應(yīng)中偉

摘 要：幾何最值問題是中考的熱點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一類重點(diǎn)和難點(diǎn)。幾何最值問題的邏輯性思維較強(qiáng)，并不像方程等代數(shù)問題解法上比較單一。本文對近幾年浙江臺州中考試卷中的最值問題做了分析，并對此提出中考幾何最值問題的解題方法。

關(guān)鍵詞：公理法；數(shù)形結(jié)合；旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化；構(gòu)造特殊位置

一、幾何公理法

在幾何最值上出現(xiàn)頻率最高的問題就是周長、面積、角度以及線段的最值問題，幾何公理法對于解決此類問題無疑是一個(gè)容易運(yùn)用的方法。幾何最值的基本公理有兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短和利用函數(shù)關(guān)系求最值。

例1 （2012·浙江臺州）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）

分析：遇到這種最值問題最好的解決方法就是將題目中隱含的條件找出來，運(yùn)用幾何的基本公理去將題目化簡，最后得出我們想要的答案。具體如右圖所示，先利用對稱的特性找出點(diǎn)K1的位置就是我們所要求的點(diǎn)K的位置。然后由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得出P1K+QK>P1Q=P1K1+QK1=PK1+QK1，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，計(jì)算得到答案選B。這樣的題目對于學(xué)生而言最關(guān)鍵的就是找到突破口和對公式定理的熟練運(yùn)用。幾何的定理并不是獨(dú)立存在的，多個(gè)公理都可以應(yīng)用在同一道題目，甚至同一種題型中。

歸納：幾何公理法是解決幾何最值問題中最常見，也是最簡單有效的一種解法。這類線段或角度的幾何最值問題我們可借助圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短這樣的幾何原理來解決。

例2 （2017·浙江臺州）交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的液體，并用流量、速度、密度三個(gè)概念描述車流的基本特征。其中流量q（輛/小時(shí)）指單位時(shí)間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速度v（千米/小時(shí)）指通過道路指定斷面的車輛速度；密度K（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)。為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

（1）根據(jù)上表信息，下列三個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，刻畫q，v關(guān)系最準(zhǔn)確的是________（只需填上正確答案的序號）

（2）請利用（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式分析，當(dāng)該路段的車流速為多少時(shí)，流量達(dá)到最大？最大流量是多少？

分析：（1）③（2）解：∵q=-2v2+120v=-2（v-30）2+1800.∴當(dāng)v=30時(shí)，q最大=1800。

歸納：利用函數(shù)關(guān)系求最值是幾何最值問題中比較經(jīng)典的一類問題，它具有清晰的解題方向與步驟，具體的解題方法是先根據(jù)實(shí)際問題選擇或建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后借用函數(shù)關(guān)系式在自變量的取值范圍內(nèi)求出最值。

二、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法旨在通過對數(shù)學(xué)研究中的數(shù)、形這兩個(gè)基本對象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而解決一系列的數(shù)學(xué)問題，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很常用的一種思想。具體可分為兩種情況：①通過數(shù)字的準(zhǔn)確性來描述形狀的一些屬性。②通過幾何直覺的形狀來驗(yàn)證一些數(shù)之間的關(guān)系。在幾何最值問題上我們也經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來解決問題。

例3 （2012·浙江臺州）定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長度的最小值叫作線段與線段的距離。已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四點(diǎn)。

（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____，當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為______

（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式。

（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M。

①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動所圍成的封閉圖形的周長；

②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

歸納：在這種問題的解決上如果僅僅從幾何的定理出發(fā)，很難解決，從本題的知識考察點(diǎn)來看是典型的數(shù)形結(jié)合問題。遇到這樣的題目只能從數(shù)與形之間的關(guān)系出發(fā)，尋找到解題的關(guān)鍵。

三、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法

旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的最常用手段。旋轉(zhuǎn)可以將幾何圖中的各種圖形相關(guān)聯(lián)，以找到我們需要的關(guān)系，然后使用現(xiàn)有知識來解決問題。

