必存在“與一定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)距離相等”的特征。

2.y=x2這個(gè)拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)有什么特征？y=14x2呢？

（二）規(guī)律運(yùn)用

1.如圖8，p（m，n）是拋物線(xiàn)y=14x2上任意點(diǎn)，A（0，1），l是過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與x軸平行的直線(xiàn)。

（1）條件給出的是什么？對(duì)于剛才的結(jié)論你能得出什么結(jié)論？

（2）延長(zhǎng)PA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，作MN⊥l，連接NA，求∠NAH的度數(shù)。

（3）直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)B，在（2）的條件下，連接MB，PB，則∠ABM與∠ABP有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（4）在（2）的條件下，以PM為直徑的的圓與直線(xiàn)l有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。endprint

（三）思考

1.如圖9，已知拋物線(xiàn)y=14x2，點(diǎn)A（0，1），直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，-1），且平行于x軸。若點(diǎn)B（1，3），試在拋物線(xiàn)上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，并求出P的坐標(biāo)。

2.拋物線(xiàn)y=ax2+k，y=ax2+bx+c上的點(diǎn)又有何規(guī)律呢？同學(xué)們課后繼續(xù)研究。

調(diào)整后教案的研究背景更加簡(jiǎn)潔，研究?jī)?nèi)容更加深入。此番調(diào)整，目的何在？

1.背景去“碎片化”：將規(guī)律應(yīng)用的題2、題3合二為一。題2所涉及的知識(shí)點(diǎn)：結(jié)論、梯形的中位線(xiàn)公式、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。題3所涉及的知識(shí)點(diǎn)：結(jié)論、梯形的中位線(xiàn)公式、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。很明顯知識(shí)點(diǎn)重復(fù)，具備背景統(tǒng)一的條件。

2.思維過(guò)程去“碎片化”：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的不變規(guī)律呈現(xiàn)后，設(shè)計(jì)者從拋物線(xiàn)上一個(gè)點(diǎn)增加到兩個(gè)點(diǎn)，繼而出現(xiàn)梯形等知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)間的邏輯關(guān)系被進(jìn)一步反應(yīng)出來(lái)，避免了結(jié)論的獨(dú)立呈現(xiàn)。背景統(tǒng)一后的第一個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生提出連接AH，△PAH是一個(gè)等腰三角形。繼而由等腰+平行→平分的思維模型學(xué)生又能發(fā)現(xiàn)AH平分∠PAH。加了第二個(gè)問(wèn)題“（2）延長(zhǎng)PA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，作MN⊥l，連接NA，求∠NAH的度數(shù)”，學(xué)生迅速通過(guò)模仿，得到AN平分∠BAP，利用整體思想，得到∠NAP=90°的結(jié)論。接下去的第（3）個(gè)問(wèn)題，才是將學(xué)生學(xué)生推向了高水平的思維過(guò)程：如何分析、綜合，從而聯(lián)系到利用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題。

3.體驗(yàn)過(guò)程去“碎片化”：獲得基本結(jié)論后，原教案：“猜想：對(duì)于任意m，n，PA與PH的大小關(guān)系是 ?！闭{(diào)整后：“條件給出的是什么？對(duì)于剛才的結(jié)論你能得出什么結(jié)論？”，后者明顯突出了學(xué)生對(duì)結(jié)論使用條件的體驗(yàn)。原教案：“線(xiàn)段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)y=x24-1上滑動(dòng)?！闭{(diào)整后：“延長(zhǎng)PA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M ”。研究對(duì)象轉(zhuǎn)向兩個(gè)點(diǎn)。

三、“整體構(gòu)建”需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

1.從“碎片”到“整體”是知識(shí)點(diǎn)的編織。皮亞杰認(rèn)為思維是一種結(jié)構(gòu)，而且這種結(jié)構(gòu)從出生到成熟一直處于不斷編織、演變和遞進(jìn)的過(guò)程中。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都像是絲線(xiàn)，教師備課時(shí)不可能把所有的絲線(xiàn)進(jìn)行編織。要求我們必須在一個(gè)階段內(nèi)，在某一背景下把無(wú)數(shù)碎片重新整編，才能得出相對(duì)完整的拼圖。

2.從“碎片”到“整體”是思維的再建構(gòu)。在學(xué)生獲得完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，思維是否實(shí)現(xiàn)再建構(gòu)才是衡量“碎片”到“統(tǒng)一”的標(biāo)準(zhǔn)。思考題1中，學(xué)生從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，第一反應(yīng)是找點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AB而并非過(guò)點(diǎn)P做l的垂線(xiàn)。只有突破了這個(gè)思維難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)線(xiàn)上的點(diǎn)的最小值問(wèn)題才算有了真正的統(tǒng)一。

3.從“碎片”到“整體”是師生的融合。如果我們把自身從事件中抽離，很快能發(fā)現(xiàn)這種情景出現(xiàn)的原因：教師的鋪墊太多，學(xué)生的體驗(yàn)太少。調(diào)整后的課堂教學(xué)把問(wèn)題的提出還給了學(xué)生，學(xué)生在老師的組織下相互啟發(fā)，思維體驗(yàn)循序漸進(jìn)，在問(wèn)題的解決中收獲成就感。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張卓玉.構(gòu)建教育新模式[M].湖南教育出版社，2013.

[2]饒佩.從“碎片化”到“整體化”——中小學(xué)課堂的現(xiàn)狀與應(yīng)然取向[J].福建教育，2015（19）.endprint