王康道

[摘 要]

把握概念的本質(zhì)是概念有效教學(xué)的根本。如何指導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)而不是記憶或者背誦概念的形式化定義。小學(xué)數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)要把握三個(gè)關(guān)鍵要素：一是把握概念的數(shù)學(xué)意義，理解概念的本質(zhì)；二是親歷概念的形成過(guò)程，領(lǐng)悟概念的本源；三是建構(gòu)概念的縱向聯(lián)結(jié)，形成概念之間的網(wǎng)絡(luò)。

[關(guān)鍵詞]

數(shù)學(xué)概念；有效教學(xué)；教學(xué)策略

把握概念的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的根本。那么，如何指導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)而不是記憶或背誦概念的形式化定義？筆者認(rèn)為，重要的是要回答好“三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題”，即：這個(gè)概念的本質(zhì)是什么？它是怎樣形成的？它與其他概念有怎樣的聯(lián)系？下面談?wù)劚救说囊恍┙虒W(xué)實(shí)踐與思考。

一、把握概念的數(shù)學(xué)意義，理解概念的本質(zhì)

把握概念的本質(zhì)是概念有效教學(xué)的根本，那么，教學(xué)中如何指導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)呢？筆者認(rèn)為，除了指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟概念的形式化的定義外，更應(yīng)理解這一概念的數(shù)學(xué)意義是什么。

在教學(xué)乘法分配律時(shí)，呈現(xiàn)一個(gè)“同學(xué)們植樹”的生活化情境，學(xué)生自主解決兩個(gè)一步計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題：①負(fù)責(zé)挖坑、種樹的一共有多少人？②負(fù)責(zé)抬水、澆樹的一共有多少人？列出算式：4×25=100（人）和2×25=50（人）。并指導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)算式表示的乘法意義：4×25可以表示25個(gè)4相加，也可以表示4個(gè)25相加；2×25可以表示25個(gè)2相加，也可以表示2個(gè)25相加；然后，通過(guò)解決“一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動(dòng)”這一問(wèn)題，讓學(xué)生依據(jù)兩條思路得到兩個(gè)算式：（4+2）×25和4×25+2×25，根據(jù)算式的現(xiàn)實(shí)意義和計(jì)算結(jié)果，可得到等式：（4+2）×25=4×25+2×25。指導(dǎo)學(xué)生從形式上理解乘法分配律：（4+2）×25先算“和”，再“相乘”；4×25+2×25先“分別相乘”，再“相加”；兩個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果相等。這樣就突出了乘法分配律的形式是：左邊算式是“和、相乘”，右邊算式是“分別相乘”“再相加”，學(xué)生領(lǐng)悟了乘法分配律的形式化的定義；最后，從乘法意義上理解乘法分配律的內(nèi)涵。學(xué)生討論：結(jié)合乘法的意義，說(shuō)說(shuō)25×（4+2）○25×4+25×2這兩個(gè)算式，為什么計(jì)算結(jié)果相等呢？左邊的算式：4+2=6，25×6表示有6個(gè)25相加；右邊的算式：4×25表示有4個(gè)25相加，2×25表示有2個(gè)25相加，合起來(lái)一共有6個(gè)25，左右兩邊算式都表示6個(gè)25相加，所以兩者結(jié)果相等。

理解乘法分配律內(nèi)涵的關(guān)鍵是乘法的意義。教學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)不同水平的學(xué)習(xí)活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生抓住幾個(gè)非常頻繁的詞語(yǔ)，領(lǐng)悟概念形式化的定義，再結(jié)合乘法的意義（幾個(gè)幾）理解乘法分配律的內(nèi)涵，從“形式”和“內(nèi)容”兩個(gè)維度去理解概念的本質(zhì)。

二、親歷概念的形成過(guò)程，領(lǐng)悟概念的本源

（一）經(jīng)歷從生活常識(shí)抽象成數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，理解概念的現(xiàn)實(shí)意義

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)不是由教師把知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程。教學(xué)時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)世界的生活情境，讓學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)過(guò)程，理解概念的現(xiàn)實(shí)意義。

