吳建華 張穎 王新軍

(1.濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022；2.山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100)

引言與文獻(xiàn)綜述

無(wú)論是微觀金融資產(chǎn)定價(jià)、金融風(fēng)險(xiǎn)管理和投資分析，還是宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和貨幣政策制定，利率期限結(jié)構(gòu)都發(fā)揮著極其重要的角色。國(guó)債收益率曲線從一個(gè)側(cè)面反映了實(shí)體經(jīng)濟(jì)、金融市場(chǎng)的狀況和市場(chǎng)主體對(duì)經(jīng)濟(jì)未來(lái)的預(yù)期信息。而可違約債券的利率期限結(jié)構(gòu)則在風(fēng)險(xiǎn)管理中被用于推測(cè)企業(yè)債券的信用評(píng)級(jí)和評(píng)估衍生品的風(fēng)險(xiǎn)。因此，對(duì)于利率期限結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確估計(jì)和預(yù)測(cè)研究一直是學(xué)界和業(yè)界的熱點(diǎn)問(wèn)題?，F(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)模型研究大致可以分為如下三類模型：經(jīng)驗(yàn)估計(jì)模型(包括樣條擬合模型和參數(shù)擬合模型)，仿射期限結(jié)構(gòu)模型(包括均衡模型和無(wú)套利模型)和宏觀-金融模型。以上這些研究方向都從不同的角度對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)展開了豐富的研究。最早利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的文獻(xiàn)可以追溯到McCulloch and Huston(1971)[1]和McCulloch(1975)[2]，他們將貼現(xiàn)曲線模型化為多項(xiàng)式基礎(chǔ)函數(shù)的一個(gè)線性組合，分別利用二次和三次多項(xiàng)式樣條模型來(lái)擬合收益率曲線。在此基礎(chǔ)上，Schaefer(1981)[3]提出了利用Bernstein多項(xiàng)式模型化收益率曲線的思路。不過(guò)多項(xiàng)式樣條函數(shù)會(huì)引起遠(yuǎn)期利率的劇烈波動(dòng)，為此Vasicek and Fong(1982)[4]提出指數(shù)樣條模型，它可以有效避免遠(yuǎn)期利率的劇烈波動(dòng)，獲得更為平滑的遠(yuǎn)期收益率曲線。類似的，Shea(1984)[5]提出了B-樣條模型，F(xiàn)isher et al.(1995)[6]提出了平滑樣條模型。以上這些方法主要采用分段曲線對(duì)收益率曲線進(jìn)行擬合，因此被統(tǒng)稱為樣條類模型。另外一些學(xué)者采用了整段曲線對(duì)收益曲線進(jìn)行擬合的思路，即所謂的參數(shù)化擬合模型，比如Nelson and Siegel(1987)[7]提出的Nelson-Siege模型，以及在NS模型基礎(chǔ)上，Svennson(1994)[8]提出的Svennson模型。針對(duì)已有的這些參數(shù)模型，Bliss(1997)[9]提出了交叉效度方法檢驗(yàn)這些模型的有效性。再后來(lái)，Diebold and Li(2002)[10]基于NS模型提出了動(dòng)態(tài)NS(DNS)模型，估計(jì)了不同時(shí)刻刻畫收益率曲線水平、斜率和曲度的三個(gè)因子。周子康等(2008)[25]提出了NSM模型，他們通過(guò)對(duì)指數(shù)多項(xiàng)式添加擴(kuò)展項(xiàng)，調(diào)整了收益率曲線的形狀，既保留了NS類模型的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義和參數(shù)的穩(wěn)健性，也克服了NS類模型的單峰特征。張蕊等(2009)[26]通過(guò)在DNS模型中引入第四個(gè)因子，建立了四因子的動(dòng)態(tài)NS利率期限結(jié)構(gòu)模型，利用Kalman濾波方法處理了非線性最優(yōu)化問(wèn)題。在模型的應(yīng)用方面，王志強(qiáng)和康書隆(2010)[27]針對(duì)經(jīng)典的NS模型在實(shí)際應(yīng)用中存在部分久期配比免疫問(wèn)題，提出利用收益率預(yù)期信息對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整的思路，從而改進(jìn)了NS模型的應(yīng)用。在模型的估計(jì)方面，De Rezende and Ferreira(2014)[11]提出了利用分位數(shù)回歸估計(jì)擴(kuò)展的Nelson-Siegel模型的方法。沈根祥和陳映洲(2015)[28]通過(guò)在DNS模型中引入新的斜率因子，從而構(gòu)造了雙斜率的DNS利率期限結(jié)構(gòu)模型，提高了模型對(duì)短期收益率的靜態(tài)擬合和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)績(jī)效。尚玉皇等(2015)[29]通過(guò)對(duì)DNS模型進(jìn)行擴(kuò)展，構(gòu)建一種混頻Nelson-Siegel模型。張雪瑩等(2017)[30]在Diebold et al.(2006)[12]提出的動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型中，通過(guò)引入政府債券的供給和需求變量，討論了國(guó)債供求關(guān)系、利率期限結(jié)構(gòu)與宏觀經(jīng)濟(jì)變量之間的變動(dòng)關(guān)系，構(gòu)建了含有國(guó)債供求變量的動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型。目前這兩類利率期限結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)方法已經(jīng)被業(yè)界的Bloomberg和Reuters的電子信息系統(tǒng)所采用。

