廣東廣雅中學(xué)(510160) 林才雄

一題多解—一道不等式恒成立問題的賞析

廣東廣雅中學(xué)(510160) 林才雄

一道2017年河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)的函數(shù)壓軸題,筆者通過不同的角度,發(fā)散思維,對(duì)該含參不等式恒成立問題進(jìn)行了多維探究,呈現(xiàn)了該問題的一題多解的魅力.

不等式,一題多解,發(fā)散思維.

題目已知函數(shù)f(x)=(1-mx)ln(1+x).

(1)若當(dāng)0＜x＜1時(shí),函數(shù)f(x)的圖像恒在直線y=x上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)從略.

解法1(參考解法)(1)令

于是F′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,從而F′(x)＞F′(0)=0,因此,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,即F(x)＞F(0)=0符合題意;

于是F′(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,從而F′(x)＜F′(0)=0,因此,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,即F(x)＜F(0)=0,不符合題意;則當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),于是F′(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,從而F′(x)＜F′(0)=0,因此,f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,即F(x)＜F(0)=0,不符合題意.

綜上,可知所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

從上述解答過程,大家可以發(fā)現(xiàn),該解法主要是通過作差構(gòu)造函數(shù),并通過兩次導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的判斷,分類討論的方式,對(duì)參數(shù)m的取值進(jìn)行了研究,從而解決了該問題.主要特點(diǎn)是構(gòu)造的函數(shù)F(x)=f(x)-x= (1-mx)ln(1+x)-x,x∈(0,1)的二次導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的確定取決于一個(gè)“偽一次函數(shù)”y=-mx-2m-1,并借助于函數(shù)F(x),F′(x)在x=0處的特殊值,即F(0)=F′(0)=0,從而通過分類討論參數(shù)m,來達(dá)到解決問題的目的.可以發(fā)現(xiàn)這種處理方法的關(guān)鍵在于挖掘出F(0)=F′(0)=0.

顯然該解法一開始不易想到,具有一種讓人“眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處”的意境美!而且讓人感覺到了那種“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”的豁然開朗!

一個(gè)巧妙的解答,引起了筆者對(duì)該問題的興趣與思考,并深入探究其內(nèi)在的魅力.以下我們從不同的角度對(duì)該問題進(jìn)行處理,多維度地賞析它.

視角一 分離參數(shù) 由于該問題本質(zhì)上是屬于含參的不等式恒成立的問題,故可以考慮分離參數(shù)的方法.首先證明兩個(gè)常用的結(jié)論：

引理1對(duì)任意的x＞1,不等式恒成立.

恒成立,所以函數(shù)f(x)在 (1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)＞f(1)=0,即

引理2 若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：

(2)f(x)和g(x)都可導(dǎo),且g′(x)/=0;

所以有

證明 由(2)可知,f(x)和g(x)都是連續(xù)函數(shù),所以

解法2(視角一)由題意可知,原問題等價(jià)于“不等式(1-mx)ln(1+x)＞x,?x∈(0,1)恒成立”,所以有

恒成立,構(gòu)造函數(shù)

則由引理2,可知

由引理1,可知

x∈(0,1),故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)＞0,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故

視角一賞析,我們都知道分離參數(shù)法是解決這類含參不等式恒成立問題的通性通法,所以從這個(gè)角度出發(fā)是比較常規(guī)的想法,但該問題有兩處地方容易卡住我們的思路,一處是f(0)的值,這里是型的,考慮使用洛必達(dá)法則來處理;另一處是f′(x)的符號(hào)的判斷,要借助對(duì)數(shù)平均不等式的一個(gè)變形來處理,對(duì)解題人來說比較困難,要熟悉并熟練運(yùn)用各種常見的不等式.

視角二 數(shù)形結(jié)合 可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的位置關(guān)系問題,其中一個(gè)為一次函數(shù).首先證明一個(gè)結(jié)論：

引理3 對(duì)于任意的x＞0,不等式恒成立.

恒成立,所以函數(shù)f(x)在 (0,+∞)上單調(diào)遞增,所以

解法3(視角二)由題意可知,原問題等價(jià)于“不等式

恒成立.

則問題等價(jià)于“當(dāng)x∈(0,1)時(shí),函數(shù)g(x)=1-mx的圖像恒在函數(shù)的上方”,由引理2,可知

由引理3的推論,可知h′(x)＞0,另外,有

則由引理3,可知h′′(x)＜0,所以h(x)在(0,1)上是單調(diào)遞增且上凸的函數(shù).

又因?yàn)間(0)=1,所以問題等價(jià)于g′(0)=-m≥h′(0),而由引理2,可知

視角二賞析,該問題通過變形,可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的位置關(guān)系問題,其中一個(gè)為一次函數(shù).此時(shí),利用數(shù)形結(jié)合,從動(dòng)態(tài)的角度入手處理該問題,這也是一種很形象直觀而且簡(jiǎn)單易懂的方式,不過此時(shí),使用數(shù)形結(jié)合的方法,也可能會(huì)遇到兩個(gè)容易誤導(dǎo)我們的解題思路的問題,一處是h(0)的值,這里是型的,考慮使用洛必達(dá)法則來處理.如果沒有使用洛必達(dá)法則計(jì)算出h(0)=1,而想當(dāng)然地認(rèn)為h(0)=0的話,就容易出錯(cuò);另一處是h′′(x)的符號(hào)的判斷,這里通過變形,可以證明h′′(x)＜0,即說明了函數(shù)的凹凸性是上凸的,如果沒有對(duì)函數(shù)h(x)的凹凸性進(jìn)行判斷,也容易出現(xiàn)直接計(jì)算h(x)在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率,從而得出的典型錯(cuò)誤.

一個(gè)有趣的問題,不同的解題角度,殊途同歸,讓我們感受到了數(shù)學(xué)一題多解的無限魅力.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),一定不能拘泥于某種解題方法,有時(shí)候,嘗試從不同的角度去思考問題,你可能會(huì)欣賞到完全不同的風(fēng)景,感受到完全不同的樂趣.

[1]馬麗娜,劉爍.關(guān)于洛必達(dá)法則證明的幾點(diǎn)補(bǔ)充[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2011(29).

[2]鄧軍民.例談對(duì)數(shù)平均不等式在高考中的應(yīng)用[J].廣東教育(高中版).2014(5).