胡慧敏，喬志琴

(中北大學(xué)理學(xué)院,太原 030051)

近年來，性傳播疾病的爆發(fā)引起了人們的廣泛重視，衛(wèi)生界醫(yī)療界等各界的學(xué)者們也都致力于減少或停止性病的傳播.其中，使用數(shù)學(xué)模型來分析性傳染病的傳播和控制尤為重要.典型的傳染病模型包括易感感染(SI)模型，易感感染易感(SIS)模型和易感感染恢復(fù)(SIR)模型[1].根據(jù)疾病擴(kuò)散的不同特征來使用不同的模型，本文使用SIRS模型.與SIR模型不同，SIRS模型考慮短期免疫.所謂的短期免疫是指免疫個(gè)體在一段時(shí)間后成為易感個(gè)體.

眾所周知，人之間的不斷接觸與聯(lián)系為疾病的傳播定義了一個(gè)網(wǎng)絡(luò).因?yàn)閭€(gè)體之間相互連接，相互交錯(cuò)，就需要通過了解個(gè)體之間的聯(lián)系來了解和預(yù)測(cè)疾病的傳播.在網(wǎng)絡(luò)流行病中，把人看作網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)個(gè)體，個(gè)體之間的相互接觸與聯(lián)系表示他們之間的局部作用.但在經(jīng)典的流行病模型中，每個(gè)人之間的接觸被忽略，不太符合實(shí)際.本文考慮到不同的人在單位時(shí)間內(nèi)接觸的人數(shù)可能不同，增加了研究的真實(shí)性與可行性[2-14].

之前的一些模型中將染病者分為低風(fēng)險(xiǎn)染病者和高風(fēng)險(xiǎn)染病者，一旦被感染，一部分感染者開始控制他們的行為，比如采用避孕套來保護(hù)他們的伴侶[15].為了更好地預(yù)防艾滋病，本文研究未感染時(shí)采取措施對(duì)艾滋病的影響.在性生活中，一部分人使用避孕套，另一部分人不使用.所以，使用避孕套的這部分人在與有性病者進(jìn)行性生活時(shí)感染的風(fēng)險(xiǎn)比較小，稱他為低風(fēng)險(xiǎn)易感者，同理，不使用避孕套者稱之為高風(fēng)險(xiǎn)易感者，當(dāng)他們受到感染時(shí)都將變成染病者.

本文討論了一種在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的SIRS流行病模型.第一節(jié)中，給出了模型的基本公式.第二節(jié)中，討論了只有低風(fēng)險(xiǎn)易感者時(shí)的模型，運(yùn)用下一代矩陣法得出了基本再生數(shù)并討論了無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，還討論了地方性平衡點(diǎn)的存在性并通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)，研究了地方性平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.第三節(jié)中，討論了只有高風(fēng)險(xiǎn)易感者時(shí)，性病相應(yīng)的傳播動(dòng)態(tài).在第四節(jié)中，討論了高風(fēng)險(xiǎn)易感者和低風(fēng)險(xiǎn)易感者并存時(shí)，性病相應(yīng)的傳播動(dòng)態(tài).在第五節(jié)中，通過數(shù)值模擬來說明采取措施可以減少性病的傳播.在最后一節(jié)，進(jìn)行了簡(jiǎn)短的討論.

1 模型的建立

本節(jié)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)建流行病模型.所謂網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點(diǎn)與連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的一些邊構(gòu)成，其中節(jié)點(diǎn)代表真實(shí)系統(tǒng)中不同的個(gè)體，而邊則表示個(gè)體間的關(guān)系.為了反映個(gè)體生理能力和生存空間的局限性，將總節(jié)點(diǎn)(即網(wǎng)絡(luò)大小)假設(shè)為常數(shù)N.模型中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)個(gè)體，個(gè)體之間的相互接觸看成有邊相連.

首先，對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類，即對(duì)個(gè)體進(jìn)行分組，一個(gè)個(gè)體在單位時(shí)間內(nèi)接觸的人數(shù)k就是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度，每個(gè)個(gè)體的度分布是穩(wěn)定的，節(jié)點(diǎn)之間是相互獨(dú)立且狀態(tài)不同的[16].根據(jù)單位時(shí)間內(nèi)接觸人數(shù)的不同將節(jié)點(diǎn)按度分為k類，其中k=(1，2，…，n).用常數(shù)Nk來表示單位時(shí)間內(nèi)接觸人數(shù)為k的人群的相對(duì)密度.

