胡連成

摘 要：比知識重要的是方法，比方法重要的是興趣.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動參與，通過一題多解，對習(xí)題的解法進(jìn)行探究，實現(xiàn)學(xué)生對問題的多維思考，對知識的融會貫通，使學(xué)生收獲的不僅是解決問題的方法，更是探究意識的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的激發(fā).

關(guān)鍵詞：解法探究；一題多解；知識融合；興趣培養(yǎng)

一、題目介紹

如圖1，已知矩形ABCD中，AD=[2]，AB=2，E為AB中點，AF⊥DE，連結(jié)CF. 求證：CF⊥DE.

二、探索過程

生1：太簡單了，已知AF⊥DE，那么不就說明CF⊥DE了嗎？

師：請同學(xué)們仔細(xì)閱讀題目，你認(rèn)為點A，F(xiàn)，C在同一條直線上嗎？

生1：根據(jù)圖形可以看出點A，F(xiàn)，C都在矩形ABCD的對角線上呀！

生2：已知條件中沒有說線段AF，CF在矩形ABCD的對角線上，也就是說“點A，F(xiàn)，C在同一條直線上”是未定的結(jié)論，需要我們證明.

至此同學(xué)們恍然大悟，問題沒有那么簡單，大家陷入思考之中……

生3：要證CF⊥DE，通常需要證明∠DFC=90°，因此我想到通過計算證明“DF 2+CF 2= CD 2”成立來說明△DFC是直角三角形.

已知AD=[2]，AE=1，DE =[AD2+AE2=][3]，根據(jù) [S△ADE=12AD·AE=12DE·AF]，可求 AF =[AD×AEDE=63].所以DF =[AD2-AF2][=233].而CD=AB=2，下面需要求線段CF的長度，這需要說明A，F(xiàn)，C三點共線，但我沒有想出證明的方法.

師：這位同學(xué)執(zhí)果索因的逆向思維方式給了我們一些啟示，誰能幫助他計算CF的長呢？

生4：生3的解法給我一些啟示，我想過F點作FG⊥DC（見圖2），得到Rt△FDG和Rt△FCG.

根據(jù)CD∥AB，可得∠CDF=∠DEA，又知∠DGF=∠EAD=90°，所以△DGF∽△EAD，可求 DG=[DF·AEDE=233×13=23]， FG=[DF·ADDE][=233×23=223]，所以CG = CD -DG=2-[23=43].故可得：DF 2+CF 2 = DF 2+GF 2 +CG 2 =（[233]）2 +（[232]）2 +（[43]）2 =4= CD 2 .所以 △DFC為直角三角形，即CF⊥DE.

師：生4通過F點作FG⊥DC構(gòu)建Rt△FDG和Rt△FCG，使“需證”和“條件”建立聯(lián)系.連續(xù)運(yùn)用勾股定理巧妙地證明了“DF 2+CF 2 = CD 2”，太棒了！同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生5 ：我感覺生4的證法過于復(fù)雜，我想如果充分運(yùn)用相似三角形可有更簡潔的方法.借鑒前面同學(xué)的結(jié)論可知：AD=[2]，AE=[12]AB=1，DE =[3]，DF =[233] .所以[DCDF=]

[2233=3]，[DEAE=31=3]，所以[DCDF=DEAE，] 根據(jù)CD∥AB 可得∠CDF=∠DEA.所以△DFC∽△EAD ，所以∠CFD=∠DAE=90°，亦可證CF⊥DE.

師：圖形中蘊(yùn)含了豐富的知識，同學(xué)們不但要認(rèn)真審題，同樣也要認(rèn)真審圖，這位同學(xué)通過“審圖”充分挖掘圖形中的相似三角形，發(fā)現(xiàn)較為簡便的證明方法，這種好習(xí)慣值得我們借鑒.

生6：我的證明思路和前幾位同學(xué)的不同，既然本題的難點是已知條件沒有說明點A，F(xiàn)，C的三點共線，我想能否過點C作CF′⊥DE，垂足為點F′（見圖3），然后說明F′和F是同一點呢？我們在學(xué)習(xí)“三邊成比例的兩三角形相似”時曾經(jīng)運(yùn)用過類似的方法解決問題，于是我就想能否借鑒教材中的方法呢？

證明過程如下：過點C作CF′⊥DE，垂足為點F′.