從模型擬合所采用的債券數(shù)據(jù)類別來(lái)看，以上的研究幾乎都是基于政府債券數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的期限結(jié)構(gòu)，相比而言，針對(duì)可違約債券利率的期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的研究相對(duì)較少。尤其是國(guó)內(nèi)的相關(guān)研究更少，一個(gè)重要的原因就是，無(wú)論是從發(fā)行量還是從發(fā)行規(guī)模上來(lái)看，可違約債券都相對(duì)落后于發(fā)達(dá)的國(guó)債市場(chǎng)，從而相應(yīng)的數(shù)據(jù)也較少，對(duì)于某些期限較長(zhǎng)的可違約債券來(lái)說(shuō)，發(fā)行數(shù)量更少。根據(jù)中國(guó)債券市場(chǎng)數(shù)據(jù)顯示，2015年中國(guó)債券市場(chǎng)各券種未結(jié)清數(shù)量占比分別為政府債34.62%，銀行債16.52%，公司和企業(yè)債5.12%，金融類企業(yè)短期融資券22.77%，其他債券20.97%。顯然，相比政府債券，可違約債券(公司債和企業(yè)債)在未結(jié)清的數(shù)量方面相形見絀1。

從現(xiàn)有的文獻(xiàn)來(lái)看，最早研究企業(yè)債券的利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的是Schwartz(1998)[13]，他提出先用信用評(píng)級(jí)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，將所有的企業(yè)債券劃分成不同的組別，然后構(gòu)建每一組內(nèi)債券的利率和期限之間的變動(dòng)關(guān)系。不過(guò)這種估計(jì)思路有一個(gè)較大的缺點(diǎn)：組內(nèi)樣本容量較小。這就使得對(duì)收益率曲線估計(jì)的精度較低，表現(xiàn)為曲線的平滑度較低。為了增加組內(nèi)的樣本容量，Houweling et al.(2001)[14]和Jankowitsch and Pichler(2002)[15]提出了對(duì)企業(yè)債券和政府債券的進(jìn)行聯(lián)合建模的思路，充分利用政府債券發(fā)行量較大的優(yōu)點(diǎn)，以增加樣本容量，這樣針對(duì)每一個(gè)信用評(píng)級(jí)水平，都可以生成信用價(jià)差曲線的估計(jì)量，而且可以獲得更為平滑的收益率曲線。Krishnan et al. (2010)[16]沿著Diebold and Li(2006)[10]提出的參數(shù)化方法，基于發(fā)行公司作為分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)債券進(jìn)行分類，利用指數(shù)多項(xiàng)式來(lái)模型化價(jià)差曲線的差。在此基礎(chǔ)上，Jarrow et al. (2012)[17]基于樣條的模型將企業(yè)債務(wù)的期限結(jié)構(gòu)描述為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)期限結(jié)構(gòu)和一個(gè)價(jià)差曲線的和，然后利用非線性最優(yōu)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。雖然后面這幾個(gè)研究通過(guò)增加政府債券來(lái)提高樣本的容量，從而改進(jìn)了模型估計(jì)的精度，不過(guò)這僅僅是一種權(quán)宜之計(jì)，對(duì)于單純估計(jì)可違約債券利率期限結(jié)構(gòu)的研究，仍然有待進(jìn)一步探索。為了克服可違約債券的利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)中出現(xiàn)的某些組內(nèi)樣本數(shù)據(jù)較少的問(wèn)題，本文提出了利用貝葉斯分層模型(Gelman et al. 2013)[18]對(duì)所有的分組進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)的思路。貝葉斯分層模型在生物、心理學(xué)和教育學(xué)等社會(huì)學(xué)科中應(yīng)用廣泛，它特別適用于參數(shù)多于樣本點(diǎn)的情形。從現(xiàn)有的研究來(lái)看，將貝葉斯分層模型引入到利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)中的研究思路幾乎還是一個(gè)空白，本文試圖在這一方面進(jìn)行探索。

本文首先在Svensson利率期限結(jié)構(gòu)模型框架內(nèi)，構(gòu)建可違約債券價(jià)格的貝葉斯分層模型，并給出分層Dirichlet后驗(yàn)分布估計(jì)的MCMC算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。其次，利用中國(guó)債券交易所市場(chǎng)的債券數(shù)據(jù)對(duì)貝葉斯分層模型和經(jīng)典的單曲線模型進(jìn)行了對(duì)比實(shí)證分析。最后，提出了貝葉斯分層模型在各種利率期限結(jié)構(gòu)研究中的應(yīng)用前景。

