◎陽(yáng)友雄

(珠海市第一中學(xué)平沙校區(qū)，廣東　珠海　519055)

極點(diǎn)與極線，是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛沙格(Girard Desargues，1591—1661)于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中提出來(lái)的，其定義如下.

一、圓錐曲線極點(diǎn)和極線的定義及其幾何意義

已知圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，則稱(chēng)點(diǎn)P(x0，y0)和直線l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線C的一對(duì)極點(diǎn)和極線.

定理1極點(diǎn)和極線的幾何意義如下：若點(diǎn)P和直線l是圓錐曲線C的一對(duì)極點(diǎn)和極線，則：

(1)若極點(diǎn)P在曲線C上，則極線l就是曲線C在點(diǎn)P處的切線；

(2)若過(guò)極點(diǎn)P可作曲線C的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，則極線l就是直線MN；

(3)若過(guò)極點(diǎn)P的直線與C交于M，N，則C在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)Q在極線l上；

(4)若過(guò)極線l上一點(diǎn)Q可作C的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，則直線MN必過(guò)極點(diǎn)P.

證明設(shè)極點(diǎn)為P(x0，y0)，則極線l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

(1)方程Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得Ax+Cyy′+D+Ey′=0，

代入切線方程化簡(jiǎn)得切線方程為l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由(1)得曲線在點(diǎn)M(x1，y1)處的切線方程為Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0，而此切線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，

所以有Ax1x0+Cy1y0+D(x0+x1)+E(y0+y1)+F=0.

同理得Ax2x0+Cy2y0+D(x0+x2)+E(y0+y2)+F=0，

故過(guò)直線MN的方程為Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0，

故極線l就是直線MN.

(3)設(shè)Q(m，n)，由(2)得直線MN的方程為Amx+Cny+D(x+m)+E(y+n)+F=0.

又直線MN過(guò)點(diǎn)P，所以有Amx0+Cny0+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0，故曲線C在M，N兩點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)Q在極線l上.

(4)設(shè)Q(m，n)，由(2)得直線MN的方程為Amx+Cny+D(x+m)+E(y+n)+F=0.

又點(diǎn)Q(m，n)在直線l上，所以Amx0+Cny0+D(x0+m)+E(y0+n)+F=0.

由以上兩式可知點(diǎn)Q(m，n)在直線MN上，即直線MN必過(guò)極點(diǎn)P.

推論3對(duì)于拋物線y2=2px，則極點(diǎn)P(x0，y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0y=p(x+x0).

二、圓錐曲線極點(diǎn)和極線的應(yīng)用

例1(2014·遼寧高考題)已知點(diǎn)A(-2，3)在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，求直線BF的斜率.

(1)分別過(guò)點(diǎn)M，N作雙曲線的切線l1，l2，證明：三條直線l，l1，l2相交于一點(diǎn)；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，求證Q在AB上.

即D(x3，y3)在l上，故l，l1，l2相交于一點(diǎn).

將Q(-1，-1)代入可知符合方程x0x-(x0+4)y-4=0，即Q在直線AB上.