例4 （2013·浙江臺州）如圖，已知邊長為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長為2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為（）

歸納：本題主要從正多邊形的計(jì)算及等邊三角形的性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是從圖形中整理出直角三角形。首先通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化得到所需要的點(diǎn)E的位置，然后從圖形中去解答問題。解決幾何的最值問題常通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出特殊的圖案，如全等的三角形和等邊三角形，或通過線段的旋轉(zhuǎn)得出最短的線段。培養(yǎng)學(xué)生多觀察、多思考，從旋轉(zhuǎn)中找出規(guī)律，再利用學(xué)過的知識進(jìn)行解題。

四、構(gòu)造法

構(gòu)造法是通過構(gòu)建特殊圖形解決問題的數(shù)學(xué)思維方法。利用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和理論作為思考工具，構(gòu)建滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，可以清楚地反映出新構(gòu)建的數(shù)學(xué)對象中原始問題的隱含關(guān)系和性質(zhì)，這樣就可以方便快捷地解決問題。在幾何最值問題中，構(gòu)造法仍然是解題思路中很常用的一種聯(lián)想性方法。

例5 （2015·浙江臺州）如圖，正方形ABCD的邊長為1，中心為點(diǎn)O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點(diǎn)O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個(gè)正六邊形的邊長最大時(shí)，AE的最小值為___。endprint

分析：當(dāng)正六邊形的邊長最大時(shí)AE要最小，以點(diǎn)E為圓心，對角線EH為半徑做與正方形ABCD相切的圓，點(diǎn)E在線段OA上，只需要求出OE和OA的值，就能夠把問題解決。

解：要使得正六邊形的邊長達(dá)到最大，可以作正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O，當(dāng)⊙O的圓心O與六邊形的H重合，且點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，AE的長度最小，如右圖：

歸納：本題主要考察的是正多邊形與圓的問題，但是從圖形中并沒有發(fā)現(xiàn)有圓，這時(shí)只能構(gòu)造一個(gè)內(nèi)切圓，再利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解決問題，構(gòu)造內(nèi)切圓解答本題的關(guān)鍵。

五、特殊位置法

將待解決的一般性問題，轉(zhuǎn)化到特殊問題，一般問題的解答建立在這種特殊情形的基礎(chǔ)上。

例6 （2016·浙江臺州）如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動點(diǎn)，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是（）

分析：根據(jù)題目中所給條件可以得出△ABC的特殊性以及在△ABC里面的內(nèi)切半圓的特殊性（如右圖），這樣的幾何最值問題是建立在特殊性上面的，也是比較容易解決的，答案選C。

例7 （2017·浙江臺州）如圖，有一個(gè)不定的正方形ABCD，它的兩個(gè)相對的頂點(diǎn)A，C分別在邊長為1的正六邊形一組對邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），則正方形邊長a的取值范圍是________

歸納：特殊位置法對于學(xué)生而言比較陌生，但是學(xué)生在解題的時(shí)候往往會忽略了圖形的特殊位置，這說明他們知識的不牢固，定理運(yùn)用的不夠熟悉。在幾何最值問題中多引導(dǎo)學(xué)生使用特殊位置法，也有助于學(xué)生對定理的熟練掌握，能夠?qū)㈦y以理解的直觀圖形轉(zhuǎn)化為自己熟悉的圖形以及位置來解答。

臺州近幾年的數(shù)學(xué)中考都涉及了幾何最值的問題，無論選擇題還是解答題都有所分布，最值問題的大熱也推動了數(shù)學(xué)思想的不斷發(fā)展，對學(xué)生的邏輯思維能力具有促進(jìn)作用。本文就臺州近幾年的中考最值題目研究幾何最值問題的解題方法，希望對學(xué)生的幾何最值問題解決有一定的幫助，對老師的教學(xué)也有促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

1.李國敬.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用的研究.河南大學(xué)，2015.

2.金惠芬.解幾何最值問題的方法[J].蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1998（01）：57-59+62.endprint