模型構(gòu)建及其估計(jì)方法

債券的利率期限結(jié)構(gòu)是指在相同的違約風(fēng)險(xiǎn)水平下，在某一時(shí)刻，不同的到期期限與對(duì)應(yīng)的零息債券到期收益率之間的關(guān)系。債券利率期限結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)是指以零息債券的市場(chǎng)價(jià)格為基礎(chǔ)，找到某個(gè)平滑函數(shù)來(lái)擬合某一時(shí)點(diǎn)的債券利率與不同期限之間的變動(dòng)關(guān)系。不過(guò)市場(chǎng)上大多數(shù)債券都是附息債券，零息債券較少，因此需要通過(guò)某種方法從附息債券價(jià)格中推導(dǎo)出零息債券的到期收益率?；镜乃悸窞椋焊较梢钥醋魇且幌盗胁煌谙蘖阆慕M合，附息債券的價(jià)格應(yīng)該等于復(fù)制其現(xiàn)金流量的所有零息債券的價(jià)值的總和。因此，可以用零息債券的利率期限結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算附息債券的價(jià)格。根據(jù)零息債券和附息債券的這種關(guān)系，可以利用實(shí)際市場(chǎng)中的付息債券的價(jià)格倒推出零息債券的利率期限結(jié)構(gòu)。

一、擬合函數(shù)與權(quán)重的選擇

考慮n只同等信用質(zhì)量的附息債券，記tmi為第i只債券的到期日，其中i=1,2…,n，在債券有效期內(nèi)需要多次支付現(xiàn)金流(利息或本金)C(i,j)，支付時(shí)刻為ti,j(＞t)，其中j=1,2…,mi，mi為第i只債券的最大支付次數(shù)。根據(jù)現(xiàn)金流貼現(xiàn)原則，第i只附息債券在當(dāng)前時(shí)刻t的理論價(jià)格P(t,tmi)可以如下計(jì)算：

其中y(t,ti,j)表示第i只債券在時(shí)刻ti,j的到期收益率。假設(shè)g(t,ti,j;θ)為備選的近似函數(shù)，其中θ為待估計(jì)參數(shù)向量。那么P(t,tmi)的估計(jì)值為

這樣我們可以構(gòu)造第i只債券的市場(chǎng)價(jià)格與理論價(jià)格之間的非線性回歸模型其中Pi為第i只債券的市場(chǎng)價(jià)格，為債券的理論價(jià)格，εi是誤差項(xiàng)，假設(shè)滿足εi～N(0,τ-1)，其中τ為精度(逆方差)。在二次損失函數(shù)準(zhǔn)則下，使得下面的目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)的參數(shù)向量即為待估計(jì)參數(shù)向量θ的最優(yōu)值：

即其中Pi和分別為第i只債券在當(dāng)前時(shí)刻t的市場(chǎng)價(jià)格和理論價(jià)格，wi為第i只債券在定價(jià)誤差中所占的權(quán)重，引入權(quán)重的目的是對(duì)定價(jià)誤差中的異方差進(jìn)行調(diào)整，在后面我們會(huì)專門討論如何基于久期構(gòu)造權(quán)重指標(biāo)。以上的估計(jì)思路可以稱之為加權(quán)非線性最小二乘準(zhǔn)則。顯然，模型估計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是選擇何種與期限T有關(guān)的參數(shù)函數(shù)g(t,T；θ)來(lái)近似收益率曲線y(t,T)；二是如何構(gòu)造權(quán)重指標(biāo)wi，i=1,2…, n。

本文選取g(t,T；θ)為Svensson(1994)[8]函數(shù)以對(duì)收益率曲線y(t,T)進(jìn)行整體逼近，即：

其中θ=(β0, β1, β2, β3)為形狀系數(shù)，λ=(λ1, λ2)為縮減因子系數(shù)。Svensson函數(shù)是由Svensson(1994)[8]在Nelson-Siegel函數(shù)基礎(chǔ)上提出的，它可以生成在實(shí)踐中經(jīng)常見到的一個(gè)較為寬泛的曲線的形狀，曲線形狀完全由四個(gè)參數(shù)所決定。β0刻畫了利率的長(zhǎng)期趨勢(shì)，β1刻畫了利率的短期行為，β2和β3描述了利率的中期行為，這兩個(gè)參數(shù)共同決定了曲線的曲率和極值點(diǎn)的特征。這些參數(shù)使得利率期限結(jié)構(gòu)的曲線更為靈活多變，它可以刻畫水平型、單調(diào)型、V型、倒V型和駝峰型的曲線形狀。

對(duì)于權(quán)重的選擇。債券到期日的長(zhǎng)短會(huì)影響到用于推測(cè)期限結(jié)構(gòu)的信息量?；诰闷诰C合了利率、期限和價(jià)格的信息可知，利率的變化對(duì)長(zhǎng)期債券價(jià)格的影響要遠(yuǎn)大于對(duì)短期債券價(jià)格的影響。而在模型參數(shù)的估計(jì)中，最小化過(guò)程會(huì)減少定價(jià)誤差的異方差，如果直接最小化誤差平方和會(huì)導(dǎo)致長(zhǎng)期收益率相對(duì)于短期收益率的過(guò)度擬合，從而降低收益率曲線短期部分的擬合效果。因此，在不考慮其他因素的情況下，應(yīng)當(dāng)對(duì)不同期限的債券賦予不同的權(quán)重。這樣在最小化目標(biāo)函數(shù)(4)中我們引入了一個(gè)權(quán)重wi，它表示第i只債券在定價(jià)誤差中所占的比重，即

