■陜西洋縣中學(xué) 劉大鳴(特級(jí)教師)

函數(shù)知識(shí)中的誤區(qū)警示

■陜西洋縣中學(xué) 劉大鳴(特級(jí)教師)

本文匯集了函數(shù)的概念及性質(zhì) 、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)與方程等知識(shí)中的易錯(cuò)題,剖析了出錯(cuò)的原因,給出了警示和易錯(cuò)點(diǎn),希望能引起同學(xué)們的高度重視。

一、函數(shù)概念和性質(zhì)應(yīng)用中的誤區(qū)警示

誤區(qū)1——判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽略定義域

從而可知函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)。

剖析:錯(cuò)解中只注意了f(-x)=±f(x)的探究,忽略了函數(shù)定義域的研究,由題意知自變量x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在定義域下化簡(jiǎn)f(x)=易證f(-x)=-f(x),即函數(shù)為奇函數(shù)。

警示:與函數(shù)有關(guān)的問題必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則,研究函數(shù)的奇偶性,先求函數(shù)的定義域,在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下,實(shí)施數(shù)學(xué)式子f(-x)=±f(x)的變形進(jìn)行探究。

跟蹤訓(xùn)練1 函數(shù)f(x)=l g(x+1)+l g(x-1)的奇偶性是( )。

A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù) D .既奇又偶函數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn):忽略函數(shù)的定義域。

誤區(qū)2——研究分式類函數(shù)的單調(diào)性時(shí)缺少分類意識(shí)例2 函數(shù)f(x)=x在(2,+∞)上x+a為減函數(shù),則a的取值范圍是____。

易錯(cuò)點(diǎn):缺少分式類函數(shù)單調(diào)性的逆用。

誤區(qū)3——抽象函數(shù)單調(diào)性證明中以特殊代替一般推理

例3 若函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＜0,f(1)=-,求證:f(x)在R上是減函數(shù)。

錯(cuò)解:令x=y=0,則2f(0)=f(0),所以f(0)=0。再令x=-1,y=1,則有f(-1)+f(1)=f(0)=0。又f(1)=-2,3

剖析:減函數(shù)的定義:對(duì)于定義域的子區(qū)間中的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí),有f(x1)＞f(x2),不能取兩個(gè)特殊值代替。設(shè)x1＞x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)+f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)。因?yàn)閤＞0,f(x)＜0,而x1-x2＞0,所以f(x1-x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),因此f(x)在R上是減函數(shù)。

警示:證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā),作差后要注意差式的分解變形,合理使用其他題設(shè)條件,x＞0時(shí)f(x)＜1,我們由x2＞x1,得到x2-x1＞0,則f(x1-x2)＜1,然后要尋找其與f(x2)-f(x1)＞0的關(guān)系,所以要進(jìn)行配湊。

跟蹤訓(xùn)練3 定義在R上的恒為正數(shù)的函數(shù)f(x),當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,對(duì)任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y),證明函數(shù)f(x)為增函數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn):忽略定義法證明推理中的合理變形。

正解:任取x1,x2∈R,x1＜x2,則x2-x1＞0。因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,所以f(x2-x1)＞ 1。 而f(x2-x1)＞1,又f(x1)＞0,所以f(x2)＞f(x1),所以函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù)。

誤區(qū)4——分段函數(shù)不等式求解忽略分類或每段的前提條件

警示:分段函數(shù)不等式求解,利用分類討論思想,關(guān)鍵在于“對(duì)號(hào)入座”,即分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求解不等式,注意取值范圍的大前提,然后把兩個(gè)不等式的解集并起來即可。

易錯(cuò)點(diǎn):分段函數(shù)不等式求解忽略分類或每段的前提條件。

正解:因?yàn)閤2≥0,所以f (x2)=x2。

因?yàn)閒(x2)＞f(4-3x),所以x2＞4-3x,即x＜-4或x＞1,所以x＜-4或1＜x

二、二次函數(shù)和冪函數(shù)中的誤區(qū)警示

誤區(qū)5——形如二次函數(shù)的函數(shù)忽略二次項(xiàng)的系數(shù)為0的討論

例5 如果函數(shù)f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的圖像恒在x軸下方,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解:要使函數(shù)f(x)的圖像恒在x軸下方,只要拋物線開口向下,與x軸無交點(diǎn),所解得-2＜a＜2。因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,2)。

