徐丹

【摘要】良好的數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。本文介紹培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的三種做法：在具體數(shù)學(xué)情境的數(shù)數(shù)中建立數(shù)感、在不斷聯(lián)系的運(yùn)算中發(fā)展數(shù)感、在解決實(shí)際問題中增強(qiáng)數(shù)感。

【關(guān)鍵詞】數(shù)感 實(shí)踐 思考 數(shù)量關(guān)系

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）09A-0075-03

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)量、數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)感好的學(xué)生，主要表現(xiàn)為在運(yùn)算中不拘泥于運(yùn)用計(jì)算法則或公式進(jìn)行計(jì)算，而是能夠根據(jù)數(shù)的特征，靈活地選取計(jì)算策略。

教師對(duì)數(shù)感一詞并不陌生，但對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)卻存在認(rèn)識(shí)上的缺失：其一，認(rèn)為數(shù)感培養(yǎng)是某些課的教學(xué)目標(biāo)；其二，重知識(shí)技能落實(shí)輕數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

實(shí)際上，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過程，學(xué)生的數(shù)感在入學(xué)前已經(jīng)萌芽，需要教師充分挖掘教學(xué)資源，對(duì)教材資源進(jìn)行重組與拓展，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生的思維，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生建立數(shù)感、發(fā)展數(shù)感、增強(qiáng)數(shù)感。

一、在具體數(shù)學(xué)情境的數(shù)數(shù)中建立數(shù)感

數(shù)是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，一年級(jí)的學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)依托于具體的情境。比如說數(shù)字“2”，學(xué)生頭腦中可能會(huì)出現(xiàn)2顆糖果，2枝鉛筆，也可能是3個(gè)小朋友走掉了1個(gè)還剩2個(gè)等具體情境。一年級(jí)學(xué)生的思維方式以具體直觀的形象思維為主，他們?cè)诰唧w的生活情境中比較容易理解數(shù)的含義以及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的過程離不開數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)是一項(xiàng)內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它可以體現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)的順序、數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的理解。數(shù)學(xué)教學(xué)可以在學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，選擇特定的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在有趣的數(shù)數(shù)活動(dòng)中建立數(shù)感。

（一）實(shí)物情境圖

數(shù)學(xué)源于生活，生活中的很多情境都值得用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察和分析。在數(shù)數(shù)活動(dòng)中，選取恰當(dāng)?shù)纳钋榫?，有助于學(xué)生體會(huì)到數(shù)數(shù)方法的多樣性，以及選擇合適的數(shù)數(shù)方法的必要性和簡(jiǎn)便性。要讓學(xué)生看到一幅圖就能立刻對(duì)數(shù)數(shù)策略做出恰當(dāng)?shù)倪x擇，依靠的是對(duì)數(shù)的直覺反應(yīng)，即學(xué)生的大腦已經(jīng)能夠做出無意識(shí)的反應(yīng)。

1.先圈出10只，再接著數(shù)。

上述三幅圖都出現(xiàn)在人教版一年級(jí)上冊(cè)《11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)》課后練習(xí)十七，要求學(xué)生數(shù)出圖中物品的數(shù)量。圖中物品的呈現(xiàn)方式是不一樣的，所需要的數(shù)數(shù)策略也有所不同。學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從一位數(shù)擴(kuò)展到了兩位數(shù)，數(shù)變大了，同時(shí)還產(chǎn)生了位值的概念。這是讓學(xué)生初步感受數(shù)數(shù)策略，建立直覺性數(shù)感的好時(shí)機(jī)。筆者在教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：

師：老師這里有三幅圖，比一比，誰(shuí)能又快又準(zhǔn)確地?cái)?shù)出圖中物品的數(shù)量。

（學(xué)生獨(dú)立數(shù)數(shù)，老師巡視）

師：說一說每一幅圖你是怎么數(shù)的。

生1：第一幅圖的蜜蜂有點(diǎn)亂，我是1只1只邊做記號(hào)邊數(shù)的，一共是14只。

生2：第二幅圖拖鞋一雙一雙地?cái)[，我是2，4，6……這樣2個(gè)2個(gè)數(shù)的，一共是12只。香蕉是5根一柄，我是5、10、15、20這樣5個(gè)5個(gè)數(shù)的，一共20根。