引入權(quán)重wi后，權(quán)重會(huì)按比例調(diào)整誤差項(xiàng)的方差，即(τwi)-1。

接下來(lái)的問(wèn)題就是如何量化權(quán)重wi。Bolder and Streliski(1999)[19]認(rèn)為，既然債券的久期綜合了到期收益率、價(jià)格和期限三者的信息，那么利用久期定義的權(quán)重可以將這些信息融合進(jìn)估計(jì)的過(guò)程中。下面在不考慮其他因素的情況下，我們沿用該思路將第i個(gè)債券的權(quán)重定義為

其中Di為第i只債券的麥考利久期。麥考利久期是Macaulay(1938)[20]在全美經(jīng)濟(jì)研究局(NBER)的一次研究報(bào)告中提出的，它是利用債券現(xiàn)金流的現(xiàn)值作為權(quán)重的債券的到期日的加權(quán)平均值。具體的計(jì)算公式如下

其中Ci為t時(shí)刻需要支付的現(xiàn)金流，T為債券到期日，r為到期收益率。這樣，在一組債券中，對(duì)于具有較短到期日的哪些債券來(lái)說(shuō)，權(quán)重將趨于更高。

上面給出的利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的靜態(tài)模型，可以用于政府和企業(yè)債券的期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)。在具體應(yīng)用的時(shí)候，通常假設(shè)政府債券都有同樣的期限結(jié)構(gòu)。企業(yè)債券因?yàn)榫哂胁煌倪`約風(fēng)險(xiǎn)水平，通常會(huì)根據(jù)某些分類準(zhǔn)則將企業(yè)債券劃分成不同的族群，然后對(duì)每一族群分別估計(jì)它們的期限結(jié)構(gòu)。在實(shí)踐中，一個(gè)流行的分類準(zhǔn)則就是債券的信用評(píng)級(jí)。

二、利率期限結(jié)構(gòu)的貝葉斯分層模型

在利用上述的單曲線估計(jì)方法對(duì)可違約債券進(jìn)行估計(jì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)面臨小樣本問(wèn)題，即在某些分組中，只有少數(shù)幾只債券。這在債券市場(chǎng)上一個(gè)常見的現(xiàn)象，尤其在中國(guó)不發(fā)達(dá)的債券市場(chǎng)上這種問(wèn)題更為嚴(yán)重。顯然，在單曲線估計(jì)方法下，小樣本問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致組內(nèi)的估計(jì)精度會(huì)大幅度降低。為了克服小樣本帶來(lái)的估計(jì)精度較低的問(wèn)題，本文提出了整體聯(lián)合估計(jì)的貝葉斯分層模型的思路，通過(guò)對(duì)所有債券分組的期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)合建模，來(lái)抵消組內(nèi)樣本數(shù)量較少的問(wèn)題，從而提高估計(jì)的精度。

實(shí)際上，在貝葉斯分析框架內(nèi)估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)模型的思路并不新鮮，Li and Yu (2005)[21]早就提出了在利用貝葉斯分析框架來(lái)估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)模型的思路。不過(guò)從估計(jì)思路來(lái)看，他們的方法仍然屬于單曲線估計(jì)方法，而本文則采用了多層先驗(yàn)分布和聯(lián)合估計(jì)的方法思路。另外，他們利用樣條函數(shù)來(lái)分段刻畫收益率曲線，本文采用的是收益率曲線的參數(shù)函數(shù)整體擬合方法。

假設(shè)根據(jù)K個(gè)不同的信用級(jí)別把所有的企業(yè)債券劃分成K組，這對(duì)應(yīng)著需要估計(jì)K個(gè)不同的期限結(jié)構(gòu)。令θK為刻畫第k個(gè)期限結(jié)構(gòu)的參數(shù)向量，那么需要對(duì)參數(shù)向量θ={θ1, θ2,…θK}進(jìn)行估計(jì)。為了克服可能會(huì)出現(xiàn)的個(gè)別組內(nèi)樣本容量過(guò)小的問(wèn)題，將參數(shù)向量θ設(shè)定多層先驗(yàn)分布，構(gòu)建貝葉斯分層模型，這樣就可以利用所有K組債券的信息對(duì)參數(shù)向量θ進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。

債券價(jià)格的貝葉斯分層模型主要包括下面的三個(gè)部分：

其中Pki為第k個(gè)分組中第i只債券的價(jià)格，其中i=1,2,…,nk，nk表示第k組中包含nk個(gè)債券，k=1, 2,…,K。

債券價(jià)格的似然函數(shù)分布P(Pki|θk ,τ)(i=1, 2,…,nk，k=1,2,…,K)由下面的非線性回歸給出，即債券的市場(chǎng)價(jià)格被模型化為Pki=(θk)+εki，其中εki是誤差項(xiàng)，假設(shè)滿足εki～N(0,τ-1)，其中τ為精度(逆方差τ=1/σ2)。該式等價(jià)的概率模型為

