廣東省興寧市第一中學(514500) 藍云波

數(shù)學競賽中的解三角形問題

廣東省興寧市第一中學(514500) 藍云波

三角是高中數(shù)學的重要板塊,在數(shù)學的其他分支與實際生活中都有非常重要的應用.必修5中的解三角形是必修4的三角函數(shù)和三角恒等變換的后續(xù)知識,因此常常要用到必修4中的三角知識.這部分內容考查頻率高,命題具有一定的規(guī)律性,難度適中.本文通過對近幾年的競賽題的分類例析,以提高同學們的學習效率,從而在競賽中做到心中有數(shù),觸類旁通.

一、知識補充

除了課本的基礎知識外,還應掌握以下的知識點.

1.射影定理(又稱第一余弦定理或歐幾里得定理)

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則：

2.海倫公式

△ABC中的三邊長分別為a,b,c,則△ABC的面積

二、典型例題分析

一、正弦定理的應用

例1(2016年甘肅預賽)在非等腰△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2c-b)cosC=(2b-c)cosB.

(1)求角A的大小;

(2)若a=4,求△ABC面積的取值范圍.

解析 (1)因為(2c-b)cosC=(2b-c)cosB,由正弦定理可得(2sinC-sinB)cosC=(2sinB-sinC)cosB,即sin2C-sin2B=sin(B-C).所以2cos(C+B)sin(C-B)= sin(B-C).因為△ABC為非等腰三角形,所以sin(B-C)/= 0,所以所以C+B=120?,因此A=60?.

(2)由正弦定理得：

所以△ABC面積

點評 解三角形的最常用技巧是邊角互化,而正弦定理是實施這一技巧的最常見的手段.在解三角形中,三角形的性質的合理運用是解題過程中必須注意的問題.而三角恒等變換是解題的利器.

二、余弦定理的應用

(1)求BC長;

(2)求△DBC的面積.

在△ABD和△DBC中,由余弦定理可得

因為cos∠ADB=-cos∠BDC,所以

由①②可得a=3,b=1,即BC=3.

(2)由(1)得△ABC的面積為所以△DBC的面積為

點評 本題的關鍵是通過余弦定理轉化為邊的關系,在解題過程中多次使用了余弦定理.嫻熟的運算能力是成功解題的保證.

三、正余弦定理的綜合應用

例3(2015年河北預賽)在△ABC中,內角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,向量p=(sinA+sinC,sinB),向量q=(a-c,b-a),且滿足p⊥q.

(1)求△ABC的內角C的值;

(2)若c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求△ABC的面積.

解析 (1)由題意p⊥q,所以

由正弦定理,可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0.整理得a2-c2+b2=ab.由余弦定理可得,

又C∈(0,π),所以

(2)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC可得,4sinAcosA+ sin(B+π-A)=sin(B+A).整理得,4sinAcosA= sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA.

①當cosA=0時,此時所以△ABC的面積為

②當cosA/=0時,上式即為sinB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,又a2+b2-ab=4,解之得,所以△ABC的面積為

點評 本題綜合考查了正余弦定理,對解三角形中的基本考點作了較為全面的考查.第二問考察了分類討論的思想,容易忽視對cosA=0的情形的討論.

四、向量背景下的解三角形問題

例4(2016年全國聯(lián)賽)在△ABC中,已知求sinC的最大值.

解析 由數(shù)量積的定義及余弦定理知,

故已知條件化為

即a2+2b2=3c2.由余弦定理及基本不等式,得

點評 本題是一道以平面向量為背景的解三角形問題,在通過利用平面向量的數(shù)量積公式后與余弦定理建立聯(lián)系,從而明確問題解決的方向.在求最值時,基本不等式的利用是解題的關鍵.

五、以幾何圖形為背景的解三角形問題

例5(2015年第26屆希望杯邀請賽高一2試)如圖,四邊形ABCD有外接圓,已知AB=2,BC=6,CD=DA=4.

(1)求對角線BD的長;

(2)作∠BPD=60?,試求PB2+PD2的取值范圍.

圖1

解析 由余弦定理,得

因為四邊形ABCD有外接圓,所以∠A與∠C互補.于是由①得

(2)設∠PBD=θ,則 ∠PDB=120?-θ,θ∈(0?,120?).在△PBD中,由正弦定理,得因為2θ-30?∈(-30?,210?),所以故PB2+PD2的取值范圍為(28,56].

點評 本題綜合使用了正余弦定理,對平面幾何圖形的邊角關系的洞察是解題的關鍵.在求取值范圍的過程中,也使用了三角恒等變換.

六、利用射影定理證明三角不等式

例6(2011年第七屆北方數(shù)學奧林匹克邀請賽)在△ABC中,證明：

證明 由射影定理和柯西不等式,得

以上三個式子相加即得所證不等式.

點評 本題所要證明的三角不等式,可通過射影定理結合柯西不等式,把角的關系轉化為邊的關系,三個局部不等式累加實現(xiàn)問題的解決.

七、利用海倫公式證明不等式

例7(2007年英國數(shù)學數(shù)學奧林匹克試題)

已知a,b,c≥0,求證：

證明 由于a,b,c都是非負數(shù),以及

中至多有一個是負數(shù),當a+b-c,a+c-b,b+c-a中有一個是負數(shù)時,不等式顯然成立,下面對這三個因式值都是正數(shù)時加以證明.

當a+b-c,a+c-b,b+c-a都是正數(shù)時,以a,b,c為邊,可構成一個三角形.由海倫公式得

(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=(4S)2,其中S表示該三角形的面積.所以

點評 本題是一個純粹的不等式問題,但通過分析,發(fā)現(xiàn)式子的結構與海倫公式有一定的相似之處,故可通過巧妙借助構造三角,證明a+b-c,a+c-b,b+c-a都是正數(shù)的情形,而其他情況顯然是成立的.

通過以上的分析,我們發(fā)現(xiàn),競賽中的解三角形問題,既有傳統(tǒng)、難易適中的問題,也有難度較大的綜合問題,試題呈現(xiàn)出多樣性.對有些非解三角形問題,若能通過細致的觀察,結合實際構造三角形,轉化為解三角形問題,也是一種可行的策略.通過發(fā)散思維,能提高解題能力與數(shù)學素養(yǎng)的提高.