畢金

【摘要】 線性代數(shù)是一門比較抽象的課程，學(xué)生學(xué)習(xí)起來覺得困難、吃力.如何在第一堂課上讓學(xué)生認(rèn)同這門課并產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣呢？本文根據(jù)筆者多年來在教學(xué)實(shí)踐中的思考，介紹線性代數(shù)授課經(jīng)驗(yàn)，淺談一下線性代數(shù)第一堂課如何設(shè)計(jì).

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù);第一堂課;高等數(shù)學(xué)

一、引 言

線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)是理工、經(jīng)管類本科生第一學(xué)期重要的公共基礎(chǔ)課，是自然科學(xué)知識當(dāng)中重要的組成部分，是一切相關(guān)課程的基礎(chǔ).沒有這兩門課程的預(yù)備知識，后續(xù)課程沒法做到銜接，可見其重要性.這兩門課程同時開設(shè)，在學(xué)習(xí)的過程中，相比高等數(shù)學(xué)而言，很多學(xué)生覺得線性代數(shù)內(nèi)容抽象，晦澀難懂，學(xué)習(xí)起來吃力，還會問有什么用.基于這一點(diǎn)，我們對現(xiàn)在選用的線性代數(shù)教材也進(jìn)行了改革，每一章最后一節(jié)都增加跟知識點(diǎn)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，以便學(xué)生加強(qiáng)理解知識點(diǎn)的背景.另外，每一學(xué)期也會布置一次作業(yè)，讓學(xué)生去找與自己專業(yè)相關(guān)的線性代數(shù)的應(yīng)用題目.為了引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，了解這門課程的地位、重要性，以及為后續(xù)其他相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，第一堂課，課程的引入尤其重要.

二、具體內(nèi)容

先從高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識出發(fā).問學(xué)生：“高中有沒有學(xué)過如何求平面上不規(guī)則圖形的面積？”用板書給學(xué)生畫一個平面上曲邊梯形，求其面積.

雖然學(xué)生來自不同省份，但是每年班上90 % 以上的學(xué)生都能回答出用定積分來求.讓學(xué)生列出定積分的式子 ∫baf（x）dx，說出如何求出定積分的值.舉一個簡單的例子∫10xdx，學(xué)生馬上能回答出計(jì)算結(jié)果為 1 2 .

按高等數(shù)學(xué)中定積分知識，這個問題是可解的.可是做實(shí)際問題求不規(guī)則圖形面積時，定積分也有不能解決的問題.比如，被積函數(shù)的原函數(shù)無法表示，以及實(shí)際背景之下，不知道邊界曲線表達(dá)式，這個時候怎么辦呢？解決這樣的實(shí)際問題，高等數(shù)學(xué)知識不夠，需要用到線性代數(shù)的知識.可以通過測量得一些離散數(shù)據(jù).比如，有兩組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），兩點(diǎn)可以確定一條直線y=kx+b，代入求解二元線性方程組把系數(shù)定出來，再用直線作為曲邊的近似曲線，從而求出曲邊梯形的面積的近似值.但這個結(jié)果顯然近似程度不高，因此，希望多取幾組離散數(shù)據(jù)來作為曲邊的近似曲線，從而提高近似程度.如果取3組數(shù)據(jù)要定二次多項(xiàng)式需要解三元線性方程組.如果取n組數(shù)據(jù)，需要解n元線性方程組.問學(xué)生解線性方程組用什么方法，學(xué)生都知道用消元法.帶領(lǐng)學(xué)生一起用消元法求解二元線性方程組，把結(jié)果寫出來，再讓學(xué)生自己試著用消元法解3元線性方程組，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)計(jì)算困難，過程復(fù)雜，更不用說解n元線性方程組了.在求解實(shí)際問題時，n通常非常大，比如，數(shù)值計(jì)算當(dāng)中經(jīng)常用到150個以上.這個時候顯然用消元法一步步求解已經(jīng)不現(xiàn)實(shí)了.這屬于數(shù)值計(jì)算中非常經(jīng)典的插值問題.插值問題的解決需要求解線性方程組，而這個問題對應(yīng)的線性方程組是方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情況.

如果線性方程組方程個數(shù)跟未知量個數(shù)不相等有沒有實(shí)際意義呢？有，比如，非常經(jīng)典的道路交通問題.畫出某道路交通網(wǎng)，用箭頭表示道路行駛方向，數(shù)字表示已知單位時間通過部分道路的車流量，試求出單位時間內(nèi)通過剩下道路的車流量問題.通過每個路口的從不同方向進(jìn)去的車輛跟出去的車輛數(shù)量相同，列出方程個數(shù)跟未知量個數(shù)不同的線性方程組.

由以上兩個通俗易懂的實(shí)際問題，引出應(yīng)用價值高的第一章線性方程組的解法.特殊地，當(dāng)方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同時，可考慮用行列式進(jìn)行求解.一般地，如果方程個數(shù)與未知量個數(shù)不同，行列式不能用，需要借助矩陣相關(guān)知識進(jìn)行求解，由此引出線性代數(shù)兩大入門概念，行列式與矩陣.這樣教材的前三章的背景很自然就出來了.

三、小 結(jié)

第一堂課，從高等數(shù)學(xué)知識出發(fā)，引入線性代數(shù)的相關(guān)知識，讓學(xué)生理解，原來光是靠高等數(shù)學(xué)只能解決一些連續(xù)問題，可是實(shí)際問題很多都是離散背景，這就需要線性代數(shù)知識.所以，很多實(shí)際問題的解決，是需要高等數(shù)學(xué)跟線性代數(shù)知識一起用.如果說高等數(shù)學(xué)是連續(xù)問題的基礎(chǔ)，線性代數(shù)則是離散問題的基礎(chǔ)，兩門課程相輔相成.

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