其中P^i(θk)為第k組債券中的第i個(gè)債券的理論價(jià)格，根據(jù)式子(2)可知有如下形式

C(ki,j)為第k組債券中的第i個(gè)債券在時(shí)刻為tki,j(t＜ti,j＜mki)所支付的現(xiàn)金流(利息或本金)，j=1, 2,…,mki，mki為第i只債券的最大支付次數(shù)；g(t,tki,j；θk)被用于近似描述在時(shí)刻t的K個(gè)待估計(jì)的期限結(jié)構(gòu)的第k個(gè)期限結(jié)構(gòu)，這樣每一個(gè)期限結(jié)構(gòu)都通過(guò)一個(gè)四維向量θk=(βk0, βk1, βk2, βk3)來(lái)刻畫。在上面的設(shè)定下，我們可以得到債券價(jià)格的似然函數(shù)p=(Pki|θkτ)(i=1, 2,…,nk，k=1, 2,…,K)。

為了估計(jì)模型參數(shù)θk，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)有限混合先驗(yàn)分布，以保證模型能夠捕獲特定主體參數(shù)之間的異質(zhì)性(包括異常點(diǎn)，超擴(kuò)散點(diǎn)和多樣態(tài))。比如對(duì)于某些投資級(jí)的債券，由于某種原因?qū)е逻@些債券的市場(chǎng)價(jià)格變得很低，這些債券應(yīng)當(dāng)被降級(jí)為垃圾級(jí)，如果這些債券的評(píng)級(jí)并沒有及時(shí)發(fā)生改變，就會(huì)出現(xiàn)異常點(diǎn)。在數(shù)據(jù)概率建模中，對(duì)于數(shù)據(jù)的不同局部具有不同的變化特征時(shí)，單參數(shù)分布族無(wú)法給予確切地描述，但有限混合分布模型卻能對(duì)其進(jìn)行有效的刻畫，而且有限混合分布模型具有良好的適應(yīng)性和模擬性，它廣泛的被應(yīng)用于生物、基因工程、信息科學(xué)和金融保險(xiǎn)等社會(huì)各領(lǐng)域。比如混合泊松分布在醫(yī)學(xué)和保險(xiǎn)精算領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用；混合指數(shù)分布在信息工程領(lǐng)域里有一定應(yīng)用；而正態(tài)混合分布應(yīng)用更是廣泛，理論證明任何有限分布都可以由等協(xié)差陣的有限正態(tài)混合分布任意逼近，而且正態(tài)混合分布模型也具有較高的靈活性和高效性的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。關(guān)于正態(tài)混合分布更為詳細(xì)的相關(guān)內(nèi)容可以參考Yu and Deng(2015)[22]。

在貝葉斯分層模型中，將參數(shù)向量θk的先驗(yàn)分布設(shè)定為正態(tài)混合分布可以提高完全后驗(yàn)推斷中的計(jì)算效率。我們用一個(gè)正態(tài)混合分布來(lái)模型化期限結(jié)構(gòu)參數(shù)向量θk的分布p(θk|φ)，即

這樣超參數(shù)可以寫成φ={G}。貝葉斯模型的分層更多的是體現(xiàn)在對(duì)超參數(shù)φ={G}的分布的設(shè)定。下面沿用文獻(xiàn)Müller and Quintana(2015)[23]的方法給出超參數(shù)φ={G}的超先驗(yàn)分布的設(shè)定。設(shè)G服從Dirichlet過(guò)程，即G～DP(G0，M)，其中基礎(chǔ)分布G0服從多元正態(tài)分布，即G0～N(b，B)，它刻畫了位置參數(shù)G的均值，M服從伽馬分布和M～Ga(am，bm)，它決定了G圍繞G0波動(dòng)大小的程度。矩b和B被選擇為與混合核是共軛的：b～N(b0，B0)和B-1～Wishart(r，(rW)-1)。對(duì)于精度τ，設(shè)定它服從伽馬分布，即τ～Ga(aτ，bτ)。

綜上所述，債券價(jià)格的貝葉斯分層模型如下給出：

在本文設(shè)定的先驗(yàn)分布的超參數(shù)中，混合基礎(chǔ)測(cè)度G0和協(xié)方差矩陣S對(duì)于所有的參數(shù)θk都是一樣的。這樣后驗(yàn)分布推斷就可以利用所有期限結(jié)構(gòu)共享的信息。

通過(guò)設(shè)定位置超參數(shù)G服從Dirichlet過(guò)程的先驗(yàn)分布，貝葉斯分層模型可以借用整個(gè)期限結(jié)構(gòu)的力量，對(duì)每一個(gè)分組中的少數(shù)幾個(gè)債券的期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)合建模，從而可以有效解決組內(nèi)樣本數(shù)量較少所帶來(lái)的估計(jì)精度不足的問(wèn)題。