生3：第三幅圖我是看一包書上面寫著10本，旁邊還有2本，一個(gè)“十”和2個(gè)“一”合起來就是12本，數(shù)筆的方法也一樣。

師：小朋友們真會(huì)觀察，數(shù)數(shù)的方法有很多，可以1個(gè)1個(gè)數(shù)，2個(gè)2個(gè)數(shù)，5個(gè)5個(gè)數(shù)……也可以分別數(shù)出幾個(gè)“十”和幾個(gè)“一”再合起來。根據(jù)不同的圖選擇合適的數(shù)數(shù)方法，就能數(shù)得又快又準(zhǔn)確。

同樣是數(shù)數(shù)，不同的情境圖可以選擇不同的數(shù)數(shù)方法，教學(xué)中教師巧妙地將練習(xí)中的幾道題進(jìn)行整合，讓學(xué)生在對(duì)比中做出合理的選擇，學(xué)會(huì)舉一反三。通過長(zhǎng)期的積累，學(xué)生頭腦中建立了很多數(shù)數(shù)方法的模型，一旦遇到類似情況就能做出直覺反應(yīng)。這是學(xué)生數(shù)感建立的重要標(biāo)志。

（二）變化幾何圖

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，數(shù)可以使形的表達(dá)更精確，形可以使數(shù)量關(guān)系的表達(dá)更清晰。在一年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，將抽象的數(shù)與幾何圖形的拼組相結(jié)合，學(xué)生的數(shù)數(shù)伴隨著空間想象，每個(gè)孩子的觀察角度有所不同，數(shù)數(shù)方法也不一樣。學(xué)生的數(shù)數(shù)方法都有明顯的個(gè)體性特征。

如圖四，數(shù)圖中灰色的三角形數(shù)量，有的學(xué)生是一行一行地往下數(shù)，每一行都是前一行的基礎(chǔ)上加1個(gè)，第四個(gè)圖形就是“1+2+3+4”個(gè)；有的學(xué)生斜著觀察，第四個(gè)圖形就是“4+3+2+1”個(gè)。如圖五，有的學(xué)生是從每行和每列的數(shù)量變化進(jìn)行觀察的，接下去應(yīng)該是五行五列，可以5個(gè)5個(gè)快速數(shù)出是25；有的學(xué)生是對(duì)前后兩個(gè)圖進(jìn)行重疊式的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)每次都多了一行和一列（行與列有一個(gè)重疊），接下去就是“16+9=25”個(gè)。

讓變化的幾何圖作為數(shù)學(xué)情境，能夠促使學(xué)生通過觀察和對(duì)比形的變化來感知數(shù)量的變化，認(rèn)識(shí)到數(shù)數(shù)不一定是幾個(gè)幾個(gè)數(shù)，也可以遵循一定規(guī)律變化著數(shù)，數(shù)數(shù)的方法更多樣了。在數(shù)數(shù)中，學(xué)生學(xué)會(huì)了觀察，逐漸建立直覺的、個(gè)體性的數(shù)感。

二、在不斷聯(lián)系的運(yùn)算中發(fā)展數(shù)感

一年級(jí)數(shù)學(xué)教材遵循從小到大、由易到難的教學(xué)原則，以10、20、100作為分界點(diǎn)，讓學(xué)生循序漸進(jìn)地認(rèn)識(shí)數(shù)，以及學(xué)習(xí)加減法運(yùn)算。教材按照運(yùn)算的復(fù)雜程度，每次都是先學(xué)不進(jìn)位加法和不退位減法，再學(xué)進(jìn)位加法和退位減法；不論數(shù)有多大，加減法運(yùn)算遵循的都是位值和十進(jìn)制等數(shù)學(xué)法則。教材這樣安排遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，便于學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握運(yùn)算法則，但是也容易使學(xué)生在頭腦中將加減法運(yùn)算割裂成一個(gè)個(gè)獨(dú)立的部分，從而導(dǎo)致在計(jì)算過程中只會(huì)依賴運(yùn)算法則進(jìn)行機(jī)械的運(yùn)算，而不能根據(jù)數(shù)字的特征尋求簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法，不利于學(xué)生發(fā)展數(shù)感。因此，教師在教學(xué)中要整體把握運(yùn)算教學(xué)的目標(biāo)，借助體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的圖溝通不同運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)，通過設(shè)計(jì)開放性的計(jì)算練習(xí)建立關(guān)聯(lián)數(shù)字組，通過開展發(fā)散性的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)式與式的關(guān)聯(lián)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。endprint