根據(jù)∠CDF′=∠DEA，∠CF′D=∠DAE，可證△CF′D∽△DAE.根據(jù)[DCDE=DF′AE]可求DF′=[2×13=233]，根據(jù)生3解法可知DF=[233]，所以DF′=DF，即點F′與點F重合， 所以 CF⊥DE.

師：生6的解法太精妙了，由因?qū)Ч驁?zhí)果索因的常規(guī)思考有難度時，換個角度思考問題，通過構(gòu)造CF′⊥DE，利用相似證明了DF′=DF，從而說明F′與F是同一點，這種方法我們稱為同一法.這位同學(xué)善于精讀教材，在反復(fù)品味中思考問題，歸納方法，這種好習(xí)慣值得我們學(xué)習(xí).

生7：生6的解法給我很大的啟發(fā)，我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時常有判斷三點共線的問題.于是我想到一種新的解題方法：以點A為坐標(biāo)原點、AB所在的直線為x軸、AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（見圖4）.設(shè)直線AF的解析式為y=kx，根據(jù)[k=tan∠FAE= tan∠ADE][=AEAD=22].可得y=[22]x，當(dāng)x=2時，y=[22]×2=[2].所以可以判斷 C（2，[2]）在直線y=[22]x上，即A，F(xiàn)，C三點共線，所以CF⊥DE.

師：這位同學(xué)給我們展現(xiàn)了更為“驚艷”的解法，運(yùn)用一次函數(shù)和銳角三角函數(shù)知識說明了A，F(xiàn)，C三點共線.你是如何想到“[k=tan∠FAE]”的呢？

生7：一開始我想用待定系數(shù)法求直線AC的函數(shù)表達(dá)式，但我發(fā)現(xiàn)F點坐標(biāo)不好求，我在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”時，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)[y=kx+b]的一次項系數(shù)“[k]”的大小和直線的“傾斜程度”有關(guān)，而三角函數(shù)中坡度[i=tanα]也和直線的“傾斜程度”有關(guān)，二者之間必有某種聯(lián)系，我通過結(jié)合實例進(jìn)行歸納，并查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)[i=tanα=k]是成立的.

此時，全班同學(xué)對此贊不絕口，筆者也是為之一振，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不就是通過探索活動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題的嗎？

生8：看到生7運(yùn)用三角函數(shù)的過程，我想到另一種解法，連接AC， 因為[tan∠FAE= tan∠ADE=AEAD=22]，[tan∠BAC]endprint

[=CBAB=22].所以[tan∠FAE= tan∠BAC].所以[∠FAE= ∠BAC].故AF與AC重合， 所以 CF⊥DE.

至此，全班自發(fā)響起陣陣掌聲，大家不由得贊嘆解法的精妙.大道至簡，一道習(xí)題5種解法，從不同角度思考問題，由繁至簡、數(shù)形結(jié)合、規(guī)律運(yùn)用、知識交融……令人拍案叫絕.

三、幾點啟發(fā)

（一）知識學(xué)習(xí)，重視生成過程

知識學(xué)習(xí)是個體經(jīng)歷探索、碰撞、發(fā)現(xiàn)、感悟的過程，學(xué)生在知識生成的探索中收獲的不僅是知識，更重要的是方法經(jīng)驗和情緒體驗，這是個體不斷成長的重要過程. “一個定義、幾項注意、反復(fù)練習(xí)”的灌輸式學(xué)習(xí)方式，忽視了學(xué)生探索知識的過程，不利于學(xué)生的思維發(fā)展和心理成長，早已被我們所拋棄.俗話說“磨刀不誤砍柴工”，雖然知識探索時效不高，課本知識可能會遺忘，但探索知識收獲的經(jīng)驗、方法、思想?yún)s將伴隨學(xué)生一生，使他們終身受益.本例探索中，學(xué)生由課本知識的探索收獲想到用同一法解決問題，給人以“驚艷”之感.再比如，我們學(xué)習(xí)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等”時，應(yīng)該留足夠時間經(jīng)歷知識的探索過程，從中體會“分類討論”“從特殊到一般的思考方法，一般問題轉(zhuǎn)化為特殊情況的解決方法”等相關(guān)的思想.教學(xué)中花費(fèi)時間經(jīng)歷知識“再生成”過程，短期效果可能不明顯，但從長遠(yuǎn)來看，一定會有助于學(xué)生的思維發(fā)展，正所謂“無心”插柳柳成蔭，“不經(jīng)意間”的知識探索生成會使學(xué)生有意想不到的收獲.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視知識探究學(xué)習(xí)，通過思考、交流、感悟，經(jīng)歷知識的“生成”過程，在主動知識探索中體會數(shù)學(xué)的思想方法，感悟探索的快樂.

