河北易縣中學郵編(074200) 邊紅霞

合情推理之歸納推理

河北易縣中學郵編(074200) 邊紅霞

1 內(nèi)容概述

合情推理是指合乎情理的推理,包含歸納推理和類比推理.法國數(shù)學家拉普拉斯曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”.

歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者是有個別事實概括出一般結(jié)論的推理.歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實,獲得新結(jié)論,在解決高考題目中發(fā)揮著重要作用.

合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用,有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng),是數(shù)學核心素養(yǎng)之一,是解答數(shù)學問題一種重要的思維方法.

2 例題示范

評析 這道題是給出了前后兩個函數(shù)之間的關(guān)系,實際上是給出了一個遞推關(guān)系,由前幾項所得幾個特殊值,通過觀察歸納出一般結(jié)論,這是一種很好的思維方法,本題合理的使用了歸納推理.

一般對于給定了遞推關(guān)系的數(shù)列,又給定了首項,這時往往要再求出幾項,然后根據(jù)規(guī)律,猜想結(jié)果,這就用到歸納推理.

例2(2015年陜西卷)觀察下列等式：

據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為____.

評析 本題考查了觀察、分析、猜想、歸納、求數(shù)列的通項公式方法,考查了歸納推理能力與計算能力.這道題目難點在于對式子結(jié)構(gòu)特點的尋找,一定要觀察數(shù)列的項與序號之間的關(guān)系,數(shù)列中項數(shù)與序號間的聯(lián)系,同時注意觀察符號的變化,培養(yǎng)觀察能力,迅速得出判斷.

例3 (2017年全國卷II)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說,我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則( )

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

解 由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好,則甲、丁兩人,一人優(yōu)秀一人良好,乙看到丙的結(jié)績則知道自己的結(jié)果與丙的結(jié)果相反,丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與甲的結(jié)果相反,即乙、丁可以知道自己的成績,故選D.

評析 合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學研究中,在得到一個新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個數(shù)學結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確.

例4 (2017年全國卷I)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是

A.440 B.330 C.220 D.110

解 試題分析.由題意得數(shù)列如下：

所以k=2t-3≥14,則t≥5,此時k=25-3=29,對應滿足的最小條件為故選A.

評析 這道題給出的數(shù)列,表面看是雜亂的,但是它在給出解釋時又告訴了我們一個重要的實事,它是分了第一組數(shù)、第二組數(shù)、第三組數(shù)等等,并且每組數(shù)都是等比數(shù)列,于是,將此數(shù)列按每個小等比數(shù)列進行重新排列,出現(xiàn)了行等比數(shù)列,這樣將數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為了分組求和問題.通過在雜亂中找規(guī)律,使無序變有序,巧妙的利用歸納推理,找到了解決問題的思路和方法.

今年的高考題再次以它的端莊典雅,提醒我們,只有突出數(shù)學的本質(zhì),實現(xiàn)數(shù)學自然的回歸,才有利于落實考察學生的數(shù)學核心素養(yǎng),有利于學生的終身發(fā)展.

例5(2014年湖南卷)已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx+ 1(x＞0).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(i∈N?)個零點,證明對一切n∈N?,有

解 (1)f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令f′(x)=0,得x=kπ(k∈N?).當x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)時,sinx＞0,此時f′(x)＜0;當x∈((2k+1)π,(2k+ 2)π)(k∈ N)時,sinx＜ 0,此時f′(x)＞ 0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),單調(diào)增區(qū)間為((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).

(2)由 (1)知,f(x)在區(qū)間 (0,π)上單調(diào)遞減.又 f(0)=1,f(π)=1-π＜0,發(fā)現(xiàn)故又f(2π)=1+2π＞0,所以在(π,2π)之間存在零點,設為x2,f(x2)=0,由此推測,當n∈N?時,因為

且函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的,所以f(x)在區(qū)間(nπ,(n+1)π)內(nèi)至少存在一個零點.又 f(x)在區(qū)間(nπ,(n+1)π)上是單調(diào)的,故nπ＜xn+1＜(n+1)π.即,

評析 第一問利用求導找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,導函數(shù)的符號取決于正弦函數(shù)的符號,因此類比正弦函數(shù),得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

第二問,在尋找函數(shù)的零點時,首先充分利用第一問,先在第一個單調(diào)區(qū)間上發(fā)現(xiàn)兩端點的函數(shù)值符號異號,根據(jù)零點存在原理,找到第一個零點,然后以此計算找到第二個零點,由此歸納出第n個零點存在范圍,根據(jù)歸納的方法,找到了問題的突破點.

這是一道典型例題,體現(xiàn)了用歸納推理探求解題思路,

引領解題方向,達到解題目的.

[1]徐佰強.高中生數(shù)學合情推理能力的調(diào)查分析及培養(yǎng)[D].華東師范大學 2007

[2]盧仲學.高中數(shù)學概念教學模式研究[D].西北師范大學 2007

[3]劉秀華.數(shù)學問題解決中的思維障礙及教學對策[D].山東師范大學2008