（一）借助直觀圖建立關(guān)系模型

每一種運(yùn)算都不是孤立存在的，彼此之間存在內(nèi)在邏輯聯(lián)系。一年級(jí)數(shù)學(xué)涉及的加法和減法之間是互逆關(guān)系。在計(jì)算20以內(nèi)退位減法時(shí)用想加做減法可以快速地計(jì)算出得數(shù)，如計(jì)算12-9=（ ），只要想9+（ ）=12就能算出結(jié)果。一年級(jí)學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)加法和減法，有必要在教學(xué)中及時(shí)溝通加法和減法之間的關(guān)系。抽象的內(nèi)在聯(lián)系可以借助體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的直觀圖來溝通，在學(xué)生頭腦中建立加減法關(guān)系的模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

在教學(xué)“6、7的加減法”時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)了“一圖四式”（人教版一年級(jí)上冊(cè)P42，根據(jù)一幅圖寫出兩道加法算式和兩道減法算式），這時(shí)再引入表示數(shù)量關(guān)系的圖，就能使學(xué)生在腦海中建立加減法關(guān)系的圖像模型，為運(yùn)用加減法之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

師（出示6個(gè)正方形）：涂一涂，將6個(gè)正方形分成2個(gè)部分，你打算涂幾個(gè)（見圖六）？

生1：涂4個(gè)。

師：（根據(jù)學(xué)生的回答出示圖七），揭示“6”可以分成“4”和“2”，看圖你能寫出哪些算式？

生：4+2=6，2+4=6，6-2=4，6-4=2。

師：圖中老師能找到算式中的“4”和“2”，“6”表示什么意思呢？

生：“6”是總共有6個(gè)正方形。

師：（出示圖八）這樣可以更清楚地看出6、4、2這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

師：（出示圖九）現(xiàn)在你還能看出這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系嗎？

生：能。

師：（出示圖十）你能根據(jù)這幅圖來寫一寫算式嗎？

生：△+☆=10，☆+△=10，10-△=☆，10-☆=△。

學(xué)生頭腦中有了圖十這樣直觀的圖像模型，數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系一目了然，而數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的不同表達(dá)式就是加法與減法之間數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換。學(xué)生根本不需要去記“加數(shù)=和-加數(shù)”“減數(shù)=被減數(shù)-差”等這些枯燥的表達(dá)式就能運(yùn)用自如，數(shù)感在這樣的聯(lián)系中得到發(fā)展。

（二）借助開放性式題建立關(guān)聯(lián)數(shù)組

“20以內(nèi)退位減法”在減法計(jì)算教學(xué)中占有舉足輕重的地位，20以內(nèi)退位減法的熟練程度直接影響到今后多位數(shù)減法的計(jì)算正確率。很多教師認(rèn)為，熟能生巧，因而試圖通過不斷的強(qiáng)化訓(xùn)練來提高學(xué)生的計(jì)算正確率，但是實(shí)際上學(xué)生的數(shù)感并沒有在重復(fù)的機(jī)械訓(xùn)練中獲得發(fā)展。在學(xué)習(xí)“20以內(nèi)退位減法”時(shí)，教材介紹了三種計(jì)算方法，如“12-9”：個(gè)位上“2-9”不夠減，可以采用破十法，直接用“10-9=1”，再算“1+2=3”；也可以采用連減法“12-2-7=3”；還可以采用想加算減法，想“9+（3）=12”，那么“12-9=3”。學(xué)生能夠理解算理，也能夠運(yùn)用這些算法進(jìn)行計(jì)算，但是這幾種算法都需要幾個(gè)步驟，學(xué)生在口算時(shí)要想好幾個(gè)步驟，想達(dá)到一定的速度和正確率頗有難度。根據(jù)退位減法的算理，我們可以設(shè)計(jì)開放性式題，讓學(xué)生在填寫式題時(shí)鞏固算法，同時(shí)又能關(guān)注數(shù)字本身的特征，在頭腦中建立一些相關(guān)聯(lián)的數(shù)字組，在計(jì)算中加以運(yùn)用，從而發(fā)展數(shù)感。