其次，對(duì)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行分類，節(jié)點(diǎn)可以分為4種狀態(tài):低風(fēng)險(xiǎn)易感者s1k，高風(fēng)險(xiǎn)易感者s2k(通過避孕套的使用率p劃分低風(fēng)險(xiǎn)易感者和高風(fēng)險(xiǎn)易感者)，感染者ik和恢復(fù)者rk.其中，s1k表示度為k時(shí)低風(fēng)險(xiǎn)易感者的相對(duì)密度.同理，s2k，ik，rk分別表示度為k時(shí)高風(fēng)險(xiǎn)易感者，染病者，恢復(fù)者的相對(duì)密度.其中，s1k+s2k+ik+rk=Nk.顯然，s1k+s2k=Nk-(ik+rk)，當(dāng)避孕套使用率為p時(shí)，低風(fēng)險(xiǎn)易感者的相對(duì)密度為s1k=p[Nk-(ik+rk)]，同理，s2k=(1-p)[Nk-(ik+rk)].其中，0≤p≤1.

在模型中，低風(fēng)險(xiǎn)易感者和高風(fēng)險(xiǎn)易感者通過接觸感染者變?yōu)槿静≌?，低風(fēng)險(xiǎn)易感者與染病者的接觸率為Θ11(t)，高風(fēng)險(xiǎn)易感者與染病者的接觸率為Θ22(t).β1為低風(fēng)險(xiǎn)易感者與染病者接觸時(shí)的有效傳染率，β2為高風(fēng)險(xiǎn)易感者與染病者接觸時(shí)的有效傳染率，所以，低風(fēng)險(xiǎn)易感者與染病者的有效接觸率為Θ1(t)=β1Θ11(t)，高風(fēng)險(xiǎn)易感者與染病者的有效接觸率為Θ2(t)=β2Θ22(t).染病者通過一定的恢復(fù)率γ變?yōu)榛謴?fù)者，恢復(fù)者失去免疫力后又變?yōu)橄鄳?yīng)的易感者，其中，變?yōu)榈惋L(fēng)險(xiǎn)易感者時(shí)失去免疫力率為δ1，變?yōu)楦唢L(fēng)險(xiǎn)易感者時(shí)失去免疫力率為δ2.根據(jù)生物學(xué)意義β1>0，β2>0，γ>0，δ1>0，δ2>0.其中，

基于以上闡述，構(gòu)建的傳輸圖如圖1所示.

圖1 傳輸圖Fig.1 Transmission chart

由圖1的傳輸圖可以很容易得到下面的系統(tǒng)(1).

(1)

2 只有低風(fēng)險(xiǎn)易感者(p=1)

當(dāng)p=1時(shí)，避孕套的使用率為1，即系統(tǒng)中的所有人都使用避孕套.此時(shí)，只有低風(fēng)險(xiǎn)易感者，即當(dāng)p=1時(shí)，s2k=(1-p)[Nk-(ik+rk)]=0，因?yàn)榇藭r(shí)高風(fēng)險(xiǎn)易感者為0，所以當(dāng)恢復(fù)者失去免疫力后也不可能再變?yōu)楦唢L(fēng)險(xiǎn)易感者，所以δ2=0.

系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(2)

2.1 基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

基本再生數(shù)決定了流行病模型的全球動(dòng)態(tài)，在這里用下一代矩陣法來計(jì)算它.

將s1k=p[Nk-(ik+rk)]=Nk-ik-rk代入系統(tǒng)(2)得到

(3)

令ik=0，rk=0，可以得到系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)為

由系統(tǒng)(3)得到：

在F中第一行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到F的第一行，第二行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到F的第二行，以此類推得到下面的F.

用a1=1(N1-i1-r1)，a2=2(N2-i2-r2)，…，an=n(Nn-in-rn)得

F=

在V中第一行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到V的第一行，第二行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到V的第二行，以此類推得到下面的V：

求FV-1得

則

R01=

L1=WV-1x，

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，

(R01-1)Wx≤0.

