覃淋

[摘? 要] 對高中數(shù)學(xué)人教A版、B版教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平進(jìn)行比較，研究發(fā)現(xiàn)：水平3——遷移性理解水平的題目，A版教材和B版教材所占比例相差不大;水平1——操作性記憶水平的題目，二者占比相差較大，B版教材較A版教材多了15.6%;水平2——概念性理解水平的題目，A版教材比B版教材多了9.6%;A版教材在水平4的習(xí)題類型比B版教材豐富，數(shù)量也比B版教材多.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教材;統(tǒng)計(jì)與概率;認(rèn)知水平;比較

數(shù)學(xué)教材是“課程標(biāo)準(zhǔn)”理念的體現(xiàn)，一般是由正文、例題、習(xí)題三部分有機(jī)組成的. 例題、習(xí)題作為中學(xué)數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，例題、習(xí)題的設(shè)置在某種程度上反映了教材的特征和教材編寫者的價(jià)值取向，在教材中的重要性不言而喻. 數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟;波利亞也指出“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”. 因此，對數(shù)學(xué)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行研究是數(shù)學(xué)教材研究的中心問題之一.

教材作為教師教授、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)，而不同教材中的習(xí)題安排又是不同的，那么對一線數(shù)學(xué)教師來說，應(yīng)該怎樣去選擇一本合適的教材呢？不同版本的教材其習(xí)題設(shè)置與安排又各有什么特點(diǎn)呢？哪種教材習(xí)題的安排更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的能力呢？為此，我們選取了在我國使用范圍較廣的人民教育出版社出版的A版、B版高中數(shù)學(xué)教材，以教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題為對象進(jìn)行比較，考察兩套教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平.

兩套教材都是4章，“統(tǒng)計(jì)與概率”各2章，主要包括[1-4]：隨機(jī)現(xiàn)象、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、標(biāo)準(zhǔn)差、頻率分布、隨機(jī)事件、互斥事件、古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量的均值與方差、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、條件概率、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等內(nèi)容.

一般而言，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題分為“練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題”三類.其中，練習(xí)題主要涉及單一的概念、定理、命題以及相關(guān)運(yùn)算法則等，主要作用是教師課堂教學(xué)使用，使學(xué)生熟悉相關(guān)教學(xué)內(nèi)容;習(xí)題和復(fù)習(xí)題則涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，主要用于加深學(xué)生對“雙基”的理解，鞏固和掌握知識(shí)、基本技能和一些重要的數(shù)學(xué)思想方法等[5]. 本文統(tǒng)計(jì)的習(xí)題包括例題、練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題四類，下文在未做特別說明的情況下，本研究中的習(xí)題是“例題、練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題”的統(tǒng)稱.

數(shù)學(xué)習(xí)題的認(rèn)知水平框架

20世紀(jì)50年代，布魯姆主編的《教育目標(biāo)分類學(xué)·認(rèn)知領(lǐng)域》將認(rèn)知目標(biāo)具體分為“知識(shí)、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析、綜合、評價(jià)”6個(gè)水平. 這時(shí)，布魯姆提出的關(guān)于“認(rèn)知目標(biāo)”的分類還是關(guān)于一般教育學(xué)的，并不是針對數(shù)學(xué)學(xué)科的.后來有學(xué)者對此進(jìn)行進(jìn)一步的研究，把布魯姆的“認(rèn)知目標(biāo)分類”引入了數(shù)學(xué)學(xué)科，并設(shè)計(jì)了“計(jì)算、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析”4個(gè)層次的認(rèn)知水平目標(biāo)，但該分類方法在“連續(xù)性與層次性方面存在不足”[6]. 顧泠沅等在此基礎(chǔ)上，通過大樣本測試，將數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分為以下4個(gè)層次[7]：水平1：計(jì)算——操作性記憶水平;水平2：概念——概念性記憶水平;水平3：領(lǐng)會(huì)——說明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平.