師：（出示式題□-7=□，見圖十一）給大家2分鐘時(shí)間，看誰(shuí)填出的算式多。

師：同學(xué)們都能夠有順序地思考。觀察這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：被減數(shù)一個(gè)一個(gè)地增加，差也一個(gè)一個(gè)地增加。

生2：有些是不退位減法，有些是退位減法。

生3：被減數(shù)的個(gè)位和差都相差3。

師：你知道為什么會(huì)相差3嗎？

生4：我想這是破十法中的3，比如11-7，先算10-7=3，再算3+1=4。

（其他學(xué)生按照這個(gè)思路去觀察，發(fā)現(xiàn)如果用破十法去計(jì)算，都會(huì)先算“10-7=3”）

片段四：

師：（出示式題二 □-□=7，見圖十二）給大家2分鐘時(shí)間，看誰(shuí)寫的算式多。

師：同學(xué)們都能夠有順序地思考。觀察這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：被減數(shù)一個(gè)一個(gè)地增加，減數(shù)也一個(gè)一個(gè)地增加。

生2：被減數(shù)的個(gè)位比減數(shù)小3。

師：你知道為什么會(huì)相差3嗎？

生3：比如11-4，我們用連減法，把4分成1和3，11-1=10，10-3=7。

（其他學(xué)生按照這樣的思路去觀察，發(fā)現(xiàn)減數(shù)都可以分成被減數(shù)的個(gè)位數(shù)字和3，這樣連減的第二步算的都是“10-3=7”）

上述兩個(gè)式題中的已知數(shù)都是“7”，不論“7”是差還是減數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算中都會(huì)用到“10-7=3”或者“10-3=7”。在有關(guān)“7”的減法中，學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地將“3”與之進(jìn)行聯(lián)系，形成一種思維習(xí)慣，這便是一種數(shù)感。填數(shù)練習(xí)還可以進(jìn)一步擴(kuò)展，如□-□=6與□-6=□，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)“6”與“4”的密切關(guān)系。這樣的填數(shù)練習(xí)，既是對(duì)20以內(nèi)減法的鞏固，又能讓學(xué)生跳出算法本身的桎梏，關(guān)注到數(shù)字本身，在頭腦中建立一組組相關(guān)聯(lián)的數(shù)字，如“7”與“3”，“6”與“4”。在今后更復(fù)雜的運(yùn)算中，學(xué)生如果將數(shù)字的這種關(guān)聯(lián)性進(jìn)行運(yùn)用，就會(huì)使得數(shù)感在運(yùn)算中不斷發(fā)展。

（三）借助發(fā)散性的轉(zhuǎn)換建立式與式的關(guān)聯(lián)