剖析:錯(cuò)解忽略二次項(xiàng)的系數(shù)為0的討論,誤認(rèn)為f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4為二次函數(shù),此題在a=2時(shí),f(x)=-4,圖像也恒在x軸下方,滿足題意,結(jié)合錯(cuò)解知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2]。

警示:在形如二次函數(shù)y=a x2+b x+c中,當(dāng)a≠0時(shí)為二次函數(shù),其圖像為拋物線;當(dāng)a=0,b≠0時(shí)為一次函數(shù),其圖像為直線。在處理此類問題時(shí),應(yīng)密切注意x2項(xiàng)的系數(shù)是否為0,若不能確定,應(yīng)分類討論。

跟蹤訓(xùn)練5 函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

易錯(cuò)點(diǎn):忽略二次項(xiàng)的系數(shù)為0的討論

正解:(1)當(dāng)m-1=0,即m=1時(shí),f(x)=4x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),滿足題意。

(2)當(dāng)m-1≠0,即m≠1時(shí),Δ=4(m+1)2-4×(-1 0)×(m-1)=0,解得m=0或m=-3。

誤區(qū)6——二次函數(shù)最值問題未對(duì)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置討論

例6 求函數(shù)f(x)=x2-4a x+1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。

錯(cuò)解:當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值f(0)=1;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值。

剖析:因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸不確定,故需討論對(duì)稱軸與區(qū)間[0,2]的關(guān)系,并結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性來解決問題。

(1)當(dāng)2a＜0,即a＜0時(shí),f(x)的圖像開口向上,故f(x)在 0,2[ ]上遞增,故有f(x)max=f2()=5-8a,f(x)min=f0()=1。(2)當(dāng)0＜2a＜1,即0＜a＜時(shí),f(x)的圖像開口向上,故f(x)在 [0 ,2a]上遞減,在 [2 a ,2]上遞增,故有f(x)max=f(2)=5-8a,f(x)min=f(2a)=1-4a2。

的圖像開口向上,故f(x)在區(qū)間[0,2a]上遞減,在[2a,2]上遞增,故有當(dāng)x=2a時(shí),f(x)取得最小值f(2a)=1-4a2;當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值f(0)=1。

(4)當(dāng)2a＞2,即a＞1時(shí),f(x)的圖像開口向上,故f(x)在區(qū)間[0,2]上遞減,故有x=0時(shí),f(x)取得最大值f(0)=1;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最小值f(2)=5-8a。

警示:二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)。不論哪種類型,解題的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。最值一般在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得。

跟蹤訓(xùn)練6 如果函數(shù)f(x)=(x-1)2+1定義在區(qū)間t,t+1[ ]上,求f(x)的最小值。

易錯(cuò)點(diǎn):求二次函數(shù)最值問題未對(duì)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置討論。

正解:函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸為x=1。

(1)當(dāng)t+1＜1,即t＜0時(shí),f(x)min=f(t+1)=t2+1;

(2)當(dāng)t＞1時(shí),f(x)min=f(t)=t2-2t+2。

(3)當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時(shí),f(x)min=f(1)=1。

誤區(qū)7——隨意用判別式研究二次方程根的分布問題

例7 求方程f(x)=a x2+b x+c=0(a＞0)的兩個(gè)根都大于1的等價(jià)條件。

錯(cuò)解:只要方程f(x)=a x2+b x+c=0(a＞0)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)=a x2+b x+c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于1即可,故需滿足所以充要條件是

剖析:上述解法中,只考慮到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于1,卻忽視了最基本的前提條件,應(yīng)讓二次函數(shù)的圖像與x軸有交點(diǎn)才行,即滿足Δ≥0,故等價(jià)條件是

警示:等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一,處理得當(dāng)會(huì)收到意想不到的效果,但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價(jià)性,反之會(huì)出現(xiàn)各種離奇的錯(cuò)誤。

跟蹤訓(xùn)練7 已知方程有且只有一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為____。

易錯(cuò)點(diǎn):隨意用判別式研究二次方程根的分布問題。

正解:因?yàn)榉匠蘭 x2-3x+1=0有且只有一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),所以函數(shù)y=m x2-3x+1的圖像與x軸在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn),所以f(0)f(1)＜0或Δ=0,解得m＜2且m=

誤區(qū)8——冪函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用中缺少分類

例8 若(m+1)4＜(3-2m)4,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯(cuò)解:由(m+1)4＜(3-2m)4和冪函數(shù)性質(zhì)知,m+1＜3-2m,所以m＜。