在此研究基礎(chǔ)上，結(jié)合“統(tǒng)計(jì)與概率”部分習(xí)題的特點(diǎn)以及課程標(biāo)準(zhǔn)對“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的要求，我們將“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分為以下4個(gè)層次，水平1：計(jì)算——操作性記憶水平;水平2：概念——概念性理解水平;水平3：應(yīng)用——遷移性理解水平;水平4：分析——綜合性探究水平.

進(jìn)一步，水平1為記憶水平，我們稱為低認(rèn)知水平;水平2和水平3為理解水平，我們稱為一般認(rèn)知水平;水平4為分析綜合水平，我們稱為高認(rèn)知水平.

根據(jù)學(xué)生解決高中數(shù)學(xué)教材中相關(guān)數(shù)學(xué)問題所必須達(dá)到的數(shù)學(xué)認(rèn)知要求，我們結(jié)合教材中相關(guān)習(xí)題對數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架做出如下界定.

水平1：計(jì)算——操作性記憶水平.該水平的習(xí)題對學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平要求最低，只要按照課本要求的程序或方法進(jìn)行基本計(jì)算就可以解答這類問題;或直接代入相關(guān)數(shù)學(xué)公式就可以解決，只要求記住解題程序或步驟，不要求學(xué)生理解運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)原理.這里，我們把簡單的計(jì)算題、作圖題、概念記憶題歸為水平1. 如例題“在某年級的聯(lián)歡晚會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色不同外其他完全相同. 一次從中摸出5個(gè)球，至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率”，練習(xí)題“從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽出5張，求至少有3張A的概率”，這里學(xué)生按照教科書中給出的方法進(jìn)行基本計(jì)算即可.

水平2：概念——概念性理解水平.要求學(xué)生能初步理解教材中的基本概念、原理、方法，我們把舉例題、論述題歸入水平2. 如“給出一個(gè)概率很?。ù螅┑碾S機(jī)事件的例子”，又如“一個(gè)骰子擲一次得到2的概率是1/6，這說明一個(gè)骰子擲6次一定會(huì)出現(xiàn)一次2，這種說法對嗎？說說你的理由”.

水平3：應(yīng)用——遷移性理解水平.解決這類問題要求學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)原理、思想與方法，并能解決一些實(shí)際問題.需要學(xué)生對運(yùn)算、概念有比較徹底的理解，并有一定的遷移能力. 這里我們把較為復(fù)雜的解答題或是教材中沒有類似例題的解答題歸入水平3. 如“收集1993年至2002年每年中國人口總數(shù)的數(shù)據(jù)，建立人口與年份的關(guān)系，預(yù)測2003年和2004年的人口總數(shù)，并計(jì)算與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差”.

水平4：分析——綜合性探究水平. 解答該水平的習(xí)題需要學(xué)生具備高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，對問題進(jìn)行具體分析，能創(chuàng)造性地解決沒有接觸過的非常規(guī)的問題，同時(shí)還要求對問題的解決過程或方案做出價(jià)值判斷，也就是數(shù)學(xué)家解決相關(guān)問題時(shí)所達(dá)到的水平. 這里，我們把開放題、調(diào)查類題、證明題歸入水平4. 如“設(shè)事件A，B，C滿足條件P（A）>0，B和C互斥，試證明：P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）”，又如“收集班上所有學(xué)生身高的數(shù)據(jù)，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于每一個(gè)學(xué)生的性別與其身高是否高于（或低于）中位數(shù)的列聯(lián)表，并討論能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與身高有關(guān)系”.

統(tǒng)計(jì)結(jié)果

根據(jù)上面的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，我們對A版、B版教材“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到下表：

說明：表中等式左邊前一數(shù)字表示該水平統(tǒng)計(jì)部分的習(xí)題數(shù)，后一數(shù)字表示該水平概率部分的習(xí)題數(shù).如在20+56=76中，“20”表示A版教材統(tǒng)計(jì)部分在水平1上的習(xí)題數(shù)為20，“56”表示A版教材概率部分在水平1上的習(xí)題數(shù)為56. 下一列的百分比是該水平題目占題目總數(shù)的百分比.統(tǒng)計(jì)是按大題計(jì)算，如果一個(gè)題目有多個(gè)不同水平的小題，按小題中的最高認(rèn)知水平統(tǒng)計(jì).

