■甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學校 楊 虎

對一道導數(shù)取值范圍問題的探索

■甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學校 楊 虎

編者的話:“經(jīng)典題突破方法”欄目里例、習題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學們更好地領(lǐng)悟數(shù)學解題思想方法,通過多解多變培養(yǎng)同學們多思多想的好習慣。學會解題反思,無疑是同學們學習的一條捷徑,愿同學們不斷在反思中進步,在反思中收獲!

一、題目呈現(xiàn)及思路分析

(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)存在極大值和極小值,求a的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)m,n分別為f(x)的極大值和極小值,其中m=f(x1),n=f(x2),且x1∈,求m+n的取值范圍。分析:(Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=a x2-2x+al nx(a∈R),所以要求函數(shù)y=f(x)的極大值和極小值,就要對函數(shù)進行求導,保證導函數(shù)對應(yīng)的方程有兩個不相等的正實根,通過判別式大于零和根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論。(Ⅱ)根據(jù)極大值與極小值的含義得到兩個相應(yīng)的方程,由兩個極值點的關(guān)系可以將其中一個消去,進一步可得關(guān)于極大值點的代數(shù)式,再通過基本不等式與導數(shù)求m+n的取值范圍。

二、多解探索

點評:本題考查了利用導數(shù)、基本不等式求極值及參數(shù)的范圍問題,在這類問題的解決中要善于把握函數(shù)與不等式的關(guān)系,導數(shù)為零與函數(shù)極值的關(guān)系,正確運用消元法解方程,以及對參數(shù)進行適當?shù)姆诸愑懻?在本題中合理利用消元思想與基本不等式,以及利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍是順利求解的前提和關(guān)鍵。

三、變式探索

例2 (2 0 1 7年山西三區(qū)八校理科模擬試題)已知函數(shù)f x()=l nx+a x2+b x(其中a,b為常數(shù)且a≠0)在x=1處取得極值。

(Ⅰ)當a=1時,求f x()的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若f x()在 0,e( ]上的最大值為1,求a的值。

點評:可以說極值是一個與導數(shù)緊密相連的概念,只要提到極值或極值點就會想到導數(shù),本變式的關(guān)鍵是要注意極值與最值的區(qū)別,極值是一個局部的概念,而最值是一個整體的概念,在對函數(shù)求導得出極值后,把極值同端點處的值進行比較得到最大值,最后利用條件建立關(guān)于參數(shù)的方程求得結(jié)果。

例3 (2 0 1 7年馬鞍山理科二模試題)已知函數(shù)f (x)=l nx+

(Ⅰ)證明曲線f x()上任意一點處切線的斜率不小于2;

(Ⅱ)設(shè)k∈R,若g x()=f x()-2k x有兩個極值點x1,x2,且x1＜x2,證明:g x2()＜-2。

點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,亮點是把導數(shù)與不等式的證明結(jié)合,要想準確解答,首先要觀察不等式的特點,結(jié)合韋達定理進行化簡變形,進一步利用導數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論。

解后感悟:本題是一道考查導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用的好題,其中滲透著分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法,重在考查同學們結(jié)合所學知識分析問題、解決問題的能力。

(責任編輯 王福華)