運(yùn)算教學(xué)螺旋上升，學(xué)生并不是不斷學(xué)習(xí)新的算法，而是不斷地將新的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算。如一年級(jí)100以內(nèi)進(jìn)位加法可以轉(zhuǎn)化成20以內(nèi)進(jìn)位加法來計(jì)算，今后要學(xué)的多位數(shù)加法可以轉(zhuǎn)換成100以內(nèi)加法進(jìn)行計(jì)算等。轉(zhuǎn)換的方式具有多樣性，如在計(jì)算“24+9”就有多種轉(zhuǎn)換方法：方法一，先算“4+9=13”，再算“20+13=33”；方法二，先算“24+6=30”，再算“30+3=33”；方法三，先算“29+1=30”，再算“30+3=33”；方法四，“24+10=34，34-1=33”等。這些算法都將進(jìn)位加法進(jìn)行拆分和重組，都是建立在很多已知算式的基礎(chǔ)之上進(jìn)行計(jì)算的。開展發(fā)散性的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，讓學(xué)生將一個(gè)算式進(jìn)行多角度的轉(zhuǎn)換，有助于學(xué)生建立算式之間的關(guān)聯(lián)，在復(fù)雜的計(jì)算中靈活選用算法，提高計(jì)算的速度和正確率，發(fā)展數(shù)感。

在不改變運(yùn)算結(jié)果的前提下，學(xué)生根據(jù)數(shù)字之間的關(guān)系，不斷變換觀察角度，將比較復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的心算（如圖十三、十四）。轉(zhuǎn)換訓(xùn)練可以由學(xué)生獨(dú)立完成，訓(xùn)練學(xué)生的思維廣度；也可以由一個(gè)學(xué)習(xí)小組成員共同完成，分享彼此的成果。在不斷求異的轉(zhuǎn)換中，學(xué)生對(duì)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系有了更敏銳的感覺，并把這種感覺應(yīng)用于式的運(yùn)算中，建立式與式的關(guān)聯(lián)。學(xué)生的數(shù)感在這種訓(xùn)練中不斷發(fā)展。

三、在解決實(shí)際問題中增強(qiáng)數(shù)感

運(yùn)算與解決問題緊密相連，因此我們要引導(dǎo)學(xué)生依托具體的情境來理解運(yùn)算的含義，在解決問題的過程中掌握運(yùn)算技能。學(xué)生解決一個(gè)問題需要經(jīng)歷提取信息、選擇算法、得出結(jié)論這一基本過程。在這一過程中，理解數(shù)的含義，提取數(shù)量關(guān)系，得出結(jié)論需要學(xué)生綜合運(yùn)用對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)量關(guān)系的把握等知識(shí)。學(xué)生的數(shù)感在解決問題中得到體現(xiàn)并增強(qiáng)。

圖十五是人教版一年級(jí)下冊(cè)P80的一道題，一群小朋友圍在桌子旁邊分蛋糕，桌子上放著3盤蛋糕，每盤都是6個(gè)，一個(gè)小朋友說，分給17個(gè)小朋友，問：每個(gè)小朋友分一塊，夠嗎？圖中只出現(xiàn)了11個(gè)小朋友，而小朋友說要分給17個(gè)小朋友，學(xué)生首先需要對(duì)人數(shù)做出判斷。要知道每個(gè)小朋友分一塊夠不夠，可以將人數(shù)與蛋糕的數(shù)量進(jìn)行比較，根據(jù)比較結(jié)果做出判斷。

學(xué)生能夠把握將人數(shù)和蛋糕數(shù)進(jìn)行比較來做出判斷的基本思路，根據(jù)個(gè)人對(duì)題目中“3個(gè)6”“18”“17”這幾個(gè)數(shù)的特征的把握，綜合運(yùn)用加法、減法以及比較數(shù)的大小等來表示自己的想法，并依據(jù)計(jì)算結(jié)果做出判斷。正確的計(jì)算是做出正確判斷的前提，但也可能計(jì)算正確，在判斷時(shí)沒有理清數(shù)量之間的關(guān)系而做出錯(cuò)誤的判斷。數(shù)感在結(jié)論的判斷中得到增強(qiáng)。

數(shù)感的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過程，需要教師在日常教學(xué)中深入研讀教材，挖掘教材資源，在課堂上進(jìn)行不斷的滲透；需要教師整體把握教材的螺旋上升特征，在課堂教學(xué)教學(xué)中做好孕伏和聯(lián)系；需要教師重視解決問題策略的多樣性，鼓勵(lì)學(xué)生靈活和創(chuàng)造性地解決問題，讓學(xué)生在潛移默化中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)感，最終提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 黎雪娟）endprint