結(jié)果分析

1. 從習(xí)題認(rèn)知水平統(tǒng)計(jì)表得到的結(jié)論

從表1可以看出，在習(xí)題總量上，二者相差不大，B版教材僅比A版教材多8道題.從認(rèn)知水平來看：

水平1：計(jì)算——操作性記憶水平的題目，二者相差較大，B版教材比A版教材多約15.6%.A版教材和B版教材在水平1的題目都比其他水平題目所占比重大，說明A版教材和B版教材都比較注重對學(xué)生“雙基”的培養(yǎng).

水平2：概念——概念性理解水平的題目，A版教材占17.5%，比B版教材高9.6%.

水平3：應(yīng)用——遷移性理解水平的題目，B版教材比A版教材多2.4%，相差不大.把水平2和水平3（一般認(rèn)知水平）合計(jì)，A版教材中占總習(xí)題的48.1%，比B版教材多出7.2%，差別較為明顯.

水平4：分析——綜合性探究水平的題目，A版教材比B版教材高出8.4%.

2. 進(jìn)一步分析

從表1我們看到，A版教材、B版教材在水平1、水平2和水平4的題目上比例差別較大，下面我們做進(jìn)一步的分析.

（1）水平1：操作性記憶水平題目的比較. 在統(tǒng)計(jì)習(xí)題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)在水平1的題目中，A版教材和B版教材的差別主要表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)部分的習(xí)題里，B版教材比A版教材多34道題，為此我們根據(jù)題目內(nèi)容做了一個(gè)更詳細(xì)的分類，結(jié)果如表2：

從表2可以看出，B版教材主要在抽樣方法、總體分布的估計(jì)、總體數(shù)字特征的估計(jì)、求回歸直線方程等方面的題目比A版教材的題目多. 其中估計(jì)總體的數(shù)字特征、求回歸直線方程中主要是一些簡單的計(jì)算題，這說明B版教材比A版教材更注重對學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng).

在隨機(jī)抽樣方法的題目中，主要是一些概念記憶題和隨機(jī)抽樣方法的簡單應(yīng)用，如B版教材中的習(xí)題“從編號為1～900的總體中用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為9的樣本”，這類題目在教材正文里一般都有類似的例題，只要照著例題給定的步驟或方法就可以順利完成，這類題目主要是加強(qiáng)學(xué)生對一些基本概念的理解.

在總體分布的估計(jì)中，主要是作圖類題目，一般是給出一堆數(shù)據(jù)，然后要求作出直方圖、莖葉圖等，是非?；A(chǔ)性的題目.

因此，可以說，在“統(tǒng)計(jì)與概率”部分，B版教材比A版教材更加注重強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，更加強(qiáng)調(diào)對基本技能的培養(yǎng).

（2）水平2：概念性記憶水平題目的比較. 水平2主要是舉例題和論述題，這類題目都要求學(xué)生對基本概念和原理有一定的理解. 其中A版教材的舉例題和論述題各有10題、22題;B版教材的舉例題與論述題各有2題、13題，A版教材在水平2的習(xí)題數(shù)量遠(yuǎn)大于B版教材，說明A版教材比B版教材更加注重學(xué)習(xí)對知識(shí)的理解，即是說，在“統(tǒng)計(jì)與概率”部分，A版教材比B版教材更好地體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的理念.

（3）水平4：綜合性探究水平題目的比較. 和水平1不同，B版教材在水平4的題目極少，僅占2%，可以忽略不計(jì). 下面是我們根據(jù)習(xí)題內(nèi)容進(jìn)行的詳細(xì)分類.

