廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽廣東賽區(qū)選拔賽第9題的解法與探源

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

本文分析了2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽廣東賽區(qū)選拔賽的第9題,對其解法進(jìn)行了解讀.同時探究了該問題的命題背景.最后筆者仿照該問題設(shè)計(jì)了一道練習(xí)供讀者參考.

一、試題

設(shè)直線l:y=x+b與橢圓不相交.過直線l上的點(diǎn)P做橢圓C的切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N,連接MN.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動時,證明直線MN恒過定點(diǎn)Q;

(2)當(dāng)MN//l時,定點(diǎn)Q平分線段MN.

二、解法呈現(xiàn)

證明 (1)設(shè)P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2).則橢圓過點(diǎn)M,N的切線方程為：

因?yàn)榍芯€(1),(2)經(jīng)過點(diǎn)P,所以

根據(jù)(3),(4)構(gòu)造直線

顯然點(diǎn)M,N經(jīng)過直線(5),根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可知直線(5)即為直線MN.根據(jù)點(diǎn)P∈l可得：y0=x0+b,代入直線(5)可得：

該式對任意的x0∈R恒成立.令

即可知直線MN恒過定點(diǎn)

(2)當(dāng)MN//l時,直線MN的斜率

總結(jié)：在第(1)問中,涉及到切線方程以及切點(diǎn)弦方程.其中切線方程可通過隱函數(shù)求導(dǎo)所得.具體如下：對橢圓方程求導(dǎo)可得：

代入切點(diǎn)(x1,y1)可得切線方程為：

通過切線方程及兩點(diǎn)確定一條直線求得切點(diǎn)弦方程.根據(jù)點(diǎn)P的任意性求得對用的定點(diǎn)Q.對于第(2)問,通過斜率關(guān)系確定直線MN的方程,求得MN的中點(diǎn)坐標(biāo),經(jīng)驗(yàn)證與點(diǎn)Q重合.

三、探源

第(1)問中直線l與點(diǎn)所求的定點(diǎn)Q是“極線”與“極點(diǎn)”之間的關(guān)系.

定義：已知圓錐曲線

則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:是圓錐曲線Γ的一對極點(diǎn)和極線.

其變換原則如下：在圓錐曲線中,以x0x替換x2,以替換替換x,(另一個變量y也是如此).

特別地對于高中常用的圓錐曲線：

(3)拋物線y2=2px,對應(yīng)的極線為：

極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)：

定理1(1)當(dāng)點(diǎn)在圓錐曲線上時,其極線是曲線在點(diǎn)處的切線;

(2)當(dāng)點(diǎn)在外時,其極線是切點(diǎn)弦所在的直線;

(3)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時,其極線是過點(diǎn)的弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)所構(gòu)成的集合.

定理2(配極原則)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線p經(jīng)過點(diǎn)Q,點(diǎn)Q關(guān)于Γ的極線Q經(jīng)過點(diǎn)P;由此可知,共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn);共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.證明過程參看文[1].

在此背景下,點(diǎn)的求解過程可簡化如下：

點(diǎn)與直線MN是一對“極點(diǎn)”與“極線”,根據(jù)(配極原則),當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動時,對應(yīng)的極線MN必共點(diǎn),即點(diǎn)Q.且點(diǎn)Q與直線l也是一對“極點(diǎn)”與“極線”.

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xQ,yQ),對應(yīng)的極線為1與直線l:y=x+b重合.顯然易得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

在第(2)問中,涉及到弦中點(diǎn)問題.

證明 設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2).滿足橢圓方程得：

由此可知,第(2)的解答可化簡如下：

設(shè)直線MN過點(diǎn)Q,且MN//l.可得：直線MN的方程為

四、練習(xí)

已知拋物線C:y2=2x,過直線y=x+1上的一點(diǎn)P做拋物線C的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)為M,N.

(1)證明直線MN恒過定點(diǎn)Q,并求得點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(2)當(dāng)Q為弦MN的中點(diǎn)時,求直線MN的方程.答案：(1)Q的坐標(biāo)(1,1);(2)直線MN的方程：y=x.