例如，在教學(xué)單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)這三個(gè)數(shù)學(xué)概念及其數(shù)量關(guān)系時(shí)，課前，要求學(xué)生和家長(zhǎng)一起去超市購(gòu)買生活用品，并記錄當(dāng)天購(gòu)買的商品名稱和有關(guān)的數(shù)學(xué)信息：買了什么商品？每件多少錢？買了多少件？要付多少錢？上課時(shí)，學(xué)生匯報(bào)當(dāng)天購(gòu)買生活用品時(shí)記錄的數(shù)學(xué)信息，并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師有側(cè)重地進(jìn)行摘錄：①籃球每個(gè)80元，要買3個(gè)。一共要多少錢？②魚每千克10元，買4千克。一共要多少錢？等等。結(jié)合生活實(shí)例，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)所舉例子相關(guān)的信息和問(wèn)題具有某些共同的屬性，從而抽象、概括出概念的形式：每件商品的價(jià)錢，叫作單價(jià)；買了多少，叫作數(shù)量；一共用的錢數(shù)，叫作總價(jià)。在這一過(guò)程中，學(xué)生不是被動(dòng)接受信息刺激，而是主動(dòng)地進(jìn)行建構(gòu)，根據(jù)自己已有的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)所學(xué)信息進(jìn)行主動(dòng)地選擇、加工和處理，從而獲得自己的概念知識(shí)。把數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)融入生活中，學(xué)生通過(guò)不斷的實(shí)踐加強(qiáng)知識(shí)與生活的融合，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生并不是憑空想象的，學(xué)生經(jīng)歷從生活常識(shí)抽象成數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，從而理解概念的現(xiàn)實(shí)意義。

（二）經(jīng)歷從舊知遷移到新知的學(xué)習(xí)過(guò)程，理解概念的數(shù)學(xué)意義

【案例1】人教版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)片段

問(wèn)題：你能用分?jǐn)?shù)表示出涂色部分的大小嗎？

生：[12]、[14]、[18]。

師：觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：分子不變，分母變了。

師：它們大小排列的順序呢？

生：[12]>[14]>[18]（第①組），反過(guò)來(lái)就是[18]<[14]<[12]（第②組）。

師：這些分?jǐn)?shù)的分子不變，分母變了；表示取的份數(shù)不變，平均分的份數(shù)變了，它的大小也發(fā)生了變化。分的份數(shù)越多，分?jǐn)?shù)越??；分的份數(shù)越少，分?jǐn)?shù)越大。

問(wèn)題：你能用分?jǐn)?shù)表示出涂色部分的大小嗎？

生：[18]、[28]、[48]。

師：觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：分母不變，分子變了。

師：它們的大小呢？

生：[18]<[28]<[48]（第③組）反過(guò)來(lái)就是[48]>[28]>[18]（第④組）。

師：這些分?jǐn)?shù)的分母不變，分子變了；也就是平均分的份數(shù)不變，取的份數(shù)變了，它的大小也發(fā)生了變化。取的份數(shù)越多，分?jǐn)?shù)越大；取的份數(shù)越少，分?jǐn)?shù)越小。

問(wèn)題：觀察這兩組分?jǐn)?shù)：[12]>[14]>[18]（第①組）和[18]<[14]<[12]（第②組），它們的分母怎么變化？

生：第①組，分母都乘2，第②組分母都除以2。

師：分子不變，分母乘或除以一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小變了。那么，第③、第④組分?jǐn)?shù)呢？endprint

生：分母不變，分子乘或除以一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小變了。

在進(jìn)行“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時(shí)，需要指導(dǎo)學(xué)生理清兩個(gè)問(wèn)題：為什么分?jǐn)?shù)的分子和分母要同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)呢？這一數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)起點(diǎn)在哪兒？筆者認(rèn)為，分?jǐn)?shù)的意義就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)這一概念的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，分母表示平均分成多少份，分子表示取了多少份，在理解分?jǐn)?shù)的分母和分子乘（或除以）一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小會(huì)發(fā)生變化的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生理解“為什么同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小才不變”這一命題。根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的水平，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平特點(diǎn)和規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)，建立新舊知識(shí)之間橫向聯(lián)系的紐帶，從舊知遷移到新知，學(xué)生親歷概念的結(jié)構(gòu)化的形成過(guò)程，理解概念的數(shù)學(xué)意義。

三、建構(gòu)概念的縱向聯(lián)結(jié)，形成概念之間的網(wǎng)絡(luò)

【案例2】人教版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)片段

問(wèn)題：通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式感知這兩組分?jǐn)?shù)大小相等：[12]=[48]；[14]=[28]，那么，你能用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)驗(yàn)證一下這兩組的分?jǐn)?shù)相等嗎？

生1：[12]=1÷2=0.5；[48]=4÷8=0.5；所以[12]=[48]。

生2：[14]和[28]的分子除以分母的商都是0.25；所以[14]=[28]。

師：[12]和[48]、[14]和[28]這兩組分?jǐn)?shù)的分子和分母都不相同，但是它們的大小都相等。仔細(xì)觀察、思考，它們的分子、分母什么怎樣變化，分?jǐn)?shù)的大小不變呢？

生1：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

生2：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小也不變。

師：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫作分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

問(wèn)題：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律，你能說(shuō)明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？

生：分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于除法的被除數(shù)，分母相等于除法的除數(shù)，又因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。因此，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：找到了這樣的關(guān)系，也再一次驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)邏輯推理的學(xué)習(xí)活動(dòng)，建立分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等概念之間內(nèi)在邏輯的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行縱向的聯(lián)結(jié)，構(gòu)建概念之間認(rèn)知的系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]馬斯燕.基于學(xué)情的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略例談[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（1）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）endprint