顯然，上面給出的貝葉斯分層模型的后驗(yàn)分布沒有封閉解。利用MCMC算法從后驗(yàn)分布中進(jìn)行抽樣，可以獲得參數(shù)的貝葉斯估計(jì)的近似解。令K為待估計(jì)的期限結(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)，nk為期限結(jié)構(gòu)k(k=1,2…,k)中的債券的個(gè)數(shù)。下面給出模型的MCMC算法。

因?yàn)棣萲的后驗(yàn)分布沒有封閉形式，需要利用Metropolis-Hasting算法更新θk。令θtk為第t次迭代時(shí)的當(dāng)前點(diǎn)，θ*k為從替代分布q(θ*k|θtk)模擬的候選值。替代分布設(shè)為其中sd和ε為正的常數(shù)，t0是一個(gè)正整數(shù)，cov表示經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差矩陣。在本文中，我們令sd=0.5，ε=0.00001，t0=2000。該算法提供的適應(yīng)性允許我們生成精確的估計(jì)量，即使我們對(duì)重要性分布的協(xié)方差矩陣設(shè)定了一個(gè)粗糙的近似。

沿用文獻(xiàn)Müller and Quintana(2004)的思路，對(duì)初始值和超參數(shù)做如下的設(shè)定。超參數(shù)為初始值為對(duì)于MH算法，為了對(duì)θk進(jìn)行升級(jí)，我們?cè)O(shè)定其中和分別為參數(shù)θk的樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣。

實(shí)證結(jié)果及分析

一、樣本選取

本文所使用的數(shù)據(jù)是從和訊網(wǎng)債券債券行情抓取的2017年4月6日15∶00更新的交易所市場(chǎng)的債券交易數(shù)據(jù)，選取的變量主要包括：信用評(píng)級(jí)、本金、息票率、到期日、剩余年限、息票支付日、修正久期和最新報(bào)價(jià)。

債券樣本的信用評(píng)級(jí)主要包括投資級(jí)債券(AAA,AA,A,BBB)，最大到期日為15年。我們排除了具有負(fù)的收益的所有債券，因?yàn)檫@些債券具有極差的流動(dòng)性。最后樣本數(shù)據(jù)集包含了國(guó)內(nèi)248只未結(jié)清的企業(yè)債券的數(shù)據(jù)，基于信用評(píng)級(jí)的分類包括四組：AAA,AA,A和BBB；每一組中分別包括49、179、13和7只債券。

表1 基于信用評(píng)級(jí)的債券的分布情況

表2 基于剩余年限(列)和信用評(píng)級(jí)(行)的債券的分布情況

為了進(jìn)一步考察到期日與債券個(gè)數(shù)的關(guān)系，表2給出了將剩余年限劃分成了下面幾組：

表2表明，債券的個(gè)數(shù)對(duì)于1年期以上的中長(zhǎng)期債券來(lái)說(shuō)，隨著時(shí)間增長(zhǎng)，債券的個(gè)數(shù)急速減少，比如，在剩余期限為1～5年的區(qū)間中有176只債券，它解釋了樣本中債券數(shù)量的71%。而在10以上的區(qū)間中，債券的個(gè)數(shù)只有1只。顯然，剩余期限越短，債券的流動(dòng)性越強(qiáng)，這可以部分的解釋投資者對(duì)中短期債券更加偏好的流動(dòng)性偏好理論。

本小節(jié)將上面的債券價(jià)格貝葉斯分層模型方法用于估計(jì)企業(yè)債券的期限結(jié)構(gòu)。為了進(jìn)行對(duì)比，本節(jié)也將利用單曲線方法對(duì)不同的期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)。

二、實(shí)證結(jié)果及分析

1. 利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)

單曲線方法利用現(xiàn)金流貼現(xiàn)原理估計(jì)得到基于信用評(píng)級(jí)的期限結(jié)構(gòu)。在本文提出的利率期限結(jié)構(gòu)的貝葉斯分層模型中，利用了作者自己編寫的非線性似然函數(shù)程序，結(jié)合R軟件包“DPpackage”和“termstrc”對(duì)模型進(jìn)行了估計(jì)，軟件包“DPpackage”專門針對(duì)貝葉斯非參數(shù)和半?yún)?shù)模型，利用模擬抽樣技術(shù)從后驗(yàn)分布中抽樣，其中的先驗(yàn)分布為服從Dirichlet過(guò)程的分層先驗(yàn)分布。本文通過(guò)最小化(4)中的加權(quán)平方誤差來(lái)估計(jì)參數(shù)，權(quán)重由(6)定義，最優(yōu)化問(wèn)題利用了R軟件中的nlminb()函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

在利率的期限結(jié)構(gòu)估計(jì)中，第k個(gè)期限結(jié)構(gòu)的參數(shù)被估計(jì)為參數(shù)向量θk的后驗(yàn)均值，它由后驗(yàn)樣本的平均值來(lái)近似。

其中N為MCMC算法中的抽樣迭代的次數(shù)，b為MCMC算法中的預(yù)燒期，K為期限結(jié)構(gòu)的個(gè)數(shù)，在本文中K=4。對(duì)于精度參數(shù)τ也有類似的估計(jì)結(jié)構(gòu)。

