寇　偉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

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非線性黏彈性波動方程解的爆破

寇偉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

研究了帶有非線性阻尼和源項(xiàng)的黏彈性波動方程解的存在性及爆破性問題。特別地，該方程主部系數(shù)μ(t)是關(guān)于時間t的一個函數(shù)。在假設(shè)條件下，獲得了該問題局部解的存在性。在局部解存在前提下，利用勢井理論和能量方法證明了當(dāng)初始能量有上界時，解在有限時間內(nèi)爆破，并給出了關(guān)于解的爆破時間估計(jì)。

解的爆破；非線性黏彈性波動方程；變系數(shù)主部；勢井理論

0　引言

考慮下面的初邊值問題：

(1)

其中：當(dāng)n≥1時,Ω是Rn上帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；m>2,p>2,g是一個C1類函數(shù)；Δ為關(guān)于空間變量的拉普拉斯算子。

近年來，許多學(xué)者已經(jīng)研究過帶有阻尼項(xiàng)的非線性波動方程的爆破問題[1-5]。文獻(xiàn)[6]考慮了非線性黏彈性波動方程：

證明了當(dāng)m≥p時,帶有任意初始能量的解是全局存在的；當(dāng)m

本文研究的是帶有非線性阻尼和源項(xiàng)的非線性黏彈性波動方程的初邊值問題。特別地，與文獻(xiàn)[6]相比，該方程的主部系數(shù)由常數(shù)1變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)μ(t)，并將條件由負(fù)初始能量推廣到帶有正上界的初始能量。在此基礎(chǔ)上，參考文獻(xiàn)[8-9]，用勢井理論和能量方法證明了解的爆破，并給出了解的爆破時刻的一個估計(jì)。

1　準(zhǔn)備工作

(H1)假設(shè)正實(shí)數(shù)m,p滿足

(2)

(H2)假設(shè)μ∈W2,∞(0,∞)∩W2,1(0,∞)幾乎處處在[0,∞)滿足

μ(t)≥μ0>0,μ′(t)<0,

(3)

其中：μ0是一個正數(shù)。

(H3)假設(shè)g滿足下列條件：

(4)

g(s)≥0,g′(s)≤0。

(5)

首先,給出系統(tǒng)的能量:

(6)

其中：

下面引進(jìn)一些勢井理論里的記號：

下面給出解的局部存在性定理。

下面給出證明中用到的4個引理，其證明過程與文獻(xiàn)[8]類似。

注3：在本文中，定義H(t)=E1-E(t)。

引理4如果引理3中的假設(shè)都成立，則對所有的t∈[0,T),2≤s≤p,存在一個正常數(shù)C使得

(7)

其中：C3、L和α將在本文的后面給出。

2　定理2的證明

定理2可分兩種情形證明。

情形1如果0

H′(t):=-E′(t)≥0；

(8)

H(t)≥H0:=E1-E(0)>0。

(9)

根據(jù)引理3、注1、式(3)和式(4)有：

(10)

首先，定義

I(t):=∫Ωutudx+NE1t,t∈[0,T)。

對I(t)求導(dǎo)得：

(11)

對式(11)的第2項(xiàng)運(yùn)用楊氏(Young’s)不等式和柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式來估計(jì)，得：

因此，式(11)變?yōu)椋?/p>

(12)

運(yùn)用Lp(Ω)→Lm(Ω),有：

(13)

(14)

其次，定義：

(15)

對式(15)關(guān)于t求導(dǎo)，由式(12)和式(14)得：

(16)

很明顯有：

(17)

ε(a2-a3)(g°u)(t)+ε[N-(p-2a3)]E1。

(18)

對式(18)第4項(xiàng)的部分系數(shù)做處理，由式(4)得：

選擇ε,ε1充分小和N足夠大，就有：

(19)

其中：C2是一個正常數(shù)。

由式(19)可知：L(t)是一個增函數(shù)，因此對所有t∈[0,T)，有L′(t)>L0>0。

于是，對所有的t∈[0,T)，有：

L′(t)≥C3Lα(t)，

(20)

(21)

于是有：

(22)

運(yùn)用引理4，得：

(23)

將式(23)代入式(22)可得：

(24)

(25)

式(25)表明L(t)在有限時間內(nèi)爆破,且爆破時刻的估計(jì)式為式(7)。

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國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171195)

寇偉(1989-),女,山西太原人,碩士生,主要研究方向?yàn)槠⒎址匠?

2016-06-07

1672-6871(2017)01-0088-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.01.018

O175.2

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