顯然，當(dāng)R01<1時(shí)系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

2.2 地方性平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性

其中

結(jié)合

解得

定義一個(gè)方程

所以

證明構(gòu)建下面的李雅普諾夫函數(shù)：

因

再結(jié)合等式

和

對(duì)V1(t)求一階導(dǎo)可得：

得

由Lasalle不變集原理，有

3 只有高風(fēng)險(xiǎn)易感者(p=0)

當(dāng)p=0時(shí)，避孕套的使用率為0，即系統(tǒng)中無人使用避孕套，此時(shí)，只有高風(fēng)險(xiǎn)易感者，即當(dāng)p=0時(shí)，s1k=p[Nk-(ik+rk)]=0，因?yàn)榇藭r(shí)低風(fēng)險(xiǎn)易感者為0，所以當(dāng)恢復(fù)者失去免疫力后也不可能再變?yōu)榈惋L(fēng)險(xiǎn)易感者，所以δ1=0.

系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(4)

再結(jié)合s2k=(1-p)[Nk-(ik+rk)]=Nk-ik-rk，系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

(5)

類似于p=1,當(dāng)p=0時(shí)，計(jì)算其基本再生數(shù)得:

4 高風(fēng)險(xiǎn)易感者和低風(fēng)險(xiǎn)易感者并存(0

4.1 基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

當(dāng)高風(fēng)險(xiǎn)易感者和低風(fēng)險(xiǎn)易感者并存即0

(6)

令ik=0，rk=0，此時(shí)系統(tǒng)人口中使用避孕套率為p，不使用避孕套率為1-p，由s1k(t)=p[Nk-(ik+rk)]，s2k(t)=(1-p)[Nk-(ik+rk)].其中，0

類似于p=1，用下一代矩陣法計(jì)算R0.

在F中第一行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到F的第一行，第二行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到F的第二行，以此類推得到下面的F：

在V中第一行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到V的第一行，第二行分別對(duì)i1，i2，…，in求導(dǎo)得到V的第二行，以此類推得到下面的V：

求FV-1得

則基本再生數(shù)為

則系統(tǒng)(6)的基本再生數(shù)為

定理3如果R0<1則系統(tǒng)(6)的無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的，疾病將消失.

因ρ(FV-1)=ρ(V-1F)=R0且V-1F非負(fù)不可約,則存在一個(gè)正的左特征向量A對(duì)應(yīng)于特征值ρ(V-1F) ，AV-1F=R0A.考慮下面的李雅普諾夫函數(shù)：

L=AV-1x>0.

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得

AV-1(F-V)x=(R0-1)Ax≤0.

于是得R0<1時(shí)系統(tǒng)(6)的無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

4.2 地方性平衡點(diǎn)的存在性

定理4當(dāng)R0>1時(shí)系統(tǒng)(6)的地方性平衡點(diǎn)存在且唯一.

證明將s1k=Nk-s2k-ik-rk代入(6)得

(7)

其中

解得

定義一個(gè)方程

其中,

證得R0>1時(shí)系統(tǒng)(6)的地方性平衡點(diǎn)存在且唯一.

5 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬,觀察隨著避孕套使用率的不同和度k的不同染病者的相對(duì)密度的變化.

首先，取定參數(shù)δ1=0.2，δ2=0.3，γ=0.05，β1=0.2，β2=0.5.k分別取10，30，50，100.

圖2中，觀察可知當(dāng)p相同時(shí)隨著k的增大ik在增大，即當(dāng)避孕套使用率相同時(shí)隨著接觸人數(shù)的增加，染病者的相對(duì)密度在增加，說明接觸的人越多疾病傳播的范圍越廣.當(dāng)k相同時(shí)隨著p的增大ik在減小，即當(dāng)接觸的人數(shù)相同時(shí)隨著避孕套使用率的增加，即采取措施的人數(shù)在增加，染病者的相對(duì)密度在減少.由此可見，采取措施可以減少疾病的傳播.

圖2 變化圖Fig.2 Change chart

6 結(jié)論

本文主要研究采取措施對(duì)性病傳播的影響.通過避孕套的使用率劃分了低風(fēng)險(xiǎn)易感者和高風(fēng)險(xiǎn)易感者，在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)建模型并給出基本再生數(shù)，然后研究無病平衡點(diǎn)及地方性平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.最后，通過數(shù)值模擬可以直觀看出避孕套的使用率影響性病的傳播.所以，為了保護(hù)自己，減少性病的傳播，在性生活中采取措施是必不可少的.

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