被估計(jì)的參數(shù)列在表3中，其中所有參數(shù)的馬氏鏈路徑最終都收斂在一定的區(qū)域里，波動(dòng)比較平穩(wěn)，且沒有明顯的周期性和趨勢(shì)性。針對(duì)不同的信用級(jí)別，利用該方法都獲得了相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)。利用可替代的初始值，在所有情形中的被估計(jì)參數(shù)都與表3中報(bào)告的數(shù)值基本一致。

表3 基于信用評(píng)級(jí)分類的期限結(jié)構(gòu)的被估計(jì)參數(shù)

為了進(jìn)行對(duì)比，估計(jì)量的表達(dá)沿用了Nelson and Siegel(1987)[7]引入的原始參數(shù)化思路。對(duì)于利用貝葉斯分層模型獲得的估計(jì)量，在括號(hào)中給出了估計(jì)量的90%的置信區(qū)間。

圖1給出在四個(gè)不同的信用級(jí)別(AAA,AA,A,BBB)下的期限結(jié)構(gòu)估計(jì)，給出了期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的單一曲線方法和貝葉斯分層模型估計(jì)。

從圖1可以看出利用單曲線模型估計(jì)的利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)，AAA級(jí)和AA級(jí)表現(xiàn)出了較為合理的曲線形狀，即到期日越長(zhǎng)，收益率越高。但是A級(jí)和BBB級(jí)的收益率曲線表現(xiàn)出了與現(xiàn)實(shí)和理論不符的嚴(yán)重問(wèn)題，比如A級(jí)和BBB級(jí)的收益率曲線不但表現(xiàn)出了不合理的隆起形狀，甚至在長(zhǎng)期，A級(jí)和BBB級(jí)收益率曲線竟然低于AA級(jí)的收益率曲線，這顯然與信用級(jí)別越低，收益率越高的理論和現(xiàn)實(shí)相矛盾。如果探究其出現(xiàn)估計(jì)與現(xiàn)實(shí)出現(xiàn)較大偏差的原因，一個(gè)重要的原因就是，A級(jí)和BBB級(jí)的債券數(shù)據(jù)樣本容量較小帶來(lái)的估計(jì)偏差，比如A級(jí)債券的樣本個(gè)數(shù)為13，BBB級(jí)債券的樣本個(gè)數(shù)為7。

圖1 基于信用評(píng)級(jí)分組的收益率曲線

相比而言，基于貝葉斯分層模型所估計(jì)的收益曲線則表現(xiàn)出了與現(xiàn)實(shí)和理論相一致的形狀，它們的“順序”與理論一致，這和信用風(fēng)險(xiǎn)和收益之間的預(yù)期關(guān)系是一致的：信用評(píng)級(jí)越低，收益越高。

從圖1的對(duì)比可以證明，貝葉斯分層模型可以有效的克服個(gè)別分組內(nèi)樣本點(diǎn)過(guò)少所帶來(lái)的估計(jì)精度偏低的缺點(diǎn)，而且估計(jì)結(jié)果現(xiàn)實(shí)，理論模型與流動(dòng)性偏好理論基本一致，即投資者更加偏好短期債券，可以接受較低的收益率，而對(duì)于到期日較長(zhǎng)的中長(zhǎng)期債券，則會(huì)索取更高的收益率，以彌補(bǔ)可能發(fā)生的各種風(fēng)險(xiǎn)。

2. 模型估計(jì)的績(jī)效分析

期限結(jié)構(gòu)估計(jì)模型的績(jī)效通過(guò)樣本內(nèi)和樣本外預(yù)測(cè)作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)比。樣本內(nèi)的擬合優(yōu)度根據(jù)價(jià)格殘差(價(jià)格誤差)進(jìn)行度量，價(jià)格殘差也叫價(jià)格誤差，它等于市場(chǎng)價(jià)格減去債券的理論價(jià)格，理論價(jià)格由被估計(jì)的貼現(xiàn)曲線計(jì)算而得。對(duì)比價(jià)格殘差是合適的，因?yàn)槠谙藿Y(jié)構(gòu)模型應(yīng)該能夠精確的解釋市場(chǎng)價(jià)格，因?yàn)槔适莻瘍r(jià)格的主要決定因素。具有最低價(jià)格誤差的期限結(jié)構(gòu)模型給出了最好的擬合。

樣本預(yù)測(cè)績(jī)效的計(jì)算利用了Steeley(2008)[24]提出的交叉效度分析。交叉效度的基本做法是，將數(shù)據(jù)集合劃分成兩個(gè)互補(bǔ)的子集訓(xùn)練集合和測(cè)試集合，首先利用訓(xùn)練集合來(lái)擬合期限結(jié)構(gòu)，然后利用得到的期限結(jié)構(gòu)計(jì)算測(cè)試集合中的每只債券的理論價(jià)格，接著根據(jù)市場(chǎng)價(jià)格算出價(jià)格殘差，最后計(jì)算測(cè)試集合的根均方預(yù)測(cè)誤差(RMSPE)和平均絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差(MAPE)見圖2。