剖析:錯(cuò)解中誤認(rèn)為m+1,3-2m都在[0,+∞)內(nèi),y=x4在[0,+∞)上單調(diào)遞增導(dǎo)致漏解。此不等式可分類求解,若注意y=x4的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn),利用絕對(duì)值將問題轉(zhuǎn)化為y=x4在(0,+∞)上的單調(diào)性問題可尋求簡(jiǎn)潔的思路。由冪函數(shù)y=x4的圖像知此函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)上不具有單調(diào)性,若分類討論步驟較繁,把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是關(guān)鍵?？紤]當(dāng)冪函數(shù)的指數(shù)為4時(shí),于是有(m+1)4＜(3-2m)4

又因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x4在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以解得m＜,或m＞4。

警示:研究?jī)绾瘮?shù)時(shí),先研究定義域,再利用對(duì)稱性和單調(diào)性簡(jiǎn)化求解問題。本題巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題,從而避免了分類討論,使同學(xué)們的思維又一次得到深化與發(fā)展。解題過程中利用圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn),將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值不等式的解法,蘊(yùn)含的這種“轉(zhuǎn)化”的思想,一方面,拓寬了我們的解題思路,另一方面,體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力。當(dāng)然此題還可用分類討論的方法解決,同學(xué)們不妨一試。

跟蹤訓(xùn)練8 若(m+1)-1＜(3-2m)-1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____。

易錯(cuò)點(diǎn):冪函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用中缺少分類。

(3)兩個(gè)整體變量分別在(-∞,0)和(0,+∞)上,由圖像知解得m＜-1。

三、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中的誤區(qū)警示

誤區(qū)9——換元法中忽視指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域

例9 函數(shù)f(x)=4x+2x+1+2(x≤0)的值域是____。

錯(cuò)解:f(x)=4x+2x+1+2=(2x)2+2·2x+2,令t=2x,則t＞0,且y=t2+2t+2=(t+1)2+1,當(dāng)t∈(-1,+∞)時(shí),f(t)是增函數(shù),而t＞0,所以(0+1)2+1＜y,即2＜y。所以所求函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2,+∞)。

剖析:利用4x=(2x)2的關(guān)系,不難想到本題中要將2x當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行換元,轉(zhuǎn)化得到一個(gè)新的一元二次函數(shù),新的參數(shù)的取值范圍縮小導(dǎo)致值域出錯(cuò)。

f(x)=4x+2x+1+2=(2x)2+2·2x+2(x＜0),令t=2x,則0＜t≤1,且y=t2+2t+2=(t+1)2+1,當(dāng)t∈(-1,+∞)時(shí),f(t)是增函數(shù),而0＜t≤1,所以(0+1)2+1＜y≤(1+1)2+1,即2＜y≤5。所以所求函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2,5]。

警示:在利用換元法求函數(shù)值域、最值時(shí),經(jīng)過換元,函數(shù)的定義域可能會(huì)發(fā)生變化。在運(yùn)用換元法時(shí),一定要注意換元后函數(shù)定義域?yàn)樾伦兞繉?duì)原變量的值域。

易錯(cuò)點(diǎn):換元法中忽視指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域。

誤區(qū)1 0——求對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間忽視定義域

例1 0 函數(shù)y=l o g0.5(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是____。

錯(cuò)解1:因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為減函數(shù),內(nèi)層函數(shù)u=4+3x-x2的減區(qū)間為以原函數(shù)的增區(qū)間為

錯(cuò)解2:因?yàn)?+3x-x2＞0,函數(shù)定義域?yàn)?(- 1,4),又內(nèi)層函數(shù)u=4+3x-x2在上為增函數(shù),在函數(shù),所以原函數(shù)的增區(qū)間為

剖析:錯(cuò)解1,忽視定義域問題;錯(cuò)解2,對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。

因?yàn)?+3x-x2＞0,函數(shù)定義域?yàn)?- 1,4),外層函數(shù)為減函數(shù),內(nèi)層函數(shù)u=4+3x-x2在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),所以原函數(shù)的增區(qū)間為

警示:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,先求出它的定義域,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”在定義域內(nèi)確定其子區(qū)間。

跟蹤訓(xùn)練1 0 函數(shù)f(x)=l n(4+3xx2)的單調(diào)遞減區(qū)間是____。

易錯(cuò)點(diǎn):求對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忽略定義域。

正解:函數(shù)f(x)=l n(4+3x-x2)的定義域是(-1,4),令u(x)=-x2+3x+4=,其減區(qū)間為e＞1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[2 3,4)。

(責(zé)任編輯 王福華)