從表3可以看出，在水平4的題目中A版教材比B版教材題目類型更為豐富. 調(diào)查類題目A版有9道，B版教材僅有2道.B版的2道分別是設(shè)計(jì)調(diào)查問卷和設(shè)計(jì)調(diào)查問題，A版教材主要有：設(shè)計(jì)調(diào)查方案、設(shè)計(jì)抽樣方案、設(shè)計(jì)調(diào)查問卷、設(shè)計(jì)提問方法等，類型較B版教材更豐富.

在收集數(shù)據(jù)的題目中，A版教材有3個(gè)題目，這些題目都和學(xué)生的生活比較接近，也是學(xué)生比較感興趣的. 如其中一個(gè)題目就是讓學(xué)生統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)的生日，然后計(jì)算生日所在月份的頻率和頻數(shù). 證明題是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的很好的載體，但在B版教材中，統(tǒng)計(jì)概率部分沒有一個(gè)證明題！

結(jié)論

通過以上對A版教材和B版教材的比較，可以得出以下結(jié)論：

（1）A版教材、B版教材在習(xí)題總量上相差不大，B版教材稍多于A版教材;而實(shí)際上，從習(xí)題的類型看，B版教材在例題數(shù)量上遠(yuǎn)多于A版教材，但在練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題上則遠(yuǎn)少于A版教材.

（2）A版教材、B版教材的習(xí)題在低認(rèn)知水平（水平1）上相差較大;同時(shí)兩套教材在水平1的題目是最多的，都遠(yuǎn)高于其他三個(gè)水平的題目數(shù)量，說明我國教材還是注重對學(xué)生“雙基”的培養(yǎng). A版教材、B版教材都非常重視教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，B版教材尤為注重;同時(shí)，在對學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)上，B版教材也比A版教材更為重視.

（3）A版教材、B版教材的習(xí)題在較高認(rèn)知水平（水平2和水平3）上相差不大，各占習(xí)題總量的47.6%、40.7%，A版教材稍多于B版教材. 在高認(rèn)知水平（水平4）上，兩套教材的習(xí)題都比較少，其中B版教材僅有4道題目;從所占比例來看，A版教材高認(rèn)知水平的題目有20%，B版教材僅有2%. 因此，在對學(xué)生能力的培養(yǎng)上，A版教材顯然比B版教材做得更好一些，B版教材在高認(rèn)知水平上的題目過少，對學(xué)生的創(chuàng)造性解決問題的能力的培養(yǎng)有所不足. 當(dāng)然這并不是說，A版教材在這一方面做得很好.

從對學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)來說，我國的教材還存在著較大不足. 雖然在國際上許多測試（如PISA、TIMSS測試）中，我國學(xué)生都能拿高分. 但一些研究也表明[8]，中國學(xué)生在計(jì)算題、常規(guī)問題和條件受限問題解決上遠(yuǎn)高于美國學(xué)生，但在解決開放問題時(shí)卻弱于美國學(xué)生. 顧泠沅的研究也表明：我國學(xué)生在計(jì)算和概念層面的水平已大幅度提高，但分析問題和解決問題的能力竟有所下降[9].因此，如何在保持“雙基”優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步培養(yǎng)我國學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是擺在我國數(shù)學(xué)教育面前的一個(gè)大問題.

我國數(shù)學(xué)教育一向重視基礎(chǔ)，注重概念，這是必要的，但在“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容中不應(yīng)對“概念”過于強(qiáng)調(diào)，要“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”. 在適當(dāng)增加習(xí)題數(shù)量的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)販p少低認(rèn)知水平習(xí)題所占比例. 同時(shí)把概念性理解題目的形式作適當(dāng)變化，降低和例題形式完全相同的習(xí)題比例，增加一些變式概念性練習(xí). 在教材中尤其應(yīng)該適當(dāng)?shù)卦黾右恍└哒J(rèn)知水平的習(xí)題，多設(shè)置一些非常規(guī)、開放性的問題，以此來發(fā)展學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生提出猜想、構(gòu)造模型，一般化，數(shù)學(xué)推理證明等高水平認(rèn)知能力.

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