圖2 單曲線和貝葉斯分層模型估計(jì)的樣本內(nèi)絕對(duì)價(jià)格誤差

表4 平均RMSPE和MASPE

另外，在圖2的箱線圖和表5中，我們也給出了單曲線模型和貝葉斯分層模型估計(jì)的債券價(jià)格的樣本預(yù)測(cè)績(jī)效。

從圖2和表4可以看出，貝葉斯分層模型和單一曲線估計(jì)量給出了價(jià)格估計(jì)的類似的樣本內(nèi)預(yù)測(cè)績(jī)效。對(duì)于較低的信用評(píng)級(jí)，中位數(shù)和四分位數(shù)間距(IQR)都會(huì)上升。不過(guò)，貝葉斯分層模型的估計(jì)量的中位數(shù)絕對(duì)價(jià)格殘差要小于單一曲線方法的殘差。這說(shuō)明，貝葉斯分層模型估計(jì)績(jī)效要高于單曲線模型的估計(jì)績(jī)效。

將分層貝葉斯模型用于基于信用評(píng)級(jí)的債券分組的期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)的最大好處是，由分層貝葉斯模型估計(jì)的收益曲線與經(jīng)濟(jì)理論相符。而且貝葉斯分層模型不會(huì)受到異常值的過(guò)度的影響：其中的DP先驗(yàn)分布允許異常值具有自己的聚集類，因此會(huì)獨(dú)自離開主要的族群。通過(guò)將所有的債券保留在樣本內(nèi)，可以避免引入偏倚。

結(jié)論

本文探討了如何利用貝葉斯分層模型估計(jì)可違約債券利率的期限結(jié)構(gòu)的方法，通過(guò)對(duì)參數(shù)設(shè)定分層Dirichlet先驗(yàn)分布，可以對(duì)所有評(píng)級(jí)分組的參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，這樣可以利用不同信用評(píng)級(jí)債券之間共享的信息，克服了單曲線模型面臨的某些分組內(nèi)的小樣本所引起的估計(jì)精度較低的問(wèn)題，從而可以基于小樣本獲得可靠的估計(jì)量。實(shí)證分析表明，在基于評(píng)級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的債券分組中，期限結(jié)構(gòu)的貝葉斯分層模型估計(jì)量比通過(guò)非線性加權(quán)最小二乘的單曲線估計(jì)量更加符合經(jīng)濟(jì)理論。而且貝葉斯分層模型在實(shí)踐應(yīng)用中可以較為容易的實(shí)施，模型參數(shù)不需要進(jìn)行過(guò)多的調(diào)整。因?yàn)镸CMC算法對(duì)初始值和固定超參數(shù)的設(shè)定極不敏感，在不同的初值設(shè)定下，給定足夠大的迭代次數(shù)和合理的預(yù)燒期，總是可以獲得穩(wěn)健的、合理的估計(jì)結(jié)果。

本文提出的利率期限結(jié)構(gòu)的貝葉斯分層模型也可以用于擬合基于其他分類標(biāo)準(zhǔn)的債券的期限結(jié)構(gòu)。實(shí)際上，除了信用評(píng)級(jí)之外，也有一些影響債券期限結(jié)構(gòu)的其他因素：流動(dòng)性，稅收和回收率等。將這些因素融期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的思路就是將它們也作為定義債券分類的標(biāo)準(zhǔn)。然而，以這些因素作為債券的分類標(biāo)準(zhǔn)，也會(huì)導(dǎo)致個(gè)別分組中的債券個(gè)數(shù)過(guò)小，利用本文的貝葉斯分層模型同樣可以解決這個(gè)問(wèn)題。

貝葉斯分層模型也是一個(gè)靈活的模型，它并沒有被限定于僅僅估計(jì)特定類型的債券，比如該模型可以用于估計(jì)不同國(guó)家的債券之間的價(jià)差。我們可以將每一個(gè)國(guó)家看成是一類債券發(fā)行主體，然后聯(lián)合估計(jì)他們的期限結(jié)構(gòu)，之后將兩個(gè)不同國(guó)家的估計(jì)曲線之間的差取為價(jià)差。此外，將企業(yè)或者政府債券與信用價(jià)差(企業(yè)債券和政府債券收益率之間的差)的估計(jì)進(jìn)行結(jié)合，也可以利用貝葉斯分層模型方法。基于貝葉斯分層模型估計(jì)量的信用價(jià)差的計(jì)算可能會(huì)更加精確，因?yàn)樵谧R(shí)別企業(yè)債券的潛在的期限結(jié)構(gòu)方面，本文模型具有較好的績(jī)效。

總之，本文探究的期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的貝葉斯分層模型能夠在債券小樣本數(shù)據(jù)下，獲得期限結(jié)構(gòu)更為精確的估計(jì)，它可以被廣泛的應(yīng)用于各種期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)，而不會(huì)受到樣本容量的限制。

注釋

1. 數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)債券信息網(wǎng)和《2015年債券市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告》，中央結(jié)算公司研發(fā)部，2016 年1月4日。