（二）問題思考，善于探究規(guī)律

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視問題探索，鮮活的具體問題是數(shù)學(xué)知識的載體，數(shù)學(xué)知識是問題的靈魂.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從某種角度來說就是通過探索問題發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題的過程，規(guī)律可能是計算方法和技巧，可能是解決問題的思路和途徑，可能是抽象的數(shù)學(xué)思想與方法……對于具體的問題思考，不要局限于解決問題，應(yīng)進(jìn)一步追問與探索，問題解決的方法是否具有普遍性、規(guī)律性，問題的結(jié)論是否可以進(jìn)一步推廣延伸，與其他內(nèi)容是否具有內(nèi)在的聯(lián)系，數(shù)學(xué)問題是具體的、可變的，數(shù)學(xué)知識規(guī)律是簡潔而恒定的.例如，本例中，學(xué)生根據(jù)一次函數(shù)圖象的“直線傾斜”和銳角三角函數(shù)“邊的傾斜”，思考其內(nèi)在聯(lián)系，歸納了“[i=tanα=k]”，豈不精妙！再比如，我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減、左加右減”，那么回頭再思考八年級學(xué)習(xí)的一次函數(shù)和反比例函數(shù)是否也有類似的平移規(guī)律呢？ 再如，我們學(xué)習(xí)了“菱形的面積等于對角線乘積的一半”，那么，結(jié)論的背后蘊(yùn)含的是“只要四邊形對角線互相垂直，它的面積就等于對角線乘積的一半”的規(guī)律，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“銳角三角函數(shù)”后，可以進(jìn)一步探索“四邊形的面積和兩條對角線長度及對角線的夾角銳角[α]有內(nèi)在普遍規(guī)律：[S四邊形ABCD=] [12AB·AC·sinα]”.如果教學(xué)中有意識地培養(yǎng)數(shù)學(xué)的這種規(guī)律探究意識，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一定會有極大的提高.

（三）知識運(yùn)用，重視融會貫通

知識的學(xué)習(xí)，妙在通透.“通”為互通，知識點融會貫通、四通八達(dá)、形成體系；“透”指透明，知識點本質(zhì)要義一目了然、熟爛于胸.數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好知識融合的問題，形成完整的知識結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)“既見樹木又見森林”的知識整合目的.本例中解法的探究歷程，不單純以解答問題為目的，而應(yīng)從多種解法中對比、聯(lián)系，一題多解實現(xiàn)對問題的多維思考，多解歸一實現(xiàn)知識的融會貫通.例如，本例中，一次函數(shù)圖象的“直線傾斜”和銳角三角函數(shù)“邊的傾斜”內(nèi)容融合統(tǒng)一.再如，方程、不等式與函數(shù)的融合統(tǒng)一；三角形“內(nèi)心、外心、重心及正三角形的中心”的聯(lián)系；平行四邊形、矩形、菱形、正方形的圖形性質(zhì)和證明方法的聯(lián)系和區(qū)別；統(tǒng)計中的“頻率”與“概率”的內(nèi)在統(tǒng)一等.

（四）課堂教學(xué)，重在激發(fā)興趣

課堂的有效性取決于學(xué)生主動參與度，調(diào)動學(xué)生主動性需要培養(yǎng)學(xué)生對知識探索的強(qiáng)烈興趣.比知識更重要的是方法，比方法更重要的是興趣，學(xué)習(xí)興趣是課堂煥發(fā)生命活力的前提.學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)需要教師精心設(shè)計問題引領(lǐng)探索活動，問題的選擇設(shè)計外表要鮮活——有趣，能吸引學(xué)生的眼球；里子有內(nèi)涵——方法、思想蘊(yùn)含其中.問題的引導(dǎo)要把握時機(jī)，在“好雨知時節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生”處引導(dǎo)，于“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”時熏陶.在濃厚的求知欲和好奇心的引領(lǐng)下，激情思維才能碰撞出火花，才能形成“百花齊放、百家爭鳴”的良性課堂互動氛圍.本例在問題的探索中，學(xué)生收獲的不僅是問題解決的不同策略，更重要的是激發(fā)了數(shù)學(xué)探究的興趣、感受了探索的樂趣，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)好玩、有趣，這才是數(shù)學(xué)教育的最高藝術(shù).[□][◢]endprint