楊彩虹，胡志興

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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一類(lèi)具有飽和發(fā)生率的SEIR模型的穩(wěn)定性

楊彩虹，胡志興

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

討論了一類(lèi)具有垂直傳染與飽和發(fā)生率的SEIR模型的穩(wěn)定性，考慮了接種免疫對(duì)傳染病傳播的影響。通過(guò)計(jì)算得到模型的基本再生數(shù)R0，證明了當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定和全局漸近穩(wěn)定的。利用Hurwitz判據(jù)和第二加性復(fù)合矩陣證明了當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，且在一定條件下是全局漸近穩(wěn)定的。

垂直傳染；飽和發(fā)生率；SEIR；穩(wěn)定性

0　引言

傳染病嚴(yán)重威脅人類(lèi)健康，所以對(duì)傳染病模型的研究越來(lái)越得到人們的重視，而且近20年來(lái)的研究也取得了顯著成果。比較簡(jiǎn)單的傳染病模型有易感者-患病者(susceptible-infectious，SI)模型、易感者-患病者-康復(fù)者(susceptible-infectious-recovered，SIR)模型和易感者-潛伏者-患病者-康復(fù)者(susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR)模型等倉(cāng)室模型。 文獻(xiàn)[1-2]對(duì)具有飽和感染率、飽和治愈率以及垂直感染的SIR傳染病模型進(jìn)行了研究,這類(lèi)模型將人口種群分為易感者S、患病者I和康復(fù)者R，簡(jiǎn)稱(chēng)SIR模型，研究發(fā)現(xiàn)：系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)后向分支和hopf分支，并分析了此類(lèi)傳染病的傳播過(guò)程和預(yù)防治療方向。然而現(xiàn)實(shí)生活中有些傳染病是具有潛伏期的，一般將攜帶病毒但沒(méi)有發(fā)病的人群記為潛伏者E，對(duì)這類(lèi)傳染病可建立SEIR倉(cāng)室模型。文獻(xiàn)[3]分別對(duì)SIR模型和SEIR模型進(jìn)行了討論，發(fā)現(xiàn)雖然SEIR模型比SIR模型復(fù)雜，但研究方法和結(jié)果有許多相似之處，而且當(dāng)具有線性治愈率時(shí)，系統(tǒng)僅存在無(wú)病平衡點(diǎn)和一個(gè)地方病平衡點(diǎn)，當(dāng)然也存在眾多差異。文獻(xiàn)[4-5]針對(duì)SEIR模型進(jìn)行了詳細(xì)研究，本文在其基礎(chǔ)上建立了更加簡(jiǎn)單而且適用范圍更廣的SEIR模型。

1　模型的建立

考慮到接觸傳播、垂直傳播、預(yù)防接種和有效治療這幾個(gè)因素的綜合影響，建立模型并做如下假設(shè)和說(shuō)明:

(Ⅰ)S、E、I和R分別為易感者、潛伏者、患病者和康復(fù)者。

(Ⅱ)人口總數(shù)記為N，N=S+E+I+R。

(Ⅲ)b為S、E和R的總出生率和死亡率；δ為I的出生率和死亡率；m′為對(duì)易感者、潛伏者和康復(fù)者的新生兒的預(yù)防接種比例(m+m′=1)；q為垂直感染率(p+q=1)；ω為潛伏者轉(zhuǎn)變成患病者的概率；ε為潛伏者的恢復(fù)率；γ為患病者的恢復(fù)率。

模型為：

(1)

2　平衡點(diǎn)

(2)

將系統(tǒng)(2)的3個(gè)方程相加得：

可以證得：

(3)

顯然Ω為系統(tǒng)(2)的正向不變集,下面僅在Ω內(nèi)討論系統(tǒng)(2)。

(4)

(5)

(6)

3　無(wú)病平衡點(diǎn)

3.1局部穩(wěn)定性

定理1當(dāng)基本再生數(shù)R0≤1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

證明無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的雅可比(Jacobian)矩陣為：

(7)

特征方程為：

(λ+b)(λ2+(pδ+γ+b+ω+ε)λ+(pδ+γ)(b+ω+ε)-βωm)=0;

λ1=-b；

λ2+λ3=-(pδ+γ+b+ω+ε)；

λ2λ3=(pδ+γ)(b+ω+ε)-βωm。

當(dāng)R0>1時(shí),有βωm>(b+ω+ε)(pδ+γ),所以λ2λ3<0,即λ2,λ3異號(hào),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。 當(dāng)R0<1時(shí),有βωm<(b+ω+ε)(pδ+γ),所以λ2λ3>0，又因?yàn)棣?+λ3<0,所以λ2,λ3<0,即無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。

3.2全局穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0≤1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。

(8)

(9)

4　地方病平衡點(diǎn)

4.1局部穩(wěn)定性

定理3當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。

證明地方病平衡點(diǎn)E1處的雅可比(Jacobian)矩陣為：

(10)

特征方程為：

a3λ3+a2λ2+a1λ+a0，

(11)

其中：

a3=1；

顯然a3>0,a2>0,將式(4)帶入a1和a0化簡(jiǎn)可得：

特征方程(11)的赫爾維茨(Hurwitz)行列式為：

由赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)得：特征方程(11)的所有根都具有負(fù)實(shí)部,所以當(dāng)R0>1時(shí)，平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。

4.2全局穩(wěn)定性

設(shè)開(kāi)集D?Rn,對(duì)x∈D,x→f(x)∈Rn是C1函數(shù),考慮微分方程

(12)

設(shè)x(t,x0)代表方程(12)滿足條件x(0,x0)=x0的解,集合K稱(chēng)為方程(12)在D內(nèi)的吸引集,若對(duì)每一個(gè)緊子集K1?D,當(dāng)t充分大時(shí),都有x(t,K1)?K,做如下基本假設(shè)：

(H1) 方程(12)在D內(nèi)存在一個(gè)緊的吸引子集K?D。

定理4若bm-pδ<0,則當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E1在Ω內(nèi)部是全局漸近穩(wěn)定的。

系統(tǒng)(2)的雅可比矩陣為J，

(13)

由文獻(xiàn)[9]知:矩陣J的第二加性復(fù)合矩陣為J[2]，

(14)

(15)

μ(B)≤sup{g1,g2},

(16)

下面計(jì)算μ1(B22)。把B22的每一列非對(duì)角線上的元素取絕對(duì)值,然后加到相應(yīng)列的對(duì)角元素上得:

(17)

由系統(tǒng)(2)知:

(18)

定義1中提到的常數(shù)c可以經(jīng)過(guò)調(diào)整后得到：存在T>0使得E(t)>c,I(t)>c(t>T),其中T與x(0)∈K無(wú)關(guān)。

5　結(jié)論

(1)當(dāng)R0≤1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

(2)當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)bm-pδ<0且R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E1是全局漸近穩(wěn)定的。

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61174209,11471034)

楊彩虹(1991-)，女，山東濱州人，碩士生；胡志興(1962-)，男，陜西漢中人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事非線性動(dòng)力系統(tǒng)與混沌、生物數(shù)學(xué)等方面的研究.

2016-07-28

1672-6871(2017)01-